Microsoft Word - predavanje IX.doc

Транскрипт

1 . Uticaj nhomonosti sfno oblika na aspod polja u homonom dilktiku Paktično nij mouć napaviti idalno homoni dilktik. Uvijk s u dobom homonom dilktiku mou pojaviti nhomonosti. Poijklo ovih nhomonosti mož biti azličito. Ipak ono najčšć dolazi kao posldica thnološk obad bilo dilktika bilo uñaja u kom s dilktik nalazi. Tipičan pimj j tansfomato sna u kom j dilktik najčšć dilktičko ulj (minalna ulja). U unutašnjosti ovakvo dilktika uvijk s mož pojaviti kapljica vod ili vazdušni mjhuić ili pak, nka dua čstica (opiljci mtala). S du stan, kod thnološk obad ovo uñaja, na pimj njovih namotaja, mož s dsiti da nka sitna čstica mtala ostan unuta dilktika. Čmu služi poučavanj ovakvih nhomonosti? Odmah da nalasimo da ov nhomonosti mou voma npovoljno da utiču na distibuciju lktično polja unuta dilktika! To ćmo dokazati u nadnom izlaanju. Ali, pij toa tba istaći dvij ptpostavk na kojima s bazia čitava daljna analiza ovo poblma. A to su:. Nhomonosti su sfno oblika, i. Polj nposdno oko ovih nhomonosti j homono, tj konstantno. Obj ov ptpostavk poizilaz iz piod alnih poblma. Naim, u stvanosti, niti su ov čstic pavilno oblika niti j polj oko njih homono. Mñutim, kako s po pavilu adi o čsticama malih dimnzija onda s on mou smatati sfnim oblikom, a polj oko zapmin koju zauzimaju homonim poljm! Za dalju analizu pvo nam j potbno da izučimo polj homon dilktičn sf, bolj ći lopt (kul).. A. Polj homon dilktičn sf Nka nam na aspolaanju stoji komad noanično homono dilktika koji j izložn djstvu homono lktično polja. Poznato nam j da ć doći do polaizacij dilktika i to, u ovom slučaju, do homon polaizacij. Takoñ nam j poznato da s polaizovani dilktik mož kvivalntiati sistmom lktičnih dipola u vakuumu. Znajući ov dvij činjnic izdvojimo (misaono) iz posmatano komada dilktika jdan sfni domn polupčnika a, i analiziajmo lktično polj unuta i oko nja. Pij sva, pošto j lopta homono polaizovana doći ć do potpun kompnzacij dipola svuda po njnoj unutašnjosti. Jdino nkompnzovano nalktisanj ostaj ono po povšini lopt i to, s jdn stan pozitivno ( izlazna stana), a sa du nativno ( ulazna stana). Ov dvij količin vzanih nalktisanja su jdnak po apsolutnoj vijdnosti. Ovakvu loptu možmo u mislima zamijniti sa dvij lopt nalktisan + Q i Q, isto polupčnika a, čiji su cnti pomjni mñu sobom za vkto d koji pdstavlja kak momnta lmntano dipola. (U suštini to j astojanj izmñu jza i lktona odnosno lktonsko plašta.)

2 Dakl, pvobitno polaizovanu (homono) loptu zamijnili smo, na bazi onj asuñivanja, sa dvij nalktisan sf čiji su cnti smaknuti za dužinu d. Za pvobitni sistm homono polaizovanu dilktičnu loptu možmo kazati sldć: njno lktično stanj možmo okaaktisati vktoom polaizacij P= N ' p (p= qd, dj j p momnt polaizacij lmntano dipola, a N ' njihova jdinična zapminska ustina). Za kvivalntni sistm, (njn) dipolni momnt iznosi 4 Qd = P aπ () Za kvivalntni sistm dvij smaknut sf možmo, dalj, kazati sldć: polj u nkoj tački, koja pipada unutašnjosti i jdn i du sf bić ρ ρ un = Napomna: izačunavanj polja nalktisan lopt: () Q ob ds = () S Q ob ds = (4) S π π Q ob 4 = (5) 4 π ρ 4 = (6) ρ =, ili (7) ρ = (8) un ρ = ( ) (9) Sa onj slik j d+ = () = d, t j ()

