Neodreeni integrali - Predavanje III

Транскрипт

1 Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci

2 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

3 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

4 DIFERENCIJALNI RAČUN. Zadatak diferencijalnog računa je da se za zadanu funkciju f (x) odredi njena derivacija f (x), odnosno diferencijal df (x) = f (x)dx. INTEGRALNI RAČUN. Zadatak integralnog računa je da se za zadanu funkciju f (x) odredi funkcija F (x) takva da je F (x) = f (x).

5 Neodredeni integrali Integralni račun je vezan uz diferencijalni račun. Neka je zadana funkcija f (x). Primitivna funkcija funkcije f (x) je svaka funkcija F (x), koja je definirana na istoj domeni kao i funkcija f (x), takva da je F (x) = f (x). Ako je F (x) primitivna funkcija funkcije f (x) (znači da je F (x) = f (x)), onda za funkciju G(x) = F (x) + c vrijedi G (x) = (F (x) + c) = F (x) = f (x), odnosno i G(x) je primitivna funkcija funkcije f (x). Vezu funkcije f (x) i njezine primitivne funkcije zapisuje se neodredenim integralom f (x)dx = F (x) + c. Dakle, skup svih primitivnih funkcija funkcije f (x) zove se neodredeni integral funkcije f (x) i vrijedi jednakost F (x) = f (x).

6 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

7 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

8 Tablični integrali. dx = x + c, 2. x n dx = x n+ + c, n, n + 3. dx = ln x + c, x 4. a x dx = ax ln a + c, 5. sin xdx = cos x + c, 6. cos xdx = sin x + c, 7. cos 2 dx = tgx + c, x 8. sin 2 dx = ctgx + c, x

9 Tablični integrali a 2 + x 2 dx = a arc tgx a + c, a 2 x 2 dx = 2a ln a + x a x + c, a 2 x dx = arc sinx 2 a + c, a 2 + x 2 dx = ln(x + a 2 + x 2 ) + c, x 2 a 2 dx = ln(x + x 2 a 2 ) + c.

10 Provjera... Provijera drugog neodredenog integrala u gornjem popisu. Hoće li deriviranje izraza s desne strane jednakosti dati podintegralnu funkciju. Iz ( ) x n+ n + + c = n + (n + )x n = x n slijedi da je izraz s desne strane jednakosti zaista primitivna funkcija podintegralne funkcije.

11 Svojstva integrala Ovdje su navedena pravila integriranja (koja slijede iz pravila deriviranja): (. f (x)dx) = f (x), 2. df (x) = f (x) + c, 3. af (x)dx = a f (x)dx, 4. (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx.

12 Zadaci. Izračunajte sljedeće intgerale:. 8x 3 dx,.2 4 dx, x 3 ( x + 3 x) 2.3 dx, x.4 2x dx, 3 x+ + 2 x.5 6 x dx,.6 7x 2 8 dx..7 dx. 7 5x 2

13 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

14 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

15 Metoda supstitucije Postavlja se pitanje kako integrirati funkciju f (x) = sin 2x, ali znamo da je sin xdx = cos x + c? Može se pretpostaviti da bi se integriranjem izraza sin 2x trebali dobiti slični rezultati. Uvedi se susptitucija u = 2x. Onda je du = 2dx, odnosno dx = 2du. Slijedi sin 2xdx = sin u 2 du = sin udu = 2 2 cos u+c = cos 2x+c. 2 Općenito, metodu supstitucije može se opisati sljedećim izrazom f (g(x))g (x)dx = f (u)du = F (u) + c = F (g(x)) + c, gdje je u = g(x) i F (x) je primitivna funkcije funkcije f (x).

16 Zadaci. Metodom supstitucije izračunajte sljedeće integrale:. ( + x) 3 dx,.2 xe x 2 dx, x x 3 dx, 5x 2.4 dx, 4x 3 4x 3.5 x 8 dx,.6 x ln 2 x dx, sin x.7 cos 3 x dx,.8 sin 2 xdx,.9 e 2 cos x sin xdx.

17 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije

18 Metoda parcijalne integracije Iz pravila o deriviranju produkta funkcija u i v slijedi d(uv) = udv + vdu, odnosno udv = uv vdu. Navedena formula daje metodu parcijelne integracije za integriranje funkcije koja je produkt dviju funkcija u i v. Pri odabiru funkcije koju ćemo označavati s v, odnosno funkcije koju ćemo označavati s u vodimo računa da vdu mora biti jednostavniji od početnog integala.

19 Primjer Riješiti integral xe x dx. Neka je u = x i dv = e x dx. Onda je du = dx i v = e x dx = e x. Slijedi xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c.

20 Zadaci. Metodom parcijalne integracije izračunajte sljedeće integrale:. x sin xdx,.2 ln xdx,.3 x 2 e x dx.

21 Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne integracije