C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

Транскрипт

1 C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil vozi cestom na kojoj je brzina ograničena na 100 km/h. Nadzorna kamera udaljena 10 m od ceste prati automobil i u trenutku kad joj je automobil najbliži, kut kamere ϕ mjenja se brzinom od 2 rad/s. Vozi li auto iznad ograničenja? (Vidi Sliku 2.) (20 bodova) 4. Radioaktivna tvar raspada se brzinom koja je proporcionalna količini tvari u datom trenutku. Nakon 60 godina raspalo se 7/8 radioaktivne tvari. a) Koliko je tvari preostalo nakon 70 godina od početnih 2000 grama? b) Nakon koliko godina se raspala polovina tvari? 5. Odredite domenu, ispitajte tok i skicirajte kvalitativni graf funkcije y = ex2 x 5, e x2 x 5 lim x 0+0 x e x2 x 5 =, lim x 0 0 x =. x e x2 x 5, ako se zna da je lim x ± x = 6. Jednoliko kružno gibanje zadano je jednadžbama x = 3 2 cos(ωt), y = 3 2 sin(ωt). a) Odredite ω ako se zna da napravi jedan okret u 15 sekundi. b) Kolika je brzina i frekvencija toga gibanja? (10 bodova)

2 C2 MATEMATIKA 1 (Rješenja 3. kolokvija) 1. a) π 2 b) y 4x = (1 + 16x 4 ) arc tg(4x 2 ) = 2 π c) y = (sin x) cos x [ sin x ln(sin x) + cos x ctg x] P= 3 π 1 3 = dx dϕ = 20 m/s ϕ=0 4. a) R(70) = = g b) t PR = 20 god 5. D : x 0 Tok funkcije: x y LM ND LM y 0 + ND a) ω = 2π 15 b) v = π 5 m/s ν = 1 15 Hz

3 C2 MATEMATIKA 1 (Završni zadaci) 1. Zadani su točke vektori a = (1, 0, 3) i b = ( 2, 1, 1). a) Izračunajte a x b. b) Jesu li vektori a i b okomiti? 2. Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom eliminacije: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 3. Odredite dy za funkciju zadanu dx a) implicitno s 2tg(y) + y = x 2 y, b) parametarski s x = t 2 + 3t 3 2t, y = t 2t + 3 ln(2t). 4. Duljina luka kružnice radijusa r nad kutom α = π 4, iznosi l = rα. Ako se površina kružnog isječka P = 1 2 r2 α uvećava brzinom od 10 cm 2 u sekundi, kojom se brzinom mijenja duljina pripadnog luka u trenutku kada radijus iznosi 4 cm?

4 C2 MATEMATIKA 1 (Rješenja završnih zadataka) 1. i j k a) a b = = 3 i 7 j + k b) a b 0, vektori nisu okomiti 2. x 1 = 1, x 2 = 8, x 3 = 5 3. a) y 2xy = 2 cos 2 y + 1 x2 b) dy dx = t + 3 t[3 + 2t 2 3 2t ln 3] 4. dl dt = 5 r=4 2 cm/s

5 D2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite x 2 a) lim x e, x2 b) y ( 1 ) ako je y = ln arcsin(4x). 2 c) y ako je y = (sin x) ln x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Balon s posadom polijeće vertukalno u vis. Televizijska kamera udaljena 30 m od uzletišta snima balon. U trenutku kad je kut ϕ jednak 45 balon uzlijeće brzinom od 3 m/s. Kojom se brzinom u tom trenutku mijenja kut kamere? (Vidi Sliku 2.) (20 bodova) 4. Odre dena vrsta soli otapa se u vodi tako da se nakon 6 sati otopi 7/8 soli. Brzina otapanja proporcionalna je količini još neotopljene soli. a) Koliko je soli preostalo nakon 3 sata od početnih 2 kg soli? b) U kojem trenutku se rastopi polovina početne količine? 5. Odredite domenu, ispitajte tok i skicirajte kvalitativni graf funkcije y = ln (x + 1) ln (x + 1) lim =, lim = 0. x 1+0 x + 1 x x + 1 ln (x + 1), ako se zna da je x Funkcije x(t) = 3 cos t 3 i y(t) = 3 sin t opisuju kako koordinate točke (x, y), koja se giba u ravnini, ovise o 3 vremenu t. a) Po kojoj krivulji se giba točka? b) Kolika je brzina, period i frekvencija toga gibanja? (10 bodova)

6 D2 MATEMATIKA 1 (Rješenja 3. kolokvija) 1. x 2 a) lim x e = 0 x2 b) y 1 = arcsin (4x) ( ) 1 y 2 =nije definirano c) y = (sin x) ln x [ ln(sin x) x x 2 ] + (ln x) ctg x P= 2 π dϕ dt ϕ=45 = 1 20 rad/s 2 4. a) R(3) = 2 b) t p = 2 h = 0, 7071 kg 5. D :< 1, > Tok funkcije: x < 1, ( 1 + e) > 1 + e < ( 1 + e), > y LM y a) Točka se giba po kružnici r = 3, ω = 1 3 b) v = 1 m/s, T = 6π s, ν = 1 6π Hz

