Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Транскрипт

1 KRIVOLINIJSKI INTEGRALI ZADACI ( I DEO) Krivolinijski inegrli prve vrse. Izrčuni krivolinijski inegrl ds ko je deo prve = izmeñu čk (, ) i (,). D se podseimo: b Ako je kriv d u obliku : =() b d je: f (, ) ds= f (, ( )) ( ) d + Pogledjmo i sliku, md on generlno nije porebn jer kko smo rekli, krivolinijski inegrl I vrse ne zvisi od orijenije krive. = A(,) O(,) Iz = `= p možemo odmh u formulu. S slike vidimo d su grnie po -su od do. f (, ) ds= + () d= d= d= = =. Izrčuni krivolinijski inegrl D nrmo sliku: ds po luku prbole = od čke (,) do čke (4, 8 ) 4 8 =+ (4, 8) (,) 4 =

2 = =± kko nm reb gornji deo prbole, uzimmo: =+ `= `= f (, ) ds= + d= + d= d= + d Ovj inegrl ćemo rešii n srnu d ne menjmo grnie... + = ( + ) + d = d= d = d= d= = + = = + = d= d Sd se vrimo u odredjeni inegrl: ( + ) f (, ) ds= + d = = =. Izrčuni krivolinijski inegrl ( -,). ds gde je gornj polovin krug + = izmeñu čk (,) i (-,) (,) I nčin Rdićemo direkno. + = = = `= ( ) ` = ( ) `=

3 ds = b ` f (, ) + d = + + = + = ( ) ( ) d ( ) d= d= d nm bude lkše, možemo posmri= = d= d = d Ovj inegrl možemo rešii n više nčin ( pogledje fjlove inegrli zdi III ili IV ili V deo) ds = = [ ( rsin + )] = [( rsin + ) ( rsin + )] = = [( rsin+ ) ( rsin + )] == [ rsin] = = π π II nčin Uzmemo d je: = os i = sin. Ovo očigledno zdovoljv d je = os `= sin = sin `= os Korisimo formulu: + =. f (, ) ds= f [, ] ( ) + ( ) d ` ` Kko je d gornj polovin krug, o je π. ds = π π π sin sin + os d= sin sin + os d= sin sin + os d= π π π os π = sin d= d= ( os ) d= π = Vi smi izberie š vm se više svidj, li je nm II nčin mnogo lkši. ovo je

4 4. Izrčuni krivolinijski inegrl ( + + ) = os = sin i π z= b z ds gde je deo zvojnie D se podseimo: i) Ako je f(,,z) definisn i neprekidn u svkoj čki deo po deo glke krive de s: =() =() gde je, i ds- diferenijl luk krive z=z() d se krivolinijski inegrl prve vrse izrčunv po formuli: ` ` f (,, z) ds= f [ ( ), ( ), z( )] ( ) + ( ) + ( z ) ` d Njpre ćemo nći izvode i sredii pokorenu veličinu: = os `= sin = sin `= os z= b z`= b Sd ovo ubimo u : ( ) + ( ) + ( z ) = ( sin ) + ( os ) + ( b) = sin + os + b = sin + os + b = + b ` ` ` i još vidimo d je : ( os ) ( sin ) + + z = + + b = + b E sd se vrimo n krivolinijski inegrl: π π ( ) + + z ds= + b + b d= + b + b d= π ( π ) 8π b = + b + b = + b π + b = + b π + 4

5 5. Izrčuni krivolinijski inegrl + ds gde je krug + = Spkujmo njpre ovu kružniu i nrjmo sliku: + = + = + + = + = / -/ / Ope immo dv nčin d rešimo ovj zdk. I nčin bi bio d predjemo u prmerski oblik, li bi ond morli d uzimmo: = + os = sin A zšo bš ovko? Zo šo mormo biri i d zdovoljvju + =. I sve bi ndlje rdili po formuli: ` ` f (, ) ds= f [, ] ( ) + ( ) d, gde bi bilo π. II nčin bi bio d uvedemo polrne koordine: = r osϕ = r sinϕ A ond je: ( r os ϕ) + ( r sin ϕ) = r osϕ r = r osϕ r= osϕ D vs podseimo, ovde je ds r` r dϕ = +. Kko je r= osϕ r`= sinϕ, bilo bi: I još immo d je: ϕ ϕ ϕ ϕ ds= ( sin ) + ( os ) d = d + = ( r os ϕ) + ( r sin ϕ) = r 5

6 D rzmislimo o grnim z ugo ( pogledjmo sliku još jednom) / π / π -/ π π π π + ds= r dϕ= osϕ dϕ = osϕdϕ = ( sinϕ) = π π π π π π = sin sin( ) = ( ( ) ) = Vi ope izberie nčin koji vm više odgovr ili koji zhev vš profesor. 6. Izrčuni krivolinijski inegrl =, =, = 4, =. ds gde je konur prvougonik koji odredjuju prve Nrjmo njpre sliku : = ( -os) D(,) =4 C(4,) = A(,) B(4,) = ( -os) Mormo dkle ovj zdk rsvii n 4 del, rdimo svki posebno p posle sve sberemo: 6

7 AB: ( žu duž) Ovde immo prvu = ( os) kko ržimo BC: ( rven duž ) ds, očigledno je rešenje. AB ovo je Ovde immo prvu = 4, p mormo rdii po. D vs podseimo: Ako je kriv d u obliku : =() i Iz = 4 sledi d je `=, s slike vidimo d Dkle, ovde je : m n d je f (, ) ds= f ( ( ), ) ( ` ) d n + m BC ds= 4 + d= 4 d= 4 = 4 = 8 CD: ( zelen duž) Ovde je prv = kko je ond `= i s slike vidimo d 4 immo: CD ds= d= = = 6 DA: ( plv duž) U pinju je prv = ( - os) u je zdi inegrl ds očigledno. Sd ko končno rešenje sberemo sv 4 rešenj koj smo dobili: ds= = 4 7. Izrčuni krivolinijski inegrl ( + ) ds gde je konur rougl O(,), A(,), B(,). B(,) O(,) A(,) += I ovde mormo rdii z svki deo posebno! 7

8 OA: ( žu duž) U pinju je os, znči prv = OA + ds= ( + ) d= d= = AB: ( rn duž) U pinju je prv + =, o jes = -, p je ` = - AB + ds= ( + ) + ( ) d= d= = BO: ( plv duž) Ovde immo osu, o jes prvu =. BO + ds= ( + ) d= d= = Sberemo sv ri rešenj i dobijmo: ( + ) ds = + + =+ 8. Nći dužinu luk prosorne krive = e os, = e sin, z= e ko je <. D se podseimo: dužin luk se rčun po formuli Ovo usvri znči d dužinu luk ržimo ko: S = ds. ` ` ` ds= ( ) + ( ) + ( z ) d ( nem onog prvog del) = e os `= e os + ( sin ) e = e (sin+ os ) = e sin `= e sin + os e = e (os sin ) z= e z`= e D sredimo prvo ovo pod koren, p ćemo d se vrimo u inegrl: 8

9 ( sin os ) ( os sin ) (( sin os ) ( os sin ) ) ` ` ` ( ) + ( ) + ( z ) = e (sin + os ) + e (os sin ) + ( e ) = = e + + e + e e = e = sin + sin os = + + e (sin os ) ovo je + os + sin sin os + + os = e Sd d izrčunmo inegrl: ` ` ` ds= ( ) + ( ) + ( z ) d= e d= e d Pzie, ovo je nesvojsven inegrl! A A A ds= e d= lim e d= lim( e ) = lim ( e ) ( e ) = ( ( )) = A A A eži 9