Microsoft Word - INTEGRALI.doc

Транскрипт

1 INTEGRALI ZADAI (I DEO) Ako je f() eprekid fukcij i F `() f() od je f ( ) d F( ) +, gde je proizvolj kostt. Morte učiti tblicu osovih itegrl:.. d +. d + jčešće se koristi... d. d l + ili d vs e zbui l + 5. d + l 6. d + e d e +. si d cos + 8. cos d si + 9. d ctg+ si 0. d tg+ cos rctg+ ili. d to jest d rctg + + rcctg+ + rcsi + ili. d to jest d rcsi + rccoc+ Ovo su osovi tbliči itegrli. Neki profesori dozvoljvju d se ko tbliči koriste i : d + d + d. l + odoso l + to jest l + + d d. l odoso l ± ± + ± + + ± +

2 Primeri: d + + ko. tbliči 5+ 6 d +. d + ko 5. tbliči l d + l. d pogledmo i vidimo d g ovj itegrl em u tblici osovih itegrl... Idej je d se kod ovkvih itegrl iskoristi prvilo z stepeovje upotrebljvi tbliči Dkle: d +. + m m d d , odoso. N ovj či se itegrl svede jčešće d I ovj g em u tblici...z jeg ćemo upotrebiti prvilo z stepeovje, d je d d Njbolje je d se mi podsetimo svih prvil z stepeovje i koreovje: ) 0 ) m ) m ) : m 5) ( ) 6) ( b) ) b b 8) b m+ m m b b

3 m m ) ) ) b b : b : m m ) ( ) m m 5) 6) p m p m b Nstvimo s primerim 5. d Upotrebimo prvil z stepe i kore d pripremimo poditegrlu fukciju : + + d d d 5 d d + 5 l. d "Spkujemo" poditegrlu fukciju d D se upozmo i s osovim svojstvim eodredjeog itegrl: ) A f ( ) d A f ( ) d gde je A kostt (broj) Dkle, sličo ko i kod izvod, kostt (broj) izlzi ispred itegrl...

4 Primeri: 8. d d d d d d l + π si d π si d π si d π ( cos ) + π cos + ) [ f ( ) ± g( )] d f ( ) d± g( ) d Opet sličo ko kod izvod: Ako immo zbir ili rzliku više fukcij od svke tržimo posebo itegrl.... ( + ) d ( + ) d d+ d d kostte izbcimo ispred itegrl... d+ d d (5cos + e ) d si d (5cos + e ) d 5 cos d e d d d 5 d si si 5 5 si + e + l ( ctg) + + l 5

5 . d Kod ovog i sličih itegrl ćemo upotrebiti A± B A B ± d ( ) d ( ) d d d d D prisredimo jpre mlo poditegrlu fukciju d [ ] d d d d d l l 5 5. d Ovo je tip itegrl koji jlkše rešvmo mlim ''trikom'' ( dodmo i oduzmemo ) d d d d d d d rctg+ + d + I ovde će m trebti zje iz trigoometrije. D se podsetimo ekih jvžijih formul: 5

6 Osovi trigoometrijski idetiteti ) si α + cos α siα ) tg α cos α ) ctg α si α ) tg α ctgα Adicioe formule si( α+ β ) siα cosβ+ siβ si( α β ) siα cosβ siβ cos( α+ β ) cosβ siα siβ cos( α β ) cosβ+ siα siβ tgα+ tgβ tgα tgβ tg( α+ β ) tg( α β ) tgα tgβ + tgα tgβ ctgα ctgβ ctgα ctgβ+ ctg( α+ β ) ctg( α β ) ctgβ + ctgα ctgβ ctgα Polovi ugl.... α si ± ili α + cos ± ili α tg ± + α + ctg ± α cos si cos α odoso si α + cos cos + cos α odoso cos Trsformcije zbir i rzlike u proizvod Dvostruki ugo α+ β α β. siα+ siβ si cos. si α siα α+ β α β. siα siβ cos si. cos α cos α si α α+ β α β tgα. + cosβ cos cos. tgα tg α α+ β α β ctg α. cosβ si si. ctgα ctgα si( α± β ) 5. tg α± tgβ cosβ si( α± β ) 6. ctg α± ctgβ siα siβ 6

7 6. cos d treb m formul cos cos si si cos cos cos si d d rstvimo dv itegrl... si cos si cos cos si d d skrtimo... si cos si cos cos d si cos si si cos d d ctg tg si + cos d i dobijmo dv tblič itegrl.... d treb m formul si + cos si cos d si + cos uz d je, zr e d d rstvimo dv itegrl... si cos si cos si cos si cos d skrtimo... si cos si cos d+ si d+ si cos si cos cos d+ d tg ctg cos + si d i dobijmo dv tblič itegrl tg d si Ovde koristimo tg cos si tg d d kko je si α+ cos α si α cos α, p je cos cos α cos α cos cos d d d tg cos + cos d d

8 9. 8 d Probmo d sredimo poditegrlu fukciju, ko eće, mor se koristiti eki drugi trik( drug metod)... 8 (9 ) ( ) (+ ) (+ ) 6+ Sd je već lkše... 8 d (6+ ) d 6 d+ d d ( ) ( )( + ) ( ) ( + ) d ( ) d d d