Microsoft Word - MATRICE.doc

Транскрипт

1 MARICE (EORIJA) Z prvougonu ( kvrtnu ) šemu rojev (i,,,m j,,,n ): n n m m mn kžemo je mtri tip m n. Brojevi su elementi mtrie. ip mtrie je vrlo itn stvr : k kžemo je mtri tip m n, to znči on im m vrst i n kolon. Primer: Mtri Mtri -5 A 8 B 6 - je tip jer im ve vrste tri kolone. je tip jer im vrste i kolone. Mtrie se njčešće oeležvju ovim srenjim zgrm [ ], li vs ne zuni, neki profesori ih oeležvju i mlim zgrm ( ) koriste se još i. Vi rite onko kko kže vš profesor... Ako mtri im isti roj vrst i kolon ( n n ), z nju kžemo je kvrtn mtri re n. Mtri či su svi elementi jenki nuli nziv se nul- mtri. [ ] 0 0 0,, 0 0 it ef Mtri - A efinisn s A ( ) A je suprotn mtri z mtriu A. Kvtrn mtri re n z koju je ii ( po glvnoj gonli su jeinie sve ostlo nule) nziv se jeiničn mtri re n i oznčv se s I n I [ ], I, I it Neki profesori jeiničnu mtriu oeležvju s E. Vi rite onko kko kže vš profesor...

2 Ako su svi elementi kvrtne mtrie re n ispo glvne gonle jenki nuli, tkv se mtri nziv gornj trougon mtri. N primer : je gornj trougon mtri re. Ako su svi elementi kvrtne mtrie re n izn glvne gonle jenki nuli, tkv se mtri nziv onj trougon mtri. N primer : je onj trougon mtri re. Dve mtrie A i B su jenke ko i smo ko su istog tip i imju jenke ogovrjuće elemente. Sirnje i ouzimnje mtri Vžno: Mogu se sirti ( ouzimti ) smo mtrie istog tip! Primer Nek su te mtrie -5 A i B Nji mtriu AB i A-B. Njpre primetimo su mtrie A i B istog tip, to jest oe imju vrste i kolone. o nm govori i će mtri koj je njihov zir tkoje iti tip. Sirju se tko što sirmo mesto s mestom krenemo o mest n prvoj vrsti i koloni 5 it (-5) A B 0 ( ) 0 6 Anlogno rimo i ouzimnje: (-5) 0 A B 0 ( )

3 Množenje mtrie sklrom (rojem) Vžno: Mtri se množi rojem tko što se SVI elementi mtrie pomnože tim rojem! Pzite, ove često oñe o greške jer smo, ko se sećte,rekli se eterminnt množi rojem tko što se smo jen vrst ili kolon pomnoži tim rojem, ko mtrie svki element množimo tim rojem. Primer Nek je t mtri - A 6 0. Oreiti mtriu A. Nrvno, ko množenj mtrie sklrom tip mtrie se ne menj. - A (-) -6 A Množenje mtri Vžno : Proizvo ve mtrie je efinisn smo ko je roj kolon prve mtrie jenk s rojem vrst ruge mtrie! Ako reimo uzmemo je mtri A tip m n mtri B tip n p on će mtri, reimo C, koj se o njihovim množenjem iti tip m p. A B C tip orejujemo ( m n ) ( n p) m p ( ko se skrte unutršnji) Primer Dte su mtrie : - A 0 i 0 B -.Oreiti njihov proizvo AB.

4 Njpre viimo koji tip će imti mtri koj se o njihovim proizvoom: A je tip, ok je B tip p će mtri njihovog proizvo iti tip ( ) ( ). Dkle imće ve vrste i ve kolone. 0 - A B 0. Kko s rčunti? Immo kle mest prv vrst prv kolon prv vrst rug kolon 0 rug vrst prv kolon rug vrst rug kolon - prv vrst prv kolon omo : (-). - prv vrst rug kolon omo: rug vrst prv kolon : rug vrst rug kolon :. 0. (-).(-) (-)06-

5 S ovo uimo gore: Nrvno, vi ne morte rite ovoliko postupno, k se izvežte, sve će ići mnogo rže... Z proizvo mtri vže zkoni: ) ( A B) C A ( B C) ) A ( B C) A B A C i ( B C) A B A C A ) α( A B) ( α A) B A( α B) α je sklr ( roj) ) I A A I ge je I jeiničn mtri Vžno: Z mtrie u opštem slučju ne vži komuttivnost množenj A B B A Ako je A mtri tip m n, on se njen trnsponovn mtri A o k u mtrii A kolone i vrste zmene mest. ip mtrie A je on nrvno n m. Primer 5 Ako je reimo A 0 0 0, on je A Ako je reimo B B Mtri A z koju je A A nziv se simetričn mtri.( nrvno, mtri A mor iti kvrtn) Primer Ako je A 0 5 5, k zmenimo mest kolone u vrste, omo A Dkle, ov mtri je simetričn! 5

