Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Транскрипт

1 INTEGRALI ZADACI (III-DEO) PARCIJALNA INTEGRACIJA Ako su u i diferencijbilne funkcije od, ond je : ud= u du O meod, prcijln inegrcij, po prilu je n počeku proučnj slbo rzumlji. Mi ćemo pokuši, koliko o dozolj pisn reč d m je približimo i objsnimo. Zdi inegrl mi uporeñujemo s ud. Nešo (recimoθ ) izberemo d je u, nešo (recimo d ) izberemo d je d. Od onog šo smo izbrli d je u ržimo izod, od onog šo smo izbrli d je d ržimo inegrl. Θ= u d=d Θ ` d= du d= Kd nñemo du i o menjmo u formulu prcijlne inegrcije: u du. noodobijeni inegrl izbrli u i d. Idej prcijlne inegrcije je d du bude lkši od počenog ud. Ako dobijemo d on nije lkši, znči d smo pogrešno Njčešći primer n kome profesori objšnjju prcijlnu inegrciju je : primer. e d=? Oj inegrl uporeñujemo s ud. Izbrćemo d je = u e d=d. u e d d e d= d= du e d= = oo sd menjmo u u du = e e d= e e + C= e ( ) + C u = = du e = A š bi se desilo d smo birli pogrešno? D idimo: e = u d= d e d= e d= du d= = e e d oj inegrl je eži od počenog! =

2 D bi pmeno birli oe inegrle ćemo podelii u 4. grupe.. GRUPA Ode ćemo biri d je ili izrz ezn s jednk u, se oslo je d N primer : cos d, ( ) sin d, e d, d, + e d sin ( 5) id.. GRUPA Ode ne uzimmo z u, eć funkciju pored, (odnosno izrz s ). ln = u, rcsin = u, rcg = u se oslo je d. N primer : ln d rcsin d, rcgd, ln d id.. GRUPA Ode ćemo uzimi d=d, unuršnj funkcij je u, ko u. grupi N primer : ln d, d ln, rcgd, d rcsin id. 4. GRUPA To su kružni inegrli, koji uek imju sog pr preko kog se di inegrl rć n poček N primer : e sin d, e cos d, ) d sin(ln, cos(ln ) d id. Od ske grupe ćemo urdii po nekoliko primer... Jsno je d urñeni primer e d pripd proj grupi. primer. ( )sin d=? = u sind=d ( )sin d= d= du sind = = ( )( cos ) ( cos )( d) = ( ) cos sin + C cos = u du d primer.? cos = d = u = d cos d d = d du = g gd= cos cos g= = = izući ćemo gd n srnu, rešii g, p ćemo se rii u prcijlnu inegrciju...

3 cos = sin d gd= d= sin d= d = = ln = ln cos cos sin d= d rimo se u zdk: d g gd g ( ln cos ) C g ln cos C cos = = + = + + primer 4. ln d=? Ode je primmljio uzei d je = u, li bi ns o odelo u ćorsokk... Oj inegrl je iz II grupe: ln = u d= d d d= du = u du ln = = ln = ln = ln ln ln d= + C= + C 4 d= primer 5. rcgd=? rcg= u d= rcgd= = rcg d= rcg d d= du = Ode ćemo si i D se podseimo: + d rešii n srnu p ubcii rešenje Oo je onj rik inegrl, objšnjen u I delu d d= d= d d= = d d= rcg + d + Sd je: rcgd= rcg d= rcg ( rcg ) + C +

4 primer 6. rccos d =? I oo je inegrl iz II grupe l je mlo eži i im iše posl. rccos = u d= d = = rccos d d - = du d = Uokireni inegrl ćemo rešii n srnu d= d= = d= d = d= d = = ( d) ( ) d = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) + = = = Vrimo se sd u prcijlnu inegrciju: rccos = u d= d rccos d = = d ( + ) - = du = ( + ) = rccos ( ) [ ( + ) = rccos ( ) ( ) + d ( + ) = rccos ( ) ( + ) + C ( + ) d ][ ] 4

5 primer 7. ln d=? Oo je inegrl iz nše III grupe. ln = u d=d ln d= d= du d= = ln d= ln d= ln + C= (ln ) + C = primer 8. ln d=? ln = u d=d ln d=? d= du d=, d nñemo mi oj izod n srnu, jer se rdi o složenoj funkciji. = ln (ln )`= ln (ln )`= ln = Vrimo se n zdk: = u ln d=d ln ln ln d= d= du d= = d= d= ln ln d = ln ln ln Rdili smo i dobili inegrciju! ln d, koji smo rešili u prehodnom primeru. Znči ode bi morli d rdimo nou prcijlnu Iskorisićemo rešenje prehodnog primer d je ln d= (ln ) P će rešenje nšeg inegrl bii: ln ln ln ln (ln ) (ln ln ) d= d = + C= + + C 5

