Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Слични документи
(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Microsoft Word - IZVODI _3. deo_.doc

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Microsoft Word - Analiticka - formule.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Microsoft Word - VALJAK.doc

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Microsoft Word - SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA,zadaci.doc

Microsoft Word - EKSTREMNE VREDNOSTI I MONOTONOST FUNKCIJE.doc

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

Kontinuirani sustavi

(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Microsoft Word - PRIMENE SLICNOSTI NA PRAVOUGLI TROUGAO.doc

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

9. : , ( )

Matematika 2

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

Pismeni dio ispita iz Matematike 1

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Microsoft Word - ELEMENTARNE FUNKCIJE.doc

1. Realni brojevi

Microsoft Word - GRAFICI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA-II deo.doc

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

PowerPoint Presentation

Zad.RGS.2012za sajt [Compatibility Mode]

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc

Slide 1

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

Microsoft Word - 26ms281

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

untitled

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Neodreeni integrali - Predavanje III

Microsoft Word - predavanje IX.doc

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

07jeli.DVI

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ

Microsoft Word - MATRICE.doc

Microsoft Word - predavanje8

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

BeogradSans

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

Microsoft Word - 4.Ee1.AC-DC_pretvaraci.10

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

Pismeni ispit iz MEHANIKE MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB, oslonjena na oprugu BC i okačena o uže BD, nosi kontinuirano opterećenje, kao što

Microsoft Word - 19ms101

Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički Fakultet Departman za matematiku Višestruko osiguranje - Master rad - Mentor: dr Marija Milošević Niš, Mart

Microsoft Word - Integrali vi deo

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_

untitled

по пла ве, ко ја је Од лу ком Вла де о уки да њу ван ред не си ту а ци је на де лу те ри то ри је Ре пу бли ке Ср би је ( Слу жбе ни гла сник РС, број

8. ( )

Microsoft Word - 26ms441

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Jednadžbe - ponavljanje

Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

trougao.dvi

Microsoft Word - 15ms261

KORELISANOST REZULTATA MERENJA

DJEČJI VRTIĆ TROGIR TROGIR Trogir, Klasa: UP/I /19-01/1 Urbroj Na temelju članka 1a, 20. i 35. stavka 1. podstavk

Транскрипт:

PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nñmo ko šnj sistm jdnčin od dtih kivihnjihov psk - ponñmo odgovjuću fomulu - intgl j u njvćm oju slučj olj šiti z gnic,ko nodñni, j u slučju smn momo mnjti gnic.... Izčunti povšinu figu ogničn lukom kiv i pvom. Dt kiv j pol, ispitivnj tok i kko s ct njn gfik j dtljno ojšnjn u dlu kvdtn funkcij, li kko nm n t ispitivnj clog tok, vć smo nkoliko tčk, nći ćmo: i Gfik funkcij sč osu u tčkm gd j, to jst z i ii Nñmo pvi izvod: ` -, ` z to jst. Ovu vdnost zmnimo u počtnu funkciju: -, p j tčk, mksimum. iii Sd vć možmo skiciti gfik - - - 5 Mi tmo nći povšinu osnčnog dl, p j jsno d gnic intgl idu od do, pošto j do povšin koji tžimo iznd os, u intglu n momo uzimti psolutnu vdnost. Dkl: P d [ 8 ] Tžn povšin j dkl P

. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm: i Tčk psk ov dv kiv,koj ćmo doiti švnjm sistm jdnčin, ć nm dti gnic intgl: 9 ± Dkl intgl id od do Dlj ispitmo nkoliko tčk d i skicili gfik: Očigldno ni jdn pol nm psk s osom, nñimo im tmn kstmn vdnosti ` `, j minimum, j minimum -osu sč u -osu sč u Nctjmo sd sliku:

9 - Tžn povšin j ovo osnčno izmñu pol, i nju ćmo nći kd od povšin ispod gonj kiv oduzmmo povšinu ispod donj kiv, odnosno u intglu oduzmmo donju od gonj pol Vžno: Pošto j gfik simtičn u odnosu n osu, odnosno pn su o funkcij, lkš nm j d izčunmo povšinu od do p d to pomnožimo s. P [ ] d odnosno,pmtnij j: P [ ] d 9 d 9 8 6 Tžn povšin j dkl P 6. Odditi povšinu lik ogničnog lukom kiv 6 i osom O. U ovom zdtku nm j pmtnij d izzimo, d tžnu povšinu izčunmo po 6 ± 5 6 6 Nñmo, p j -, ` - ` z - p j Tčk 6, j mksimum kd zmišljmo po to jst 6

6-6 6 Rdićmo intgl po, gd nm gnic očigldno idu od - do. P 6 5 6 6 d Tžn povšin j 6 5. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm, - i Ovd s di o gficim lmntnih funkcij. Ako nist upoznti s njim, npvit tlicu vdnosti, u kojoj ćt iti vdnosti z i izčunvti. 7 S slik j očigldno d osnčn povšin id po od do, d j donj kiv - gonj kiv P d Tžn povšin j

