PowerPoint Presentation

Транскрипт

1 REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skup R relih brojev zovemo relom fukcijom. Ako je, pritom, oblst defiisosti D eki podskup skup R uređeih -torki relih brojev, kžemo d je f rel fukcij od relih ezviso-promjeljivih. N primjer, f(x,y,z) = x + y - z, x,y,z R je rel fukcij od tri ezviso-promjeljive x,y,z.

2 Nek je f rel fukcij jede ezviso-promjeljive čiji je dome DR. Kko svkom uređeom pru relih brojev odgovr jed tčk Dekrtove rvi, to svkom pru (x 0, f(x 0 )) odgovrjućih vrijedosti rgumet i fukcije f: DR odgovr jed (jedi) tčk Dekrtove rvi Oxy. Skup svih tčk Dekrtove rvi koje odgovrju uređeim provim (x, f(x)), xd zove se grfik fukcije f.

3 y (x 0, y 0 ) y 0 x 0 x

4 Nizovi Relu fukciju jede rele promjeljive čij je oblst defiisosti skup prirodih brojev zovemo izom. Nezvisu promjeljivu iz običo ozčvmo s, odgovrjuću vrijedost fukcije s () ili, češće, s. Vrijedost iz z dto zovemo i člom iz. Z iz kžemo d mootoo rste ko je < +1 z svko N. Ako je +1, " N, kžemo d iz e opd. Alogo se defiiše moootoo opdje odoso eršćeje iz. Z iz kžemo d je ogriče ko postoji rel broj M > 0, tkv d je M, " N.

5 Primjeri izov 1 Primjer 1. Niz mootoo opd jer je, " N. Ovj iz je i ogriče jer je, " N Primjer. Niz 1 z 1,,... im vrijedosti, 3,,, i, očigledo, ije mooto. Kko je , " N dti iz je ogriče. 4 5

6 ARITMETIČKI NIZ ARITMETIČKI NIZ ili ARITMETIČKA PROGRESIJA je iz od relih brojev kod kojih je rzlik svk dv uzstop čl ovog kočog iz (proizvoljog i jemu prethodog) kostt. Nek je d kostt rzlik odoso diferecij. Slijede relcije: 1 + d Odoso 3 + d 1 + d i 1 + ( i 1) d, i 1,,,

7 ARITMETIČKI NIZ Primjejujući posledju relciju immo d je: + + ( ) d Odoso d ( ) d 1 + ( 1) d N isti či se provjerv d vži:

8 ARITMETIČKI NIZ Kko je z: To je i k 1,,..., i i + k 1 ik 1 + ( i k 1) d i+ k 1 + ( i + k 1) d,,..., i, k N + + ( i 1) d + ( i 1) d i k i+ k Odoso: i + i k i+ k Proizvolji čl ritmetičkog iz je ritmetičk sredi dv u odosu jeg simetrič čl.

9 ARITMETIČKI NIZ Zbir prvih člov ritmetičkog iz je: Kko je, tkođe: i i1 i i1 1 1 Slijedi: i ( 1 + ) + ( + 1) + + ( + 1) ( 1 + ) i1 Odoso: i 1 + ( ) i1

10 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz relih brojev tkvih d je količik svk dv uzstop čl (proizvoljog i jemu prethodog) kostt. 3 1 q q q 1 q 1 1 i i k i+ k proizvolji čl i, i je, 3,..., 1 geometrijsk sredi dv u odosu jeg simetrič čl i 1 i1 1 q q 1 q q q 1 Zbir prvih uzstopih člov geometrijskog iz

11 GEOMETRIJSKI NIZ GEOMETRIJSKI NIZ je iz relih brojev tkvih d je količik svk dv uzstop čl (proizvoljog i jemu prethodog) kostt. 3 1 q q q 1 q 1 1 i i k i+ k proizvolji čl i, i je, 3,..., 1 geometrijsk sredi dv u odosu jeg simetrič čl i 1 i1 1 q q 1 q q q 1 Zbir prvih uzstopih člov geometrijskog iz

12 Kovergecij iz Z iz kžemo d kovergir broju ko z svko e > 0 postoji broj 0 N tkv d (e, +e), z svko > 0. Z iz koji kovergir broju kžemo, tkođe, d im griču vrijedost ili gricu i pišemo:, ili lim čitmo teži, kd teži beskočosti ili limes, kd teži beskočosti, jedk je. Kko (e, +e) e < < + e < e, to kovergeciju iz broju možemo d defiišemo i sledeći či: Niz kovergir broju ko z svko e > 0 postoji 0 N tkvo d je < e, " > 0