7 D2 MATEMATIKA 1 (Završni zadaci) 1. Zadani su točke vektori a = ( 1, 1, 2) i b = (1, 1, 1). Izračunajte ( a 2 b) x a. 2. Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom eliminacije: x 1 + 2x 2 x 3 = 1 2x 1 + x 2 2x 3 = 1 3x 1 + 4x 2 2x 3 = 0 3. Odredite dy za funkciju zadanu dx a) implicitno s 3e xy x 2 = x 4 y, b) parametarski s x = sin(4t) + t 2, y = cos 2 (t) t. 4. Zadana je funkcija y = x3 16 x. Odredite globalne ekstreme ove funkcije na intervalu [1, + >.

8 D2 MATEMATIKA 1 (Rješenja završnih zadataka) 1. V=0 2. ( a 2 b) a = x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 1 4. a) y = 4x3 y + 2x 3ye xy 3xe xy x 4 b) dy 2 cos(t) sin(t) 1 = dx 4 cos(4t) + 2t 5. Globalni maksimum= 12, za x = 2 Globalni minimum= nema

9 B3 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite ln(1 + x) a) lim, x 0 x b) y (1) ako je y = arcsin(x 2 ). c) y ako je y = (sin x) x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Balon s posadom polijeće vertukalno u vis. Televizijska kamera udaljena 30 m od uzletišta snima balon. U trenutku kad je kut ϕ jednak 45 balon uzlijeće brzinom od 3 m/s. Kojom se brzinom u tom trenutku mijenja kut kamere? (Vidi Sliku 2.) (20 bodova) 4. Sol se u vodi otapa brzinom koja je proporcionalna količini još neotopljene soli. Nakon 10 minuta otopi se 75% količine soli. a) Koliko je soli preostalo nakon 15 minuta ako je na početku bilo 3 kg soli? b) U kojem trenutku se rastopilo 1500 g soli? 5. Odredite domenu, ispitajte tok i skicirajte kvalitativni graf funkcije y = x ln ( x 2 1 ), ako se zna da je ( ( lim x ln x 2 1 )) ( ( = ±, lim x ln x 2 1 )) ( ( =, lim x ln x 2 1 )) =. x ± x 1+0 x Funkcije x(t) = 3 cos t 4 i y(t) = 3 sin t opisuju kako koordinate točke (x, y), koja se giba u ravnini, ovise o 4 vremenu t. a) Po kojoj krivulji se giba točka? b) Kolika je brzina, period i frekvencija toga gibanja? (10 bodova)

10 B3 MATEMATIKA 1 (Rješenja 3. kolokvija) 1. ln(1 + x) a) lim = 1 x 0 x b) y 2x = 1 x 4 y (1) R c) y = (sin x) x [ln(sin x) + x cos x] sin x 2. P= 1 π + 3 2π 5 24 = dϕ dt ϕ=45 = 1 20 rad/s 4. a) R(15) = 3 8 = 0.37 kg b) t 1 = 5 min 5. D :<, 1 > < 1, > Tok funkcije: x <, 1 > < 1, 1 > < 1, > < 1 + 2, > y ND LM y + ND a) x 2 + y 2 = 3 b) v = 3 4 m/s, T = 8π s, ν = 1 8π Hz

11 B3 MATEMATIKA 1 (Završni zadaci) 1. Napišite jednadžbu ravnine koja sadrži točke A(1, 2, 1), B(1, 1, 0) i C(1, 0, 1). Napišite jednu točku koja ne leži u toj ravnini. 2. Riješite sustav linearnih jednadžbi Gaussovom metodom eliminacije: x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 2x 1 + x 2 + x 3 = 1 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 3 3. Odredite dy za funkciju zadanu dx a) implicitno s x 2 y + 3 = x + 3 y, b) parametarski s x = 2t 3 t + cos(2t), y = t sin(3t). 3 a Duljina stranice jednakostraničnog trokuta upisanog u kružnicu radijusa r iznosi a = r, dok je P = 3 4 površina tog trokuta. Ako se površina kruga radijusa r uvećava brzinom od 9 cm 2 u sekundi, kojom se brzinom mijenja površina upisanog jednakostraničnog trokuta u trenutku kad radijus kruga iznosi r = 3 cm?

12 B3 MATEMATIKA 1 (Rješenja završnih zadataka) 1. π = Npr. (1,0,-1) x = 1 + u + v y = 2 3u 2v z = 1 u 2v 2. x 1 = 1, x 2 = 8, x 3 = 5 3. a) y = 2xy 1 3 y ln 3 x 2 b) dy dx = 2t + 3 cos(3t) 6t sin(2t) 4. dp dt = 3 3 r=3 4π cm2 /s