Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

Транскрипт

1 Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskz pogledti u predvnjim (Teorem 1.7.) Zdtk 1 Izrčunjte ukupni fluks funkcije F kroz plohu, ko je F zdno s F (x, y, z) ( y, x, x ), je unij cilindr x + y (pri čemu uzimmo z h) i "poklopc" (gornje bze vljk). (Npr. u mehnici fluid fluks predstvlj protok fluid kroz plohu.) Rješenje. Fluks polj F kroz plohu je jednk rotf NdA. Zdtk možemo riješiti n više nčin: ) koristeći Stokesov teorem rčunti krivuljni integrl F T ds ( i tj integrl možemo rčunti n više nčin); b) direktno izrčunti integrl po plohi rotf NdA. ) Rčunmo F T ds. (T je jedinični tngencijlni vektor n rub od ). Ploh je cilindr + gornj bz p je kružnic donje bze vljk. Cilindr prmetrizirmo uobičjeno funkcijom ϕ(θ, z) ( cos θ, sin θ, z); ϕ : [, π] [, h] R 3. Jedinični vektor normle n plohu u proizvoljnoj točki cilindr rčunmo (vidjeti predvnj) s Izrčun se θ sin θ cos θ, N(θ, z) z θ z θ z. 1, θ z cos θ sin θ p dobivmo N (cos θ, sin θ, ). Ztim, jediničn vnjsk norml n je u svkoj točki rub: n (,, 1), vrijedi T N n p slijedi d je T ( sin θ, cos θ, ). Sd treb prmetrizirti (koji je kružnic u xy rvnini oko ishodišt, rdijus ): (θ) ( cos θ, sin θ, ); : [, π] R 3.

2 Slijedi F T ds (F T )((θ)) (θ) dθ π ( sin θ, cos θ, cos θ) ( sin θ, cos θ, ) dθ π ( sin θ + cos θ)dθ π.. vrijnt s krivuljnim integrlom: uočimo d je (znči donj kružnic) tkođer i rub skup, gdje je krug u xy rvnini oko ishodišt rdijus. kle immo d je (p je i T T, T je tngent n ). Izrčun se i d je rotf F ( F 3 y F z, F 1 z F 3 x, F ) (, x, ). y S N oznčimo normlu n plohu, u svkoj točki iz je N (,, 1). Slijedi F T ds F T ds {po Stokesovom teoremu} rotf N da (, x, ) (,, 1)dA da P ( ) π. b) Podijelimo plohu n 1 (cilindr) i (poklopc). Sd je rotf NdA 1 + Norml n 1 je N 1 (cos θ, sin θ, ) (izrčunli smo pod )). N je norml N (,, 1). Treb još izrčunti forme površine. sin θ Z 1 :, n (1,), n (1,3) sin θ 1y, n (,3) cos θ 1x. Zto je da 1ydx dz + 1 xdy dz. Z : prmetrizcij ϕ (r, θ) (r cos θ, r sin θ, h); r [, ], θ [, π]. ϕ cos θ r sin θ sin θ r cos θ, r; n (1,) 1; n (1,3) n (,3)

3 p je da r dx dy. obijemo rotf NdA rotf N 1 da + 1 rotf N da (, x, ) (cos θ, sin θ, )( 1 1 ydx dz+1 xdy dz)+ (, x, ) (,, 1)(1dx dy) ( x) y 1 ( 1 ydx dz + 1 xdy dz) + dx dy (xy dx dz x ydy dz) + dx dy 1 π h + ( cos θ sin θ ( sin θ) cos θ sin θ cos θ)dzdθ+ π rdθdr + 4π rdr 4π π. Npomen 1 U ovoj vrijnti Stokesov teorem kže d fluks od F po plohi možemo rčunti ko integrl po bilo kojoj plohi čiji je rub krivulj C ( ). Ovdje smo među tkvim plohm odbrli krug. Zdtk Izrčunjte fluks polj F y i +xz j +x k kroz trokut u prvom oktntu koji je odsječen koordintnim rvninm iz rvnine x + y + z 1. Rješenje. Rdi se o trokutu s vrhovim (1,, ), (, 1, ) i,, 1). Izrčun se rotf F ( x, x, z 1) i N 1 3 (1, 1, 1) (jedinični vektor normle rvnine x + y + z 1). irektno: izrčunti plošni integrl (rotf ) NdA. Koristeći Stokesov teorem: prmetrizirmo strnice trokut s 1 (t) (1 t, t, ); (t) (, 1 t, t); 3 (t) (t,, 1 t); t [, 1] i izrčunmo jedinične tngente n svki dio rub (rub je dio prvc p mu se tngent poklp s tim prvcem): T 1 1 ( 1, 1, ); T 1 (, 1, 1); T 3 1 (1,, 1)

4 p je (F T )ds (t,, (1 t) ) ( 1, 1, ) dt+ 1 1 (1 t,, ) (, 1, 1) dt (, t(1 t), t ) (1,, 1) dt 1 ( t t )dt 5 6. Ideje dokz z Teoreme 1.6. i 1.7. s predvnj (korolri Stokesovog teorem). Iskze teorem pogledti u predvnjim. Teorem 1.6. (Teorem o divergenciji) Idej: Nek je α ( 1) i 1 F i dx 1 dx... dx i... dx n i1 (n 1) diferencijln form n V (u i tom sumndu izostvljen je dx i ). Ond je dα (divf )dx 1... dx n p po Stokesovom teoremu immo dα Sjetimo se definicije da { form površine od V } V V divf V α. ( 1) i 1 n i dx 1... dx i... dx n. i1 Može dokzti su u ovom slučju ((n 1) mnogostrukost u R n ) n i iz definicije da ustvri smo komponente vnjske normle N n V, n tngencijlnim vektorim vrijedi n i da ( 1) i 1 dx 1... dx i... dx n. Zto je F NdA F i n i da i1 F i ( 1) i 1 dx 1... dx i... dx n α. i1

5 Teorem 1.7. (To je vrijnt Stokesovog teorem z k i n 3 koju smo koristili u zdcim s primjenom Stokesovog teorem). Idej: efinirmo 1 formu ω F 1 dx + F dy + F 3 dz. Nek je : [, b] prmetrizcij od. Slijedi ω b b (F 1 ((t)) 1(t) + F ((t)) (t) + F 3 ((t)) 3(t))dt F ((t)) (t)dt b (F ((t)) F T ds. Prem općenitom Stokesovom teoremu, F T ds Jednkost ( ) sd izvodimo: dω ( ) (t) (t) (t) dt ω ( F ) NdA. dω (df 1 ) dx + (df ) dy + (df 3 ) dz dω. Zto immo ( F 1 y dy dx+ F 1 z dz dx)+( F x dx dy+ F z dz dy)+( F 3 x dx dz+ F 3 y dy dz) ( F y )dx dy + ( F 3 z )dx dz + ( F 3 y F )dy dz z ( F ) (n 3 da, n da, n 1 da) {n 1, n, n 3 su komponente normle N} ( F ) N.