13 Z iz koji e kovergir ekom broju kžemo d divergir. Ako z proizvolji broj M > 0 postoji 0 N tkvo d je > M, " > 0, od z iz (koji je, očigledo, diverget jer ije ogriče) kžemo, tkođe, d kovergir plus beskočosti i pišemo +, ili lim + Z (diverget) iz kžemo d kovergir beskočosti ili d je beskočo veliki, ko z dto M > 0 postoji 0 N tkvo d je > M, " > 0. Simbolički:, ili lim

14 OPERACIJE SA GRANIČNIM VRIJEDNOSTIMA NIZOVA Nek su i b dv iz koji kovergirju broju odoso b. Td je iz + b, ( b, i z b 0 i b 0, ) tkođe koverget i jegov je b gric + b (b, ). b

15 Dokz (z zbir) Iz kovergecije izov i b slijedi d postoje brojevi o ' i o " tkvi d je e b b e "> o ' gdje je e proizvolj broj. Td je e e + b + b + b b + e z svko veće od 0 ' i 0 ". Dkle, z poizvoljo dto e > 0 postoji broj 0 ( primjer, 0 mx( 0 ', 0 ")) tkvo d je + b + b e, " 0 " > o " što zči d iz + b kovergir k broju + b

16 Primjer 1. Ako je iz koji kovergir broju i b c kostti iz, od je lim lim c lim c lim c Primjer. Izvlčejem čiioc iz brojioc i imeioc iz koverget iz 3 lim1 4 lim5 iz postje količik dv lim1 lim 4 lim 5 + lim lim lim

17 Nek tvrđej Ako iz im gricu, od je t gric jedozč. Svki kovergeti iz je ogriče. Svki ogričei eopdjući ili erstući iz kovergir.

18 Ojlerov broj e,718 e lim m f ( m) lim m m m

19 REALNA FUNKCIJA JEDNE REALNE PROMJENLJIVE Dome je D=(,b)R, tj f:(, b)r osove elemetre fukcije Kostt fukcij y =, R, D = R

20 Lier fukcij y = x + b, 0, D = R 0

21 Fukcij obrute proporciolosti, y x, D = R\{0} 1

22 Kvdrt fukcij y = x, D = R

23 Kub fukcij y = x 3, D = R 3

24 Ekspoecijl fukcij y = x, R + \{1}, D = R 4

25 Logritmsk fukcij y = log x, R + \{1}, D = R + 5

26 Trigoometrijske fukcije: y = six, D = R y = cosx, D = R 6

27 y = tgx, D = {xr x (k-1)p/, kz}. y = ctgx, D = {xr x kp, kz} 7

28 SLOŽENA FUNKCIJA Nek je D oblst defiisosti i G skup vrijedosti fukcije g i, dlje, G - oblst defiisosti i V skup vrijedosti fukcije h 8

29 Ako je x proizvolji elemet skup D, od jemu odgovr (tčo) jed elemet g(x) skup G, ovome (tčo) jed elemet h[g(x)] skup V. N tj či svkom elemetu x D odgovr tčo jed elemet h[g(x)] skup V. Preslikvje x h[g(x)] je, dkle, fukcij čiji je dome D i skup vrijedosti V. Tko određe fukcij, ozčimo je s f, zove se kompozicij fukcij g i h, ozk h o g, tj f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] Z fukciju f kžemo, tkođe, d je slože fukcij rgumet x. 9

30 Primjeri PRIMJER 1. Ako je g(x) = x - 1 i h(x) = logx, od je kompozicij fukcij g i h fukcij f(x) = (h o g)(x) = h[g(x)] = h(x - 1) = log(x - 1). PRIMJER. Fukcij f(x) = (x - 3) 4 je kompozicij fukcij g(x) = x - 3 i h(x) = x 4. 30

31 INVERZNA FUNKCIJA Pretpostvimo d je y f(x) fukcij defiis i mooto itervlu D (,b) i d joj je skup vrijedosti itervl V(c,d) tj. x(,b)f(x)(c,d) Td, z svko y 0 (c,d), postoji jedo jedio x 0 (c,d) tkvo d je y = f(x 0 ). Dkle, postoji fukcij x = g(y) čiji je dome (c,d), skup vrijedosti (,b) i pri čemu je f[g(y)] = y. 31