6 Z operu trnsponovnj vže sleeće osoine: ) ( A ) A ) ( α A) α A α je sklr ) ( A B) A B ko su mtrie A i B istog tip ) ( A B) B A Dlje se mormo upoznti s eterminntm. Ov tem je orñen u posenom fjlu eterminnte, mi ćemo vs posetiti n neke njvžne stvri. Determinntu kvrtne mtrie A n n n n nn oeležvmo s et (A) ili A zpisujemo :. et A..... n... n... n n nn Znči eterminnte, z rzliku o mtri, pišemo u zgrm. Determinnt je roj mtri je šem! Nećemo vs viti s teorom, već ćemo n pr primer ojsniti kko se rčunju eterminnte: DRUGOG REDA Rčunju se tko što pomnožimo elemente n tkozvnoj glvnoj gonli, p o tog ouzmemo pomnožene elemente n sporenoj gonli. Primer: (-) - (-5) -5 6

7 REĆEG REDA Determinnte trećeg re možemo rzviti po ilo kojoj vrsti ili koloni. Njpre svkom elementu oelimo preznk ili -, i to rimo neizmenično: Smo vs posetimo: vrste su, kolone Ako reimo hoćemo rzvemo po prvoj vrsti, ili ko reimo rzvmo po rugoj koloni: Njolje je,nrvno, rzvmo po onoj koloni ili vrsti ge im njviše nul! Primer: Izrčunj vrenost eterminnte Njpre izn svkog roj npišite preznke:, ili ko vm je lkše smo izn rojev u vrsti ili koloni po kojoj ste rešili rzvete eterminntu. Mi smo rešili po rugoj vrsti jer im jen nul (moglo je i po trećoj koloni, sve jeno). Dkle: ( - )(5 - ) - 565

8 8 Drugi nčin z rčunnje eterminnti trećeg re, meju učeniim vrlo populrn, je SARUSOVO prvilo. Pore te eterminnte opišu se prve ve kolone, p se elementi množe jući im znke ko n slii: Primer: Izrčunj vrenost eterminnte Dkle, n o nčin smo oili isti rezultt,p vi oerite smi št vm je lkše. ČEVROG REDA Možemo je rzviti po ilo kojoj vrsti ili koloni! I ove slično ko z eterminnte trećeg re prvo npišemo preznke svim ili smo onoj vrsti ili koloni po kojoj ćemo rzvmo eterminntu. Mi ćemo, reimo, rzvemo eterminntu po prvoj koloni:

9 9 Nrvno, s i trelo rzvemo svku o ove četiri eterminnte trećeg re... Složićete se ovo ne š lko. Nučimo zto osoine eterminnt koje će nm pomoći u rešvnju ztk. OSOBINE DEERMINANAA. Determinnt menj znk ko ve vrste ili kolone izmenjju svoj mest.. Vrenost eterminnte se ne menj ko sve vrste i kolone promene svoje uloge.. Determinnt se množi rojem, k se tim rojem pomnože svi elementi m koje (li smo jene) vrste ili kolone. Ornuto, zjenički fktor element jene vrste ili kolone može se izvući ispre eterminnte N primer: k k k k k k k it. ili m m m m. Ako je u eterminnti svki element neke k-te vrste (kolone) zir v ili više sirk, on je on jenk ziru ve ili više eterminnt, koje imju iste elemente ko i t eterminnt, osim element k-te vrste (kolone). N primer: m m m m m m

10 5. Ako su svi elementi jene vrste(kolone) jenki nuli, vrenost eterminnte je nul. Primeri: ili Ako elementi u ve vrste ili kolone imju iste vrenosti, vrenost eterminnte je opet nul. Primer: jer su elementi prve i treće vrste jenki. Ako su ve vrste ( kolone ) proporionlne meñu soom, vrenost eterminnte je opet nul. Primer: vrstu jer su prv i treć vrst proporionlne, tj. prv put je treću 0 8. Vrenost neke eterminnte ostje nepromenjen ko se elementim jene vrste(kolone) oju ogovrjući elementi neke ruge vrste(kolone) pomnoženi istim rojem! Ov osm osoin će nm pomoći lkše rešimo eterminnte četvrtog i višeg re. 9. et A et A Ako trnsponujemo mtriu, vrenost njene eterminnte se ne menj. 0

