KORELISANOST REZULTATA MERENJA

Транскрипт

1 Grđevsk fkultet Osek geoeju geoformtku PROSTIRANJE SLUČAJNIH GREŠAKA U MODELIMA MERENJA Teorj grešk geoetsk merej Verj Prof r Brko Božć, plgeož

2 SADRŽAJ ZAKONI PRENOSA GREŠAKA MERENJA grešk fukcje ODREDJIVANJE GREŠAKA ARGUMENATA AKO JE POZNATA GREŠKA FUNKCIJE

3 Zko preos grešk merej grešk fukcje Posmtrjmo jeostvu fukcju : Drekt merej () Tč vreost o Pot koefcjet Greške merej - e e Z T = Mereje - Grešk ( e ) ( e ) ( e e ) T ( e ) ( e ) ( e e ) T ( e ) ( e ) ( e e ) T () Fukcje merej (3) meom (3) u ():

4 T T T e e e e e e (4) Po efcj: = e e Ooso, meom (4) u (5) : (5) e ( e e ) ( e e ) ( e e ) (6) Rvojem (6) obj se: ( e ) e e ( e ) ( e ) e e ( e ) (7) ooso: (e e e ) (e e e ) (e e e e e e ) (8) Ako u (8) upotrebmo smbol br, obj se sleeć r: e ee e ( ) ( ) ( ) (9) Ir u grm se mogu pst ko:,,, respektvo, tko sle: (0)

5 U ru (0) čl je kovrjs očv međusobu vsost promeljv U mtrčom oblku r (0) gls: K () ge je: K - vrjs-kovrjco mtrc (l kovrjco mtrc, mtrc kovrjs l spero mtrc) fukcje Ukolko je fukcj o evs merej,,,, t je: K Z skup o m fukcj evs merej,,,, r () gle: () K m m m m m (3) Ukolko su fukcje elere, rvojem u Tejlorov re (korst se smo prv stepe) vrš se jov lercj Nko lercje kovrjco mtrc fukcje gls:

6 m m m m m m K (4) Ir (3) (4) pot su ko ko preos vrjs - opšt slučj U ob slučj, r se mogu smbolčo prkt ko: t K A K A ge je K mtrc kovrjs o, K - mtrc kovrjs merej = K Ko elerog sstem ječ, ko lercje, mtrc koefcjet A prestvlj mtrcu prcjl vo u oosu epote prmetre Ukolko su merej međusobo evs, mtrc K je jgol (ejgol člov su jek ul), r (4), ukolko postoj fukcj s evs velč,, obj sleeć r: (5) (6) Ir (6) pot je ko ko preos vrjs - specjl slučj Poje člov r (6 - vo fukcje po pojem promeljvm) repreetuju poječ opros ukupoj grešc

7 Ako su j vrjse slučj promeljv j, ko su potve, t je r j r j j (7) koefcjet korelcje ve slučje promeljve j j Vž teorem: rj (8) pr čemu je r = ± smo ko među slučj promeljv j postoj ler ve s verovtoćom, tj k je P( j = c +) =, ge su c provolje kostte Ukolko kofcjete korelcje r j poređmo u oblku (9), obj se korelco mtrc R, oblk: R r r r r r r (9) koj sle oos: t R F K F (0) ge je: F = g(/ / ) : Merej () Ako je t P ck mtrc P oblk () vektor slučj promeljv s kovrjcoom mtrcom K()=K, t prestvlj mtrcu tež slučj promeljv (c = cost)

8 PRIMER : Nek je s evs slučj promeljv efs ko merej už eke be Vrjs sreje vreost X=/( ) gls: K() KX, KX X ZADATAK : Nek je A= B + C ek su B C ve međusobo evse velče Nć vrjsu o A ZADATAK : Nek su meje be A = 4000 m (s A = 005), B = 000 m (s B = 003) C=000 m (s C = 005) Oret premu be jeo stro ostupje REŠENJE: V=8000 m 3, s V = m 3 ZADATAK 3 : S A B mere je vertkl ugo =300 s s = kos už D=00000 m s s D = 005 m Srčut orotlu užu jeo stro ostupje REŠENJE: D H =99863, s D =005 m ( r =3438)

9 ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ У геодезији се често сусрећемо са случајем одређивања грешака аргумената (параметара) при познатој грешци њихове функције Решења овог проблема има више, али се тражи оптимално које подразумева минимизирање норме вектора стандардних грешака аргумената Поред оптималног решења, за приближнe прорачуне, користи се и приближно решење

10 ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење Нека су j k k,,, () Средње вредности резултата мерења различитих променљивих реализованих у и-том узорку 3 3 k k 3k Вредност функције гласи: (,,, ) (3) 3 Различите променљиве Нека су o стандардна одступања појединачних резултата мерења k Сходно закону преноса грешака, варијансе од износе: o (4) Уколико закон преноса грешака применимо на (3), варијанса гласи: o (5) са функције

11 ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Оптимално решење o Z poto poto - Стандардна одступања резултата мерења - Стандардно одступање функције Варијанса средње вредности променљиве Непознато? Број мерења у узорку за сваку променљиву Решење (5) се тражи минимизирањем броја мерења односно m Оптимално решењe варијансе највероватније (средње) вредности мерења o o (6) Уколико су стандардна одступања појединих променљивих једнака o Број мерења o (7) (8)

12 ОДРЕЂИВАЊЕ ГРЕШАКА АРГУМЕНАТА АКО ЈЕ ПОЗНАТА ГРЕШКА ФУНКЦИЈЕ - Приближно решење Нека је дата функција (,,, ) аргумената,,, Проблем гласи ако је позната вредност стандардног одступања функције одредити стандардна одступања,,, оцена,,, Варијанса функције Проблем се решава уз услов да сваки члан подједнако доприноси варијанси функције cost k, (k 0) k (9) Број непознатих аргумената функције

13 PRIMER U trouglu su mere uglov =35 =68 str =8 m Nć optmlo rešeje greške rgumt fukcje (Perovć, 989): ko su o = cm, o = o = 0 H = b =3 cm b / 67 j oj s b s (b / )ctg 043 cm / (b / )ctg cm / REŠENJE: 6904 cm 6cm, 3 cm, / 5 3 o 8, 4, / 3 o 644, 5, / 06 o o o Optm l o 7 Ako pođemo o pretpostvke uglove treb mert pr KL KD, o je =4, =, tko b optml broj merej trebo bt jek 9 c b

14 PRIMER Rešeje po prcpu jek utcj s b 07 m s l b l l s l s b b b Pr meom b b 3 b 3 prcp b 3 ctg b ctg 3cm 3 3cm 3 jek 3cm 3 b / ctg b utcj cm (b ctg) / (b ctg) / ctg 43 k Oos optmlog rešej rešej po prcpu jek utcj o o o Ako pođemo o pretpostvke uglove treb mert pr KL KD, o je =4, =, tko b optml broj merej trebo bt jek 0 N osovu reultt rčuj može se ključt ugo treb mert četr put precje o ugl, ooso obrt tkvu metou koj će to obebet ( prmer, povećt broj merej sl)

15 PRIMER 3 Prlkom svođej ekscetrčo mere prvc cetr tčost oređvj ugl e sme bt mj o Srčut tčost merej elemet ekscetrctet, ko je e m =0 m, km 4 km, 0 REŠENJE: e s s l s l e l l s kko cos s je 0 cos e ecos e e e cos s s es / Prmeom ko prostrj grešk m bć ost vr eo m e 0m, m km m cos Pr meom e 3 prcp 3 e 3 ecos mm 8mm jek utcj 000m 8mm 3 0m m mcos90