Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Транскрипт

1 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / I - Ako su Φ = r sin φ + θ ; F = r sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log sin x y+z ; E = ρ z ρ gdje su (r, θ, φ) Krtezijeve koordinte, (r, θ, φ) sferne koordinte, (ρ, φ, z) cilindrične, odredite u pripdnom koordintnom sustvu () Φ ; (b) F ; (c) E ; (d) rot M. U ortogonlnim koordintnim sustvim dni su opdi izrzi z grdijent, divergenciju, rotciju i lplsijn Φ = i i= Φ q i q i F = i(j,k) q i j k F i q q q F = q q q F F F gdje su h i Lmeovi koeficijenti koji iznose z Krtezijev koordintni sustv = = = = cilindrični koordintni sustv = = r = r sin θ i(j,k) q i j k i q i sferni koordintni sustv = = ρ = Grdijent u sfernom Φ = Φ q q + Φ q q + Φ q q Φ = Φ r r + r Φ θ θ + r sin θ Φ φ φ Φ = sin φ + θ r + r cos φ + θ θ + r cos φ + θ φ r r sin θ Φ = sin φ + θ r + cos φ + θ θ + cos φ + θ φ sin θ Divergencij u sfernom F = F = r sin θ F = q F + r r sin θ r sin θ + θ r sin θ 4r sin θ + r cos θ cos φ + F = 4r sin θ + ctg θ cos φ q F + q F r sin θ r cos φ + φ r cos θ

2 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / Rotcij u cilindričnom q q q E = q q q F F F ρ ρ φ z ρ ρφ z E = ρ ρ φ z = ρ ρ ρ φ z ρ ρ z z E = ρ ρ φ z + φ ρ z z E = ρ ρ + φ ρ z + z ρ E = ρ z φ ρ + z ρ ρ φ ρ z rot M = Identitet Φ =

3 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / I - Odredite rd sile (koordinte su izržene u metrim) xi + yj F = x + y Nm n putu od točke (,)m do točke (e,)m po krivulji r t = e t cos t i + e t sin t j Rd sile duž krivulje C iznosi Prmetrizcij Kko je putnj ved zdn prmetrizirn zključujemo Prem tome sil je F = W = F dr = F dxi + dyj C C r = xi + yj r t = e t cos t i + e t sin t j x = e t cos t dx = e t cos t e t sin t dt y = e t sin t dy = e t sin t + e t cos t dt e t cos t i + e t sin t j e t cos t + e t sin t = et cos t i + e t sin t j e t N Grnice integrcije Kko demo integrirti po t, potrebno je odrediti i njegove grnične vrijednosti: Početn točk A(,) Krjnj točk B(e,) x = e t cos t = y = e t sin t = t = ln(/ cos t) RJ cos k = ± t A = /() tg t = t = k k Z Arg ln > t = ln = x = e t cos t = e y = e t sin t = /() tg t = t = k k Z t = ln(e / cos t) Arg ln > t = ln e RJ cos k = ± t B =

4 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 4 Prem tome rd iznosi W = F dxi + dyj C = t B t A e t cos t i + e t sin t j e t e t cos t e t sin t dti + e t sin t + e t cos t dtj W = W = W = W = e t cos t e t cos t e t sin t + e t sin t e t sin t + e t cos t e t e t cos t e t sin t cos t + e t sin t + e t sin t cos t e t dt e t cos t + sin t e t dt e t dt = e t d t W = e t φ= φ= = e + e W = e W = e e J dt

5 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 5 - I - Odredite msu tijel u obliku polovice kugle (koordinte su izržene u metrim) x + y + z m iznd xy rvnine, ko im promjenjivu gustodu ρ = 77 kgm + 6z kgm 4. Ms tijel iznosi Grnice integrcije M = ρd Integrirmo po kuglinoj x + y + z r polovici iznd xy rvnine z p je njlkše integrciju vršiti u sfernom koordintnom sustvu. koordinte: element volumen: zdn kuglin polovic: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ d = r sin θ drdθdφ r θ / φ M = ρd = ρr sin θ drdθdφ = r cos θ r sin θ drdθdφ = M + M M = 77 dθ dφ r sin θ dr + 6 dθ dφ r sin θ cos θ dr = M + M M = 77 dθ M = 54 dφ r r sin θ dr = 77 sin θ dθ dφ sin θ dθ = 54 cos θ θ= θ= = 54 r= r= = 77 + = 54 kg φ= sin θ dθ φ φ=

6 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 6 M = 6 dθ dφ r sin θ cos θ dr = 6 M = 8 sin θ dθ 4 = 8 sin θ d θ sin θ θ= M = cos θ θ= = = 4 kg M = M + M = 54 kg + 4 kg = M = 5 5 kg 5 5 kg dθ φ φ= r 4 r= φ= 4 r= = 8 d θ sin θ