11 Minor ( u ozni M ) element eterminnte re n jeste eterminnt mtrie re n- koj se o izostvljnjem i-te vrste i j-te kolone iz te mtrie. Kofktor ( u ozni A ) element eterminnte re n efinišemo s ( ) i A j M Primer Ako posmtrmo mtriu Minori:, njeni minori i kofktori će iti: M, M, M M, M, M M, M, M Kko smo oili reimo minor M? Oznk nm govori poklpmo prvu vrstu i prvu kolonu:, ono što ostne stvimo u mlu eterminntu. Minor M omo k poklopimo prvu vrstu i rugu kolonu (): Kofktori:, ostje, it. A ( ) M ; A ( ) M ; A ( ) M A ( ) M ; A ( ) M ; A ( ) M A ( ) M ; A ( ) M ; A ( ) M

12 Št možemo primetiti ko kofktor što se tiče znkov? P, zni iu nizmenično, ko k smo rzvli eterminnte: Ako vš profesor ozvoljv, možete izeći pišete ono ( ) i j, već om uzmete znkove neizmenično. Jen o čestih ztk n fkultetim je trženje inverzne mtrie. On se upotreljv z rešvnje sistem jenčin, mtričnih jenčin Njpre ćemo reći nešto o jungovnoj mtrii. Nk je t mtri A n n n n nn, ili skrćeno zpisn A. n n Mtriu A, ge su A kofktori element mtrie A, nzivmo jungovn ( priružen ) mtri z mtriu A i oznčvmo je s : A A... An A A... A n. ja A.. A n A n... Ann Primer: Dt je mtri 5 0 A 0 0. Oreiti njenu jungovnu mtriu ja. Njpre tržimo kofktore On njih porejmo u mtriu

13 5 0 A 0 A A 0 A ( ) A 0 A A 0 A A 0 A A 0 A ( 5) A 0 A A 0 A A 0 A 0 0 S ove vrenosti menjmo u : A A A ja A A A A A A, p je ja 5

14 II nčin z trženje jungovne mtrie K mlo steknete iskustvo, ne morte sve rite postupno, već možete omh tržite jungovnu mtriu. Uzmemo tu mtriu: 5 0 A 0 0 i trnsponujemo je: A u stvimo preznke neizmenično: A Poklpmo mest i sve stvljmo u veliku mtriu ja N tj nčin omh immo ja 5

15 S možemo efinisti i inverznu mtriu. Nk je A kvrtn mtri re n. Ako postoji mtri A re n tkv je A A A A I n, ge je I n jeiničn mtri re n, t kžemo je A inverzn mtri mtrie A. Formul po kojoj tržimo inverznu mtriu je : A ja et A Nrvno, tre reći inverzn mtri postoji ko i smo ko je et A 0. Inverzn mtri je, ko postoji, jeinstven! Primer Oreiti inverznu mtriu mtrie B 5 5 Rimo po formuli: B jb et B Njpre tržimo et B, jer t vrenost mor iti rzličit o nule i postojl inverzn mtri... et B 5 koristimo Srusov postupk... 5 et B 5 5 ( 5) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( 5) et B Dlje tržimo j B. 5

16 B B B jb B B B B B B 5 B 5 B 5 ( ) 5 B 5 B [ 0] B 5 B 8 ( 5) 5 5 B 5 B [ 9 ( )] 5 B 5 B B 5 B [ ( 5)] 5 5 B 5 B 6 ( 5) 5 5 B 5 B 0 5 B 5 B 0 ( ) 5 5 Porejmo kofktore u mtriu j B. 6

17 jb 0, s se vrćmo u formulu B jb et B, p je : B 0 B 0 Ako z mtriu A postoji inverzn mtri, kžemo je mtri A regulrn mtri. U protivnom, z mtriu A kžemo je singulrn ( neregulrn). Evo nekoliko prvil koj vže z regulrne mtrie: ) ( A ) ( A ) ) ( A B) B A ) ( A A... A ) A... A A n n Ako z kvrtnu mtriu A vži je A A, on nju nzivmo ortogonln mtri. Rng mtrie Njpre kžemo koje su elementrne trnsforme mtri: i) zmen mest ve vrste ( kolone) ii) iii) množenje element jene vrste (kolone) nekim rojem koji je rzličit o nule ovnje elementim jene vrste (kolone) element(ogovrjućih) neke ruge vrste(kolone) koji su prethono pomnoženi proizvoljnim rojem. Mtri A je ekvivlentn s mtriom B ( oznk A B ) ko se o mtrie A može preći n mtriu B primenom končno mnogo ekvivlentnih trnsform.