3 un ρd = () Kako j zapminska ustina nalktisanja ρ data kao: Q ρ = () 4 a π dj j Q količina nalktisanja jdn lopt i npoznata j vličina. Uvštavanjm u onji izaz za polj unuta lopt dobijamo sldći izaz: d Q Qd = un 4 = (4) aπ 4a π U bojiocu ovo izaza nalazi s poizvod Qd. Šta on pdstavlja? On pdstavlja dipolni momnt kvivalntno sistma, dakl, dipolni momnt sistma od dvij lopt smaknutih cntaa i ukupnih nalktisanja (po zapmini) ( + Q ) i ( Q ). S du stan, za naš počtni sistm (homonizovanu loptu) kazali smo da poizvod Qd pdstavlja dipolni momnt ovo sistma (kaaktiš lktično stanj sistma). Kako su sistmi kvivalntni to su im i dipolni momnti jdnaki. Zato onji izaz možmo napisati i ovako: 4 P un = P aπ = (5) 4aπ Odavd vidimo da su vktoi un i P isto pavca ali supotno smja. Oddimo sada polj van sf. Opt posmatamo kvivalntni sistm. A ovaj sistm pdstavlja, kao što smo vidjli u počtku, sistm od dvij lopt avnomjno nalktisan po zapmini istim ali supotnim količinama nalktisanja pi čmu su njihovi cnti pomaknuti za vkto d. U tačkama izvan nalktisan lopt polj s osjća kao da j svo njno nalktisanj smjštno u njnom cntu. to i idj kako da izačunamo polj (kao polj od dva tačkasta nalktisanja!). No, kako j poblm poston piod polj sp ć imati u pavoulom koodinatnom sistmu ti komponnt. Ako poblm posmatamo u sfnom koodinatnom sistmu, sp ć imati samo dvij komponnt. S du stan jdnostavnij j pvo naći potncijal u tački M od dva tačkasta nalktisanja pa tk onda polj! Naim, u konktnom slučaju ć biti

4 V M Q Q Q 4π 4π 4π = + = (6) Pošto j d voma malo, mnoo manj od i (što s sa slik n vidi tako uočljivo), možmo u imniocu staviti da j =, t j =. Dok u bojiocu pišmo tačan odnos, tj = d cosθ. Nakon uvštavanja u izaz za potncijal dobijamo Q d cosθ VM = (7) 4π 4 A zatim, znajući da j Qd = P aπ dobijamo konačno 4 P a π cosθ Pa cos V = θ M 4π = (8) Koistći poznatu laciju = adv (9) Dobijamo u sfnom koodinatnom sistmu V Pa cosθ Pa cosθ = = = V Pa ( cos ) Pa θ = = θ = sinθ θ θ () () j j V = const za ma kakvu pomjnu ula ϕ. Izaz za jačinu polja poblma: ϕ = () un, dobijn u ovom polavlju, možmo iskoistiti kod analiz sldć.. B: Uticaj sfn vazdušn šupljin na aspodjlu polja Iz noanično homono dilktika, izložno djstvu homono lktostatičko polja, izdvojimo, kao pdmt naš posmatanja, jdan njov komad, unuta koa s nalazi (sfna) vazdušna šupljina. Ispitajmo posldic ovakv nhomonosti dilktika na distibuciju polja unuta nja. Da nma vazdušn šupljin onda bi polj na tom mjstu, tj unuta sfn zapmin polupčnika a (ovo j polupčnik šupljin) bilo dato sa un = P /. Mñutim, kako dilktika unuta šupljin nma, to znači, da ć polj u šupljini (a koj stvaa mnoštvo

5 polaizovanih atoma po zidovima šupljin) biti jdnako azlici polja i šupljini j = Od anij j poznato da j s un P P s = o = + un. Dakl, polj u () (4) D= + P, odnosno (5) = + P, odakl j (6) P= ( ) (7) Uvštavanj u onji izaz daj + = + = š (8) Dijljnjm da daj konačno š + = (9)! Podiskutujmo sada ovaj zultat. Pošto j uvijk >, to j očildno da j uvijk š > Tako, na pimj, u jdnom alnom slučaju kada j = 4, slijdi da j š =. Ili još dastičniji slučaj dilktika, kao što j dstilovana voda, čiji j = 8! Za ovaj slučaj s dobija 8 š = 7 () Dakl, voma opasna pojava! Iz ovo pimja jasno s zaključuj kakvu opasnost unosi vazdušni mjhuić (šupljina) u nkom dilktiku. (napomnimo još jdom da s iz pthodno izaza za š odnosi na dilktik u kom s šupljina nalazi.) Poldajmo sada da li postoji opasnost od vazdušn šupljin u tačkama dilktika izvan šupljin. Duim ijčima, oddimo intnzitt polja u tačkama van sfn šupljin. Poslužićmo s sličnim zonom kao u pi izačunavanju polja u tačkama unuta sf. Naim, polj u poizvoljnoj tački van sfn vazdušn šupljin jdnako j azlici spoljašnj polja i polja koj bi poticalo od dilktičn lopt koja bi ispunjavala sfnu šupljinu.

