PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nñmo ko šnj sistm jdnčin od dtih kivihnjihov psk - ponñmo odgovjuću fomulu - intgl j u njvćm oju slučj olj šiti z gnic,ko nodñni, j u slučju smn momo mnjti gnic.... Izčunti povšinu figu ogničn lukom kiv i pvom. Dt kiv j pol, ispitivnj tok i kko s ct njn gfik j dtljno ojšnjn u dlu kvdtn funkcij, li kko nm n t ispitivnj clog tok, vć smo nkoliko tčk, nći ćmo: i Gfik funkcij sč osu u tčkm gd j, to jst z i ii Nñmo pvi izvod: ` -, ` z to jst. Ovu vdnost zmnimo u počtnu funkciju: -, p j tčk, mksimum. iii Sd vć možmo skiciti gfik - - - 5 Mi tmo nći povšinu osnčnog dl, p j jsno d gnic intgl idu od do, pošto j do povšin koji tžimo iznd os, u intglu n momo uzimti psolutnu vdnost. Dkl: P d [ 8 ] Tžn povšin j dkl P
. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm: i Tčk psk ov dv kiv,koj ćmo doiti švnjm sistm jdnčin, ć nm dti gnic intgl: 9 ± Dkl intgl id od do Dlj ispitmo nkoliko tčk d i skicili gfik: Očigldno ni jdn pol nm psk s osom, nñimo im tmn kstmn vdnosti ` `, j minimum, j minimum -osu sč u -osu sč u Nctjmo sd sliku:
9 - Tžn povšin j ovo osnčno izmñu pol, i nju ćmo nći kd od povšin ispod gonj kiv oduzmmo povšinu ispod donj kiv, odnosno u intglu oduzmmo donju od gonj pol Vžno: Pošto j gfik simtičn u odnosu n osu, odnosno pn su o funkcij, lkš nm j d izčunmo povšinu od do p d to pomnožimo s. P [ ] d odnosno,pmtnij j: P [ ] d 9 d 9 8 6 Tžn povšin j dkl P 6. Odditi povšinu lik ogničnog lukom kiv 6 i osom O. U ovom zdtku nm j pmtnij d izzimo, d tžnu povšinu izčunmo po 6 ± 5 6 6 Nñmo, p j -, ` - ` z - p j Tčk 6, j mksimum kd zmišljmo po to jst 6
6-6 6 Rdićmo intgl po, gd nm gnic očigldno idu od - do. P 6 5 6 6 d Tžn povšin j 6 5. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm, - i Ovd s di o gficim lmntnih funkcij. Ako nist upoznti s njim, npvit tlicu vdnosti, u kojoj ćt iti vdnosti z i izčunvti. 7 S slik j očigldno d osnčn povšin id po od do, d j donj kiv - gonj kiv P d Tžn povšin j
5. Odditi zpminu tl koj nstj otcijom oko os O dl povši ogničnog lukom kiv i osom O. Ispitjmo njp p tčk z polu i nctjmo sliku: p j ` - p j - z ond j Gnic intgl su i V d V d 6 8 d 6 8 5 5 6 56 5 5 6 56 5 5 5 Zpminu tl j 5 5
6. Odditi zpminu tl nstlog otcijom kug oko O os > Iz nlitičk gomtij znmo d j jdnčin kug q p gd su p i q koodint cnt polupčnik kužnic. nm govoi d j p q, p ć slik izgldti: odvd momo izziti ± ± Ovd smo doili dv dl kužnic: gonji i donji Rotcij ovog kug ć nm dti tlo koj j pozntij ko TORUS, ili po nški gum
Zpminu tl ćmo doiti kd od zpmin tl koj nstj otcijom gonjg dl kužnicpun gum oduzmmo zpminu tl koj nstj otcijom donjg dl kužnicko fln,popunjn V d Ndjimo njp vdnost izz - - - Jsno j d gnic intgl idu od do Ršimo njp nodñni intgl: d sint sin t costdt d costdt sin t costdt sin t costdt pošto j sin t cos t cost costdt cos tdt
cos t j konstnt p ć ići ispd intgl upotićmo i fomulu: cos t, p ć i ko konstnt ispd intgl. Dkl: cos t dt t sin t Št s dšv s gnicm ovog intgl? Smn j il : sint d costdt, z - j - sin t, to jst sint - p j t z j sin t, to jst sint p j t Nov gnic su dkl Vtimo s u intgl: i V d t sin t [ sin sin ] Dkl, posl mnogo npo, končno šnj j V 7. Izčunti dužinu luk kiv ln od tčk do tčk 8 Ovd nm slik nij nophodn!