18 Posmtrjmo neku mtriu A M m n ( mtriu A iz skup mtri M tip m n ) Ako u mtrii A izostvimo neke vrste ili neke kolone ( može istovremeno i vrste i kolone), tko oenu mtriu nzivmo PODMARICA mtrie A. Determinntu kvrtne pomtrie re k mtrie A M m n nzivmo MINOR re k mtrie A. Nek je M skup svih mtri tip m n i N 0 { 0,,,... } skup prironih rojev ( s 0). m n Rng mtrie u ozni rng ( ili r) je preslikvnje: rng M : m n N 0 oreñeno s ) rng( A ) 0 ko je A nul mtri ) rng( A) p, ko postoji minor re p mtrie A koji je rzličit o nule, SVI minori većeg re o p, ukoliko oni postoje, su jenki nuli. Primer. Oreiti rng mtrie A. 6 Rešenje: Retko k možemo omh reći koji je rng te mtrie. Prvi poso nm je koristeći nveene elementrne trnsforme mtri nprvimo ekvivlentnu mtriu koj će ispo glvne gonle imti sve nule! ( tkozvn RAPEZNA mtri) Ko ns su n glvnoj gonli i -, p ispo njih prvimo nule. Z nšu mtriu nule morju iti n UOKVIRENIM mestim: A 6 I reosle prvljenj nul je vrlo itn! 8

19 Nule prvimo njpre n mestu A, ztim n mestu 6 A 6 i n krju A. 6 Neki profesori trže se svki kork trnsform ojšnjv, neki ozvoljvju se omh prve nule n svim mestim u prvoj koloni, p u rugom korku n svim mestim u rugoj koloni, it. Nš svet je ko i uvek poslušte všeg profesor kko on zhtev mi ćemo pokušti vm ojsnimo kork po kork. A. Njpre ćemo zmeniti mest prvoj i rugoj vrsti, nm jeini ue u prvoj vrsti zog lkšeg 6 rčunnj ( ovo ne neophono l olkšv poso...) S prvimo nulu n mestu ge je : Prvu vrstu ćemo pomnožiti s - i srti s trećom vrstom i to upisti u treću vrstu. N mestu ge je ilo iće: ( ) 0 N mestu ge je ilo -6 iće ( ) ( 6) 0 P je. Dlje nm tre nul ge je vojk: Prvu vrstu ćemo pomnožiti s -, srti s rugom vrstom i upisti umesto ruge vrste: N mestu ge je ilo n tj nčin smo oili nulu, n mestu ge je ilo - iće: ( ) ( )

20 S rzmišljmo: Pošto je mtri tip, njen mksimlni rng može iti, jer postoje smo eterminnte rugog re. Ali, koju go uzmemo eterminntu rugog re on će imti u jenoj vrsti oe nule znmo je vrenost tkve eterminnte nul. Rng ove mtrie je znči, u ozni r( A ). Primer. Oreiti rng mtrie Rešenje: A 0 5 Ov mtri je tip, tko postoji eterminnt re, to znči i mksimlni rng može iti. D se ne zlićemo, prvo mi nprvimo nule ispo glvne gonle, n uokvirenim mestim: Zmenićemo rugu i prvu kolonu, jer već immo nulu A s prvimo nulu n mestu ge je ( uokvireno) Seremo prvu i rugu vrstu i to ie u rugu vrstu... N mestu ge je ( uokvireno) iće 0. N mestu ge je iće: N mestu ge je iće : 5 A 0 5 lje prvimo nulu n uokvirenom mestu( ge je ): O treće vrste ouzmemo rugu i to ie u treću vrstu. A

21 S je jsno rng ne može iti tri jer je vrenost eterminnte Ako reimo uzmemo 0, njen vrenost je 0, p je rng ove mtrie : r( A ) Evo još nekoliko stvri koje i trelo znmo o mtrim: ) Ekvivlentne mtrie imju isti rng! ) Ako posmtrmo tri mtrie A,B i C iz skup svih mtri M m n, z njih vži: A A refleksivnost A B B A simetrinost A B B C A C trnzitivnost Ovo nm govori je rel ekvivlene n skupu svih mtri tip m n. ) Nek je A mtri rng p većeg ili jenkog jeinii p. postoje p nezvisnih vrst ( kolon) mtrie A tkvih su ostle vrste (kolone) linerne komine tih p vrst ( kolon). ) Rng mtrie jenk je mksimlnom roju linerno nezvisnih vrst ( kolon) te mtrie.