(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Транскрипт

1 EKSTREMUMI FUNKCIJA VIŠE PROMENLJIVIH ( II deo ) USLOVNI EKSTREMUM Ovde osim funkcije immo dte i uslove. Njčešće je to jedn uslov, li u oiljnijim primerim mogu iti dv i više njih. Ako je recimo dt funkcij f (), i uslov ϕ () mi njpre oformimo funkciju : F( ) = f ( ) + λ ϕ( ) λ je neponti koeficijent koji tržimo: - nñemo prve prcijlne ivode i ijednčimo ih s nulom - odtle irimo i y preko λ - menimo i y u uslov ϕ () i odredili smo vrednost λ ( može ih iti i nekoliko) - vrtimo tu vrednost u i y, doijmo tko stcionrne tčke. - tržimo drugi totlni diferencijl d F d i ispitli d li je u pitnju mksimum ili imum ( ko je d F < 0 u pitnju je m, ko je d F > 0 u pitnju je.) primer. Nći uslovne ekstremume funkcije = + y ko je uslov + y = Rešenje: Dkle, prvo oformimo funkciju: F y y = + + λ( + ) pite, stvlj se uslov ijednčen s nulom! + y = + y = 0 Dlje tržimo prve prcijlne ivode i ijednčvmo ih s 0.

2 F = + y+ λ + y ( ) = + λ = + λ y + λ = λ + λy y= λ Ovo menimo u uslov d nñemo vrednost λ : + y = λ λ + = λ λ ( ) + ( ) = = λ λ = λ =± λ=± + + λ =+ λ = Immo dve vrednosti, što nči d immo dve stcionrne tčke. Njpre ćemo meniti λ λ =+ + = = λ + = + y= y= λ + y= + M (, ) + + Ispitujemo d li je mksimum ili imum preko totlnog diferencijl drugog red:

3 = + λ = + λ y = λ = λ p je odvde: d F d ddy dy = + + d F = λd + 0+ λdy d F = λ( d + dy ) λ =+ d F = + + ( d + dy ) d F = + ( d + dy ) d F > 0 Kko je d F > 0, tčk je imum, menjujemo je u početnu funkciju d nñemo tu imlnu vrednost: = + y = ( ) + ( ) + + = + + = + + = + Sd isti postupk rdimo i drugu vrednost + λ = : λ = + = = λ + = + y= y= λ + y= + N(, ) + +

4 d F = λ( d + dy ) λ = d F = + + ( d + dy ) d F d dy d F = + ( + ) < 0 Zključujemo d je ovo tčk mksimum, p d odredimo tu mksimlnu vrednost funkcije: = + y m m = m m = = + + m = + primer. Nći uslovne ekstremume funkcije u= y+ ko je uslov + y + = Rešenje: Oformimo funkciju: F y y = + + λ( + + ), p ndlje sve po opisnom postupku: F = y+ + λ + y + ( ) = + λ = + λy = + λ + λ = λ + λy y= λ + λ = λ Menjmo ove vrednosti u uslov:

5 + y + = ( ) + ( ) + ( ) = λ λ λ + + =.../ λ λ λ λ + + = λ 9 = =± =+ = λ λ λ λ Opet immo dve vrednosti lmd, p svku rdimo poseno: Z λ =+ = + λ = λ = + λy = λ = + λ = λ d F = λd + λd y+ λd = λ( d + d y+ d ) d F = ( d + d y+ d ) d F d d y d d F = ( + + ) > 0 M (,, ) je imum u= y+ u (,, ) u = = + ( ) =

6 Z λ = = = λ y= y= λ = =+ λ N(,, ) p je = + λ = λ = + λy = λ = + λ = λ d F = λd + λd y+ λd = λ( d + d y+ d ) d F = ( )( d + d y+ d ) d F = ( d + d y+ d ) d F < 0 N(,, ) je mksimum u= y+ u (,, ) u m = = ( ) + = USLOVNI EKSTREMUM Diferencijiln funkcij f() dostiže njveću ili njmnju vrednost, u tvorenoj i ogrničenoj olsti, u stcionrnoj tčki ili u grničnoj tčki te olsti! primer. Nći njmnje i njveće vrednosti funkcije = + + u tvorenoj olsti y y ogrničenoj krivm: y= i y= 6

7 Rešenje: Ovde njpre mormo ncrtti sliku i uočiti olst: y y= y= Stcionrne tčke tržimo n uoičjn nčin: y y = + + = y = y = y y = y menimo u = y + y= , = y M (0, 0) = y = M (, ) Dlje mormo odrediti vrednost početne funkcije u ovim tčkm: M = + + y y = + + = i M (, ) = + + y y (, ) (, ) = + + = + + = ( ) ( ) ( ) ( )( ) = 7

8 Z sd ne nmo d li su ovo tčke ekstremum, mormo ispitti i grnične tčke. Njpre ćemo ispitti tčke n proli. y y= Zmenimo y= u dtu funkciju i tržimo ivod. y= = + + y y = + + ) ) ) ( ) ( ) = = + `= Tržimo ivod: ` + 8 ( + ) y y = = y= 0 0 Doili smo M Ovu tčku smo već doili ko stcionrnu... M = M = + + y y = + + =

9 Sd ispitujemo tčke n prvoj y = y y= y= = + + y y = + + ) ) = Tržimo ivod: `= ` =, = M = (,), M = (, ) M (, ) = + + y y (,) (,) (,) = + + = ( ) ( ) ( ) = = = = 6 7 i M (, ) = + + y y (,) (,) (,) = + + = ( ) ( ) ( ) 0 = = Dkle: Funkcij im mksimlnu vrednost u tčki M (, ) koj inosi: (,) = Funkcij im imlnu vrednost u tčki M = M koj inosi: 9