5. Odditi zpminu tl koj nstj otcijom oko os O dl povši ogničnog lukom kiv i osom O. Ispitjmo njp p tčk z polu i nctjmo sliku: p j ` - p j - z ond j Gnic intgl su i V d V d 6 8 d 6 8 5 5 6 56 5 5 6 56 5 5 5 Zpminu tl j 5 5

6. Odditi zpminu tl nstlog otcijom kug oko O os > Iz nlitičk gomtij znmo d j jdnčin kug q p gd su p i q koodint cnt polupčnik kužnic. nm govoi d j p q, p ć slik izgldti: odvd momo izziti ± ± Ovd smo doili dv dl kužnic: gonji i donji Rotcij ovog kug ć nm dti tlo koj j pozntij ko TORUS, ili po nški gum

Zpminu tl ćmo doiti kd od zpmin tl koj nstj otcijom gonjg dl kužnicpun gum oduzmmo zpminu tl koj nstj otcijom donjg dl kužnicko fln,popunjn V d Ndjimo njp vdnost izz - - - Jsno j d gnic intgl idu od do Ršimo njp nodñni intgl: d sint sin t costdt d costdt sin t costdt sin t costdt pošto j sin t cos t cost costdt cos tdt

cos t j konstnt p ć ići ispd intgl upotićmo i fomulu: cos t, p ć i ko konstnt ispd intgl. Dkl: cos t dt t sin t Št s dšv s gnicm ovog intgl? Smn j il : sint d costdt, z - j - sin t, to jst sint - p j t z j sin t, to jst sint p j t Nov gnic su dkl Vtimo s u intgl: i V d t sin t [ sin sin ] Dkl, posl mnogo npo, končno šnj j V 7. Izčunti dužinu luk kiv ln od tčk do tčk 8 Ovd nm slik nij nophodn!

Fomul z izčunvnj dužin luk kiv j L f ` d, ko dimo po ln ` p j 8 8 8 8 f ` d d d d d uzimmo smnu t d tdt d tdt tdt d D vidimo št j s gnicm? t 8 t t tdt t dt Iz smn j t p j sd nš intgl t t dt ovd ćmo ko tik, go oduzti i dodti t dt t dt t t t ln ln - ln t ln končno šnj j L ln

8. Izčunti povšinu povši koj nstj otcijom luk pol oko os O n sgmntu [,] - - Fomul z izčunvnj povšin otcion povši j : S f f ` d, po [, ] Ovd su gnic očigldno i. p j odvd odnosno ` p j ` S f f ` d d d id ispd intgl kon sktimo d uzimmo smnu t t dt 8 56 8 56 Tžn povšin otcion povši j dkl : S t udimo noddjni intgl d n mnjmo gnic d tdt

9. Cikloid C j dfinisn pmtskim jdnčinm: Izčunti: t sint i cost povšinu ogničnu jdnim lukom cikloid i osom O dužinu jdnog luk cikloid c zpminu tl nstlog otcijom jdnog luk cikloid oko O os Kko nstj i kko izgld t cikloid? Posmtjmo kužnicu koj s z kliznj okć po pvoj osi. Fiksijmo jdnu tčku n kužnici. Kiv koju opisuj t tčk zovmo cikloid. Posmtjmo ovj pvi luk cikloid koji j u intvlu [, ] Ako i koistili onu univzlnu fomulu z P, ilo i Pd Ovj intgl i išo od do, pošto j cost, ić : Znči intgl id od do po t. Kko j t sint to j d cost dt cost t cost t

P d cost cost dt cost dt Ršimo njp tžni intgl: cost dt cost cos t dt dt costdt cos t dt Vtimo s u fomulu: t sint t sin t t sint t sin t t sint sin t P cost dt t sint sin t Smo ml npomn d su sinusi od i 6 stpni jdnki. Dkl, P D izčunmo dužinu jdnog luk cikloid: Z luk immo gotovu fomulu: L ` t ` β α t dt Gnic intgl su i. Sdimo i ovu potkonu vličinu p ćmo ond švti intgl. t sint p j ` cost cost p j ` sint j j od jdinic izvod ` ` [ cost] [ sint] cost cos t sin cost cos t sin t cost cost t

Vtimo s u intgl: sin t sin t β ` t ` α t t t t t dt sin dt sin dt sin dt cos 8 Dužinu jdnog luk cikloid j L 8 c Izčunjmo i zpminu V d [ cost] cost dt cost dt konstnt id ispd intgl cost dt iskoistimo fomulu - cost cos t cos t dt Svki od ovih intgl ćmo švti posno, pv dv nisu polm j su tlični, šimo zto ov postl dv. cos t cos t dt cos t dt t sin t t sin t sint z cos tdt cost cos tdt cost sin t costdt cost sin tdt sint z dz costdt dz z sint sin t sint

Vtimo s u izčunvnj zpmin: V [ t sint Dkl V 5 sin t t sin t - sint ] kd sdimo 5