1. Realni brojevi

Транскрипт

1

2 .. Skupovi brojev N {, 2,,...,n, n +,...} Skup prirodnih brojev ztvoren je s obzirom n opercije zbrjnj i množenj. To znči d se bilo koj dv broj ili više njih) mogu zbrjti i množiti i ko rezultt opet dobivmo prirodni broj. Z {...,, 2,, 0,, 2,,...,n, n +,...} Skup cijelih brojev je osim opercij zbrjnj i množenj ztvoren i s obzirom n operciju oduzimnj. { } Q b :, b Z, b 0 U skupu rcionlnih brojev osim već nvedenih opercij definirno je i dijeljenje, pri čemu je djelitelj rzličit od 0. I { x : x sene može prikzti u obliku U skupu ircionlnih brojev nlze se oni brojevi koje ne možemo prikzti ko količnike dvju cijelih brojev. R Q I Skup relnih brojev je unij skupov rcionlnih i ircionlnih brojev. Svki relni broj možemo prikzti u končnom ili beskončnom decimlnom prikzu ± gdje je 0 prirodni broj ili nul,, 2,... su neke od znmenk 0,,...,9. Vrijede sljedeći skupovni odnosi: N Z Q R, I R Q I 0, Q I R } b Svojstv skupov N, Z i Q : Skup N im njmnji element, li nem njveći. Skup Z nem ni njmnji ni njveći element. Ako je Z, ond nem element u Z koji bi bio izmedu - i, tj. izmedu - i +. 2

3 .. Skupovi brojev Skup Q nem ni njmnji ni njveći element. Izme - du bilo koj dv rcionln broj i b < b ) postoji brem jedn rcionln broj c tkv d vrijedi < c < b. To svojstvo zove se gustoć skup Q. Jednkost rcionlnih brojev: b c d Opercije s rcionlnim brojevim: d b c b + c d + bc d bd b : c d b d c d bc b c d b : c d d bc bd b c d bc d Svki rcionlni broj može se krćenjem dovesti n oblik u kojem brojnik i nzivnik nemju zjedničkih djelitelj. Svojstv zbrjnj i množenj relnih brojev:. Komuttivnost: + b b +, b b 2. Asocijtivnost: + +c +b + c), c b c). Distributivnost množenj prem zbrjnju obostrn): b + c) b + c, + c c + b c. Postojnje neutrlnih element, 0 z zbrjnje i z množenje: ,. Postojnje suprotnog element z zbrjnje i recipročnog element z množenje: + ) )+ 0, Skup R je ureden, - tj. njegovi elementi mogu se medusobno - usporedivti: -. b ili b. 2. Ako je b i b, ond je b.. Ako je b i b c, ond je c.. Ako je b,tdzsvki c R vrijedi + c b + c.. Ako je 0 i0 b, ond je 0 b.

4 .2. Zdci Zdtk. Odredi pet uzstopnih: ) prirodnih brojev čiji je zbroj 70 prnih prirodnih brojev čiji je zbroj 90 c) neprnih prirodnih brojev čiji je zbroj 2 ) n 2, n, n, n +, n + 2 pet uzstopnih prirodnih brojev n 2 + n + n + n + + n n 70 / : n 2,,,, 2n, 2n 2, 2n, 2n + 2, 2n + pet uzstopnih prnih prirodnih brojev 2n + 2n 2 + 2n + 2n n n 90 / :0 n 9,,,, 22 c) 2n, 2n, 2n +, 2n +, 2n + pet uzstopnih neprnih prirodnih brojev 2n + 2n + 2n + + 2n + + 2n + 2 0n + 2 0n / :0 n 2 2, 2, 2, 27, 29 Zdtk 2. Izrčunj: ) ) Trženi zbroj oznčimo s S. Ztim pribrojnike npišemo u obrnutom poretku i zbrojimo te dvije jednkosti.