32 Ako, sd, u fukciji g rgumet ozčimo s x, zviso promjeljivu s y dobijmo fukciju y = g(x) z koju kžemo d je iverz fukciji y = f(x). Iverzu fukciju fukcije f ozčvmo s f -1. Iz defiicije slijedi d, ko tčk M(x,y) pripd grfiku fukcije y = f(x), od tčk M 1 (y,x) pripd grfiku joj iverze fukcije (ukoliko postoji). To zči d su grfici fukcije y = f(x) i joj iverze fukcije y = g(x) simetriči u odosu prvu y = x. 3

33 Primjer 1. Fukcij y six je mooto itervlu i je skup vrijedosti je itervl [1,1], 11, p postoji fukcij g:,, pri čemu svkom y[1,1] pridružuemo oo z koje je y = six. x,

34 GRANIČNA VRIJEDNOST FUNKCIJE Koristeći pojm griče vrijedosti iz defiisćemo griču vrijedost fukcije y = f(x) u dtoj tčki. Nek je y = f(x) fukcij defiis u ekoj okolii tčke sem, možd, u smoj tčki i x 1, x,..., x,... proizvolji iz koji kovergir tčki i z koji postoji iz odgovrjućih vrijedosti fukcije, tj. iz f(x 1 ), f(x ),..., f(x ),... Ako z svki tkv iz x odgovrjući iz vrijedosti fukcije kovergir istom broju A, kžemo d u tčki x = fukcij im griču vrijedost A, pišemo: f ( x) A x ili lim x f ( x) A

35 Primjer 1. Uzmimo fukciju f(x) x i tčku. Niz x + 1 kovergir i jegov gric je. Niz odgovrjućih vrijedosti fukcije je , +,..., +, , 5 4 (ili x 4, ko x ) ,...,, Ovj iz kovergir i jegov gric je lim 4 Ako uzmemo proizvolji drugi iz x koji kovergir broju, od odgovrjući iz vrijedosti fukcije f(x ) kovergir broju A 4. Prem tome, lim x x 4

36 Pretpostvimo d fukcij y = f(x) im sledeću osobiu: z proizvoljo ε > 0 postoji δ(ε) tkvo d je f(x) - A < ε z svko x z koje je x - < δ. Dokzćemo d, td, u tčki x = fukcij im gricu A, tj. d f(x ) A, z svki iz x. Zist, iz kovergecije iz x i vedee (pretpostvljee) osobie fukcije f(x) slijedi d postoji broj 0 tkv d je x - < δ, > 0 No, td je i f(x ) - A < ε, z > 0 što zči d iz f(x ) kovergir broju A, odoso d u tčki x = fukcij im gricu A.

37 Dokzuje se i tvrđeje obruto prethodom: ko je y = f(x) fukcij koj u tčki x = im gricu A od z svko ε > 0 postoji δ > 0 tkvo d je f(x) - A < ε, z svko x z koje je x - < δ. Griču vrijedost fukcije, zto možemo d defiišemo sledeći či: Broj A je grč vrijedost ili gric fukcije f(x) u tčki x =, ko z svko ε > 0 postoji δ > 0 tkvo d je: f(x) - A < ε, z svko x z koje je x - < δ.

38 Primjer. Fukcij f(x) c (kostt) u svkoj tčki x im gricu A c jer je z proizvoljo e > 0 f(x) A c c 0 < e z svko x iz (proizvolje) d-okolie tčke x, p je lim c x Primjer 3. Fukcij f(x) x u svkoj tčki x im gricu A jer je z proizvoljo e > 0 f(x) A x < e, "x: x < d e. c

39 Pored griče, defiišu se i lijev i des grič vrijedost fukcije: Z broj A kžemo d je des grič vrijedost ili des gric fukcije f(x) u tčki x ko z svki iz x koji kovergir tčki i čiji su človi veći od odgovrjući iz vrijedosti fukcije f(x) kovergir broju A. Alogo se defiiše lijev grič vrijedost.z desu i lijevu griču vrijedost koristimo ozke: lim f( x) x0 A lim f ( x) x + 0 A 1

40 Primjer 5. Fukcij f( x) x x +,, x x 0 0 u tčki x 0 im desu gricu A 1 i lijevu gricu A 0

41 Ako je lim f( x) x A ili lim f( x) x+ A od se prv y A zove horizotl simptot grfik fukcije f(x).

42 Vertikl simtot Ako je fukcij f(x) kd x ili x +0, ili x -0, beskočo velik veliči, od se prv x = zove vertikl simptot grfik te fukcije. Iz defiicij griče vrijedosti i vertikle simptote slijedi d grfik fukcije može d im vertiklu simptotu x = smo ko je tčk krj otvoreog itervl kome je fukcij defiis. lim f( x) + lim f( x) x x Sličo z x +0, ili x -0 4