Fomul z izčunvnj dužin luk kiv j L f ` d, ko dimo po ln ` p j 8 8 8 8 f ` d d d d d uzimmo smnu t d tdt d tdt tdt d D vidimo št j s gnicm? t 8 t t tdt t dt Iz smn j t p j sd nš intgl t t dt ovd ćmo ko tik, go oduzti i dodti t dt t dt t t t ln ln - ln t ln končno šnj j L ln
8. Izčunti povšinu povši koj nstj otcijom luk pol oko os O n sgmntu [,] - - Fomul z izčunvnj povšin otcion povši j : S f f ` d, po [, ] Ovd su gnic očigldno i. p j odvd odnosno ` p j ` S f f ` d d d id ispd intgl kon sktimo d uzimmo smnu t t dt 8 56 8 56 Tžn povšin otcion povši j dkl : S t udimo noddjni intgl d n mnjmo gnic d tdt
9. Cikloid C j dfinisn pmtskim jdnčinm: Izčunti: t sint i cost povšinu ogničnu jdnim lukom cikloid i osom O dužinu jdnog luk cikloid c zpminu tl nstlog otcijom jdnog luk cikloid oko O os Kko nstj i kko izgld t cikloid? Posmtjmo kužnicu koj s z kliznj okć po pvoj osi. Fiksijmo jdnu tčku n kužnici. Kiv koju opisuj t tčk zovmo cikloid. Posmtjmo ovj pvi luk cikloid koji j u intvlu [, ] Ako i koistili onu univzlnu fomulu z P, ilo i Pd Ovj intgl i išo od do, pošto j cost, ić : Znči intgl id od do po t. Kko j t sint to j d cost dt cost t cost t
P d cost cost dt cost dt Ršimo njp tžni intgl: cost dt cost cos t dt dt costdt cos t dt Vtimo s u fomulu: t sint t sin t t sint t sin t t sint sin t P cost dt t sint sin t Smo ml npomn d su sinusi od i 6 stpni jdnki. Dkl, P D izčunmo dužinu jdnog luk cikloid: Z luk immo gotovu fomulu: L ` t ` β α t dt Gnic intgl su i. Sdimo i ovu potkonu vličinu p ćmo ond švti intgl. t sint p j ` cost cost p j ` sint j j od jdinic izvod ` ` [ cost] [ sint] cost cos t sin cost cos t sin t cost cost t
Vtimo s u intgl: sin t sin t β ` t ` α t t t t t dt sin dt sin dt sin dt cos 8 Dužinu jdnog luk cikloid j L 8 c Izčunjmo i zpminu V d [ cost] cost dt cost dt konstnt id ispd intgl cost dt iskoistimo fomulu - cost cos t cos t dt Svki od ovih intgl ćmo švti posno, pv dv nisu polm j su tlični, šimo zto ov postl dv. cos t cos t dt cos t dt t sin t t sin t sint z cos tdt cost cos tdt cost sin t costdt cost sin tdt sint z dz costdt dz z sint sin t sint
Vtimo s u izčunvnj zpmin: V [ t sint Dkl V 5 sin t t sin t - sint ] kd sdimo 5