7 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 7 - I 4 Od svih mogudih kvdr, definirnih nejedndžbm x, y b, z, odredite onj z koji je ukupni tok polj F = x 4xy i 6yzj + zk prem vni kroz svih 6 površin njvedi. Koliko iznosi njvedi tok? olumen kvdr ztvoreno je područje u prostoru čiji je rub orjentbiln po dijelovim gltk ploh S, koj ne presjec smu sebe, F = x 4xy i 6yzj + zk vektorsko polje klse C () p možemo primijeniti Gussov teorem o divergenciji F ds = F d S Divergencij polj F F = F x x + F y y + F z = x 4y 6z + z Grnice integrcije Kko su grnične plohe rvnine, njjednostvnije je rčunti s Krtezijevim koordintm (x, y, z). Grnice integrcije zdne su definicijom kvdr x y b z Sd immo sve potrebne elemente z integrirnje p možemo izrčunti ukupni tok polj b F ds = F d = dx dy x 4y 6z + dz = S b = dx dy xz 4yz z z= + z z= b = dx dy x 4y + = = dx xy y y=b + 9y y= = dx xb b + 9b = = x b b x + 9bx x= x= = b b + 9b = f, b Dkle, trženi je tok funkcij dviju vrijbli (duljin strnic kvdr, b) p demo kvdr z koji je tok mksimln odrediti tržedi mksimum te funkcije. NUŽNI UJETI Ekstreme funkcije f(x,, x n ) ispitujemo u točkm x = (x,, x n ) u kojim nije definirn df i onim koje dobijemo rješvjudi sustv f x i x = i =,, n

8 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 8 Nđemo sve prcijlne derivcije prvog red i izjednčimo s nulom f = b b + 9b = b b + 9 = () f b = 4b + 9 = + 4b 9 = () Iz () i () immo 4 mogudnosti iz kojih nlzimo 4 kndidt z točke ekstrem = b = = b = = b + 9 = = b = b 9 = b = = 9 b = + 4b = 9 + b = 9 = b =.5 K (, ) K (, 4. 5) K (9, ) K 4 (,. 5) DOOLJNI UJETI Odredimo determinnte z funkciju f(x, x,, x n ): r r = ; r n ; ij = f r x rr i x j x Funkcij f u točki x : im MINIMUM, ko je r > r im MAKSIMUM, ko je r > r = k r < r = k NEMA EKSTREMA, ko je r NEMA ODLUKE, ko r = p su potrebn dodtn ispitivnj (df) Kko bismo provjerili, rdi li se o ekstremim, mormo odrediti druge prcijlne derivcije f = b f = 4b + 9 b p immo = b = b koje u dobivenim točkm iznose = f = 4b + 9 b f b = 4 b 4b + 9 4b = 8b + 4b 9 (K ) = K = 8 K = 9 K = 8 (K ) = K = 8 K 4 = K 4 = 7 nem odluke nem ekstrem nem odluke mksimum Kko je f K = f K = < f K 4 =.5, nm treb mksimlni tok, ne trebmo dodtno ispitivti. Znči, z kvdr (=, b=.5, c=) immo mksimlni tok koji iznosi f K 4 =.5

9 Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 9 ) - I - 5 Dokžite: ) Tenzor rng može se npisti ko zbroj simetričnog i ntisimetričnog tenzor. b) Ako je rng tenzor A i B nznčen brojem indeks u relcij K ijkl A ij = B kl, koj vrijedi u svim (zrotirnim) Krtezijevim sustvim, td je K tenzor rng 4. Kko su dokzi z kovrijntne, kontrvrijntne i miješne tenzore slični, dokzt demo z kontrvrijntni: T ij = Tij + Tij Dodmo li i oduzmemo T ji / nedemo promijeniti tenzor T ij = Tij + T ji + Tij T ji Zmjen indeks odgovr trnsponirnju mtrične reprezentcije vektor p ko trnsponirmo prvi sumnd T ij + T ji τ = Tij τ ji τ + T = Tji + T ij = Tij + T ji dobijemo isto, što znči T ij + T ji simetrični je tenor. Trnsponirnjem drugog dobijemo T ij T ji τ = Tij τ ji τ T = Tji T ij = Tij T ji što znči T ij + T ji ntisimetrični je tenzor p tenzor rng možemo npisti ko zbroj simetričnog i ntisimetričnog tenzor. b) Dn relcij vrijedi u vrijedi u svim (zrotirnim) Krtezijevim sustvim p demo je npisti u crtknome K ijkl A ij = B kl = m k n l B mn = // B trnsformirmo u necrtkni sustv = m k n l K opmn A op = // Primijenimo kvocijentno prvilo = m k n l K opmn o i p j A ij = // A trnsformirmo u crtkni = o i p j m k n l K opmn A ij K ijkl A ij = o i p j m k n l K opmn A ij //Izjednčimo početk i krj jednkosti K ijkl o i p j m k n l K opmn A ij = // A opdenit p je izrz u zgrdi K ijkl = o i p j m k n l K opmn // Nčin trnsformcije tenzor 4. rng