43 NEDOREĐENI IZRAZI Griče vrijedosti izrz 1 ( x) ( x) 1 ( x) ( x) gdje su 1 (x) i (x) beskočo mle, 1 (x) i (x) beskočo velike veličie kd x pripdju klsi tzv. eodređeih izrz. Nime, ozčimo li, uslovo, s 0 beskočo mlu, s beskočo veliku pozitivu veličiu i s 1 fukciju čij je gric 1, kd x, od se izrzi oblik 0 0,, 0,, 1, 0 zovu eodređei izrzi kd x. 43

44 KOSA ASIMPTOTA Z prvu y = kx + kžemo d je kos simptot grfik fukcije y = f(x) ko je lim[f(x) - (kx + )] = 0, kd x+ ili x - Odvde f( x) k lim i lim f ( x) kx x x x 44

45 Teoreme T1. Ako su f(x) i g(x) fukcije koje u tčki x imju grice A i B, od i fukcije f(x) ± g(x), f(x)g(x) i (ko je u ekoj okolii tčke g(x) 0 i B 0), f(x) g(x) imju griče vrijedosti u tčki x i te griče. vrijedosti su, redom A ± B, A B, A B 45

46 T. Ako fukcije f(x) i g(x) u tčki x = imju istu gricu A i ko je h(x) fukcij z koju u ekoj okolii tčke vže ejedkosti f(x) h(x) g(x), od i fukcij h(x) u tčki x = im gricu A. 46

47 NEPREKIDNOST FUNKCIJE Z fukciju y f(x) kžemo d je eprekid u tčki x x 0, ko u toj tčki im griču vrijedost i ko je t grič vrijedost jedk vrijedosti fukcije u tčki x 0, tj. ko je lim f( x) f( x ) xx 0 Z tčku u kojoj fukcij ije eprekid, u čijoj je ekoj okolii defiis, kžemo d je tčk prekid fukcije. 0

48 Primjeri Primjer 1. Fukcij f(x) x + 3 je eprekid u svkoj tčki x 0 R jer je defiis u ekoj (čk svkoj) okolii te tčke i, pritom, lim x + 3 x + 3 f( x ) xx Primjer. Fukcij f( x) x, x + 1, x x u tčki x em griču vrijedost (im smo lijevu i desu), p u toj tčki, dkle, ije eprekid.

49 Ekoomske fukcije Osove ekoomske veličie (ktegorije) Cije Tržj Poud Proizvodj Prihod Troškovi Dobit

50 Pretpostvk s rstom cijee tržj opd; jveću vrijedost, mx, im pri cijei p = 0, dok jmju vrijedost dostiže ili edostiže zviso od tog d li je u pitju luksuzi proizvod (cigret, utomobil) ili proizvod od vitlog zčj (hljeb, lijek)

51 Poud s cijeom rste. Proizvod se udi pri cijei pri kojoj se trži, p su oblsti defiisosti poude i tržje iste. Iz pretpostvke o eprekidosti fukcije tržje i poude ekog proizvod i mootoosti tih fukcij slijedi d postoji ek vrijedost p 0 rgumet p z koju se te fukcije izjedčvju. Tu vrijedost rgumet p zovemo rvotežom cijeom.

52 Troškovi T rstu s proizvodjom. Pri proizvodji x = 0 troškovi tkođe postoje ( primjer, zbog mortizcije) i te troškove zovemo fiksim (ozk T f ) z rzliku od vrijbilih T v stlih zbog proizvodje. (Ukupi) troškovi su zbir fiksih i vrijbilih troškov

53 Prosječi troškovi pri proizvodji x su troškovi po jediici proizvodje: T T x Prihod je jedk proizvodu cijee i tržje (proizvodje). Pretpostvljmo d, do određee cijee, prihod rste, ztim opd. Pri cijei p = 0 i prihod je P = 0

54 Dobit D(x) pri proizvodji x je rzlik odgovrjućih prihod i troškov: D(x) = P(x) - T(x). D x Itervl proizvodje kome je dobit pozitiv zove se itervl retbilitet, jegovi krjevi su doj i gorj gric retbilitet.