6 primer 9. ln( + + ) d=? Oo je eć ozbiljniji primer i imćemo iše posl ln( + + ) = u d= d ln( + + ) d=, ko i obično, složeni izod ćemo n srnu? du = [ln( + + )]` = ( + + )` = ( + ( + )`) = ( ) = ( + ) = + + ( + + ) = + + Vrimo se u zdk: ln( + + ) = u d= d ln( + + ) d= = ln( + + ) d= d= du = + + = ln( + + ) d = + Ope problem, izučemo uokireni inegrl i rešimo g meodom smene: d= = d= = + + = + d= d + Končno, rešenje će bii: ln( ) ln( ) + + d= C 6

7 I još d pokžemo pr primer iz IV grupe. primer 0. sin(ln ) d=? Krenemo s prcijlnom inegrcijom ( počeni inegrl njčešće obeležmo s I ): sin(ln ) = u d= d I = sin(ln ) d= cos(ln ) (ln )` d= du = = cos(ln ) d = sin(ln ) cos(ln ) d= sin(ln ) cos(ln ) d Z sd I = sin(ln ) cos(ln ) d * Inegrl cos(ln ) d rdimo n srnu, ope prcijlnom inegrcijom: cos(ln ) = u d=d cos(ln ) d= = -sin(ln) d= du = cos(ln ) (-sin(ln) ) d= cos(ln ) + sin(ln ) d= cos(ln ) + I Dkle immo cos(ln ) d= cos(ln ) + I Vrimo se n * I = sin(ln ) cos(ln ) d ode zmenimo d je cos(ln ) d= cos(ln ) + I I = sin(ln ) [cos(ln ) + I] I = sin(ln ) cos(ln ) I I+ I = sin(ln ) cos(ln ) I = [sin(ln ) cos(ln )] [sin(ln ) cos(ln )] I = + C Konsnu C dodmo ek kd izrzimo I. 7

8 Profesori njiše ole d oj ip inegrl objsne ( posle l i piju) n inegrlim: e sin d i e cos d Mi ćemo urdii jedn uopšeniji primer : primer. e sin bd=? Srujemo s prcijlnom inegrcijom ( i nrno oj inegrl obeležimo s I) sin b= u e d= d I = e sin bd= cos b ( b)` d= du e d= = bcos bd= du e = e sin b b = sin b e e b cosbd e cosbd = Z sd dkle immo e sin b b I = e cosbd Rešmo e cosbd, p ćemo o rešenje rii cos b= u e d= d e cosbd= sin b ( b)` d= du e d= = bsin bd= du e = e cosb b = cos b e e ( bsin b) d e sinbd = + Dkle : e e cosb b cosbd= + e sin bd o jes e cosb b e cosbd= + I 8

9 e sin b b I = e cosbd e sin b b e cosb b I = + I odde mormo d izrzimo I e sin b b e cosb b I = I.../ i = sin cos I e b b e b b I + = I b I e b b e sin + = cosb I ( b ) e sin b b e cosb e sin b b e cosb I = + b e ( sin b b cos b) I = + C + b Rešenje oog uopšenog inegrl možemo primenii d rešimo recimo e sin d. Kko? e b b b e e Z = i b= je = = + b + ( sin cos ) ( sin cos ) (sin cos ) Dkle: e e (sin cos ) sin d = + C primer. d=? Oo je jedn od poznijih inegrl kog možemo rešii n nekoliko nčin. Ajmo d idimo kko bi o išlo pomoću prcijlne inegrcije... Njpre ršimo mlu rcionlizciju podinegrlne funkcije: = = = Dkle, sd immo d inegrl( počeni inegrl ćemo oznčii s I ): I = d= d d 9

10 Pri od njih je blični: d d= = rcsin A drugi ćemo rešii prcijlnom inegrcijom: = u d= d d= = d= du d= Rešimo oj inegrl posebno: = d= d= d = d= d Vrimo se sd u prcijlnu inegrciju: d = = = u d= d d= ( ) d= = d d= du d= + ( ) d d= + I D se podseimo poček: = I = d d I = rcsin ( + I) I = rcsin + I Prebcimo I n leu srnu! I+ I = rcsin + I = rcsin + i končno: rcsin I = + + C Oj inegrl možemo rešii elegnnije primenom odgorjuće smene, li o u sledećem fjlu 0