5 .2. Zdci S S S }{{} 2 pribrojnik 2S 2 2 / :2 S 2 2 S 00 Postupmo ko i u ) dijelu zdtk: S S S }{{} pribrojnik 2S 2 / :2 S 7 2 S 9 Kko odredujemo - broj pribrojnik? Od zdnjeg čln trženog zbroj oduzmemo prvi čln, 2 99, te dobiveni rezultt podijelimo s rzlikom izmedu - svk dv čln koj u ovom zdtku iznosi, 99 :. Dodmo jer se broje i prvi i zdnji čln, +. Zdtk. N - di njveći zjednički djelitelj mjeru) i njmnji zjednički višekrtnik brojev i 92. Njveć zjedničk mjer je umnožk svih prostih fktor koji su zjednički i jednom i drugom broju. Njmnji zjednički višekrtnik jednk je umnoškusvih prostih fktor koji se jvljju ili u jednom ili u drugom broju NZD, 92) NZV, 92)

6 Zdtk. Izrčunj: ) ) :. ) : 2 ) : ) ) : ) ) ) : 2 ) : 0 ) : 2 + ) ) : 9 ) + ) ) Zdtk. Izrčunj: ) : { 2 [ ) : ]} 2 2 c) ) : ) 9 2 : 7

7 .2. Zdci ) { [ : ) : ]} 2 2 { [ : ) 2 { [ : ]} { [ : } : { 2 : { ]} ) 2 ]} { [ : 2 { [ : 2 ]} } : ]} c) ) : 2 ) 2 9 : ) 2 + ) ) 7 )

8 [ ] Zdtk. Izrčunj x iz sljedećih jednkosti: ) x + 2) : [ ] 00 x) 2 :2 ) x + 2) : [ ] 00 x) 2 2 x + 2) : x) x + 2) 2 x 0 2 x x 0 x x 0 x 2 / : x / : x 2 x 22 Zdtk 7. Izrčunj vrijednost brojevnog izrz ) : + b b b z 2 i b 0..

9 .2. Zdci b ) : + b b b : ) 2 + ) 2 9 : : : ) Zdtk. Izrčunj b, b, + b b ko je + b. Iz + b slijedi + b, b 2. Utržene brojevne izrze umjesto b uvrstit ćemo 2 : b 2 2 b 2 + b b Zdtk 9. Poredj po veličini brojeve 2,, 2, 2 počevši od njmnjeg. Rzlomke ćemo proširiti tko d njihovi nzivnici budu jednki. Njmnji zjednički višekrtnik brojev,, 2 i 2 je broj < 0 2 < 2 2 < < 2 < < 2 Zdtk 0. Poredj po veličini brojeve 7, 2,, 2. počevši od njvećeg. 9

10 > 0 2 > 2 > 2 7 > 2. > > 2 Zdtk. Odredi sve cijele brojeve n z koje je dni rzlomk cijeli broj: ) 2 n ) 2 n n n c) 2n + n Nzivnik dnog rzlomk mor biti cjelobrojni djelitelj brojnik. n {±, ±2, ±, ±, ±, ±2} n n n + n n n + n + n Cjelobrojni djelitelji broj su brojevi i p mor vrijediti: n n 2 n n 0 c) 2n + n 2n + 7 2n ) n n + 7 n n Cjelobrojni djelitelji broj 7 su brojevi ± i±7 p mor vrijediti: n n n n 2 n 7 n 0 n 7 n Zdtk 2. Odredi pet brojev čij je ritmetičk sredin 2., svki idući broj je od prethodnog veći z 0.. n, n + 0., n + 0., n + 0.9, n +.2 trženi brojevi 0

11 .2. Zdci Aritmetičk sredin n brojev je broj koji dobijemo kd njihovu sumu podijelimo s n. n + n n n n n + / 2. n + n / : n , 2., 2.,.,. Zdtk. U nekom rzredu s 2 učenik prosječn ocjen ispit iz logike je 2.. Kolik je prosječn ocjen učenik koji su dobili pozitivnu ocjenu ko je četvero učenik dobilo? Oznčimo s n zbroj svih ocjen. Prosječnu ocjenu svih učenik dobijemo kd zbroj ocjen podijelimo s ukupnim brojem učenik. Iz te relcije izrčunt ćemo n. n / n 70 D bismo izrčunli prosječnu ocjenu pozitivno ocijenjenih učenik, od ukupnog broj učenik oduzmemo jer je četvero učenik dobilo, od zbroj svih ocjen oduzmemo jedinice. n 70 zbroj pozitivnih ocjen 2 2 broj učenik koji su dobili pozitivnu ocjenu Prosječn ocjen pozitivno ocijenjenih učenik je 2.7.