6 Pma tom, da nma šupljin bilo bi u poizvoljnoj tački M (vidi sliku) cos o = θ () = θ ( - j j u pavcu smanjnja θ ) () o sin Mñutim, zbo postojanja šupljin zultantno polj u tački M j Pa cos a cos = o = θ θ un cosθ cos θ ( ) = a ( ) a ( ) = cosθ = cosθ = θ θ = = θ oθ unθ Pa sin a sin sinθ sin θ ( ) () (4) (5) a ( ) a ( ) θ = + sinθ = + sinθ + Napomna: Za vazdušnu šupljinu smo našli da j un =. Iz sam ov lacij j jasno da j uvijk un >. Mñutim, fizičko tumačnj ov zakonitosti j još očildnij (vidi sliku). Sa slik j očildno da s unuta šupljin spoljašnj polj sabia (isto j smja) sa poljm indukovano nalktisanja po zidovima šupljin! Gonja činjnica j u skladu sa anijim saznanjima. Naim, mi znamo da s lktično polj najjač osjća u vakuumu (odnosno vazduhu). To znači da j u ovim sdinama najjač. Na kaju, konstatujmo da iz dvij posldnj lacij slijdi: nma opasnosti od vazdušn šupljin u tačkama izvan ov šupljin (tačk M ) (6).. Dilktična sfa u homonom polju (u vakuumu) Razmotimo obnut slučaj od pthodno. Posmatajmo kakva ć biti distibucija polja ako sfni komad dilktika unsmo u homono polj u vazduhu (odnosno vakuumu). Pač dilktika j homono. (Ovakav slučaj bismo moli dobiti ako bi sfnu šupljinu, iz pthodno slučaja, ispunili nkim čvstim dilktikom, a ulj, koj j u pvom slučaju pdstavljalo dilktik, sada a jdnostavno iscpimo.) U nkoj tački unuta loptasto homono dilktika zultantno polj potič od spoljašnj polja i polja polaizovanih dipola. Kako j polj polaizovanih dipola un = P /, to j zultantno polj dato sa

7 P P = + un = + = = + = = = = + + (7) (8) (9) (4) Kako uvijk > to znači da j uvijk i <! Zaključak: oslabili smo polj na mjstu njov nhomonosti. Utvdimo sada kakv posldic su posldic ov nhomonosti na tačk van dilktičk lopt. Opt ćmo poblm posmatati u sfnom koodinatnom sistmu. Polj u nkoj tački M bić Pa cos a cos = + θ θ o cos θ ( ) = + (4) dj ima vijdnost pma onjoj fomuli, pa j a cosθ = cos θ+ ( ) + a ( ) = + cosθ ( + ) a sinθ = + θ sin θ ( ) + a θ = + sinθ (4) (4) (44) (45)

8 Ako j umjsto vazduha nki dui dilktik dilktink konstant - vlo posto ćmo dobiti izaz za polj unuta i van sf. Umjsto stavimo, a umjsto stavimo, pa j =, za < a, dok j za > a (46) + a = + cosθ + (47) a θ = + sinθ + Sada j zaista očildno da jačina polja bitno zavisi od vst dilktika. Uvdimo odnos = x. Tada j x = (49) x+ I. slučaj: x< > < ; II. slučaj: x> < > ; III. slučaj: x= = =. Koji j najoi slučaj? Posmatajući laciju za nij tško konstatovati: lim =. Taj slučaj nastupa kada j. x Dakl, u ovom najnpovoljnijm slučaju kada j polj u unutašnjosti dilktičn lopt n mož pći vijdnost od,5! Mñutim, ovo nij toliko opasno kao kad j sfna zapmina ispunjna vazduhom! Napomna: Svi ovi, a i aniji zaključci, u skladu su sa našim anijim saznanjima. Naim, od anij smo znali da j lktostatičko polj najjač u vakuumu (odnosno vazduhu), a da j utoliko slabij ukoliko dilktik ima vću dilktičnu konstantu, tj ukoliko s dilktik bolj polaizovao. Ukoliko s dilktik jač polaizuj to ć s i jačim poljm supotstaviti spoljašnjm polju, pa ć s u njmu to polj i slabij osjćati. (48).. Uticaj povodn sf na aspodjlu polja Ptpostavimo ovakav slučaj: u unutašnjosti homono dilktika, dilktičn konstant =, postavljna j mtalna sfa polupčnika a. Dilktik s nalazi u homonom lktostatičkom polju. Unapijd možmo da tvdimo da j polj unuta sf jdnako nuli. Tada j = =. Odavd slijdi! sa ovom + konstatacijom uñimo u izaz za i θ, iz pthodno izlaanja, t dobijamo

9 a = (+ )cosθ (5) a θ = ( + )sinθ (5) Za = a slijdi θ = (što j i loično, j j polj nomalno na povšinu sf, a komponnta polja θ j nomalna na svaki pot iz cnta sf koz ma koju tačku na njnoj povšini), dok j = cosθ (5) Za: θ = =, i θ = π = Dakl, intnzitt polja na povšini mtaln sf iznosi = (5) Ova vijdnost polja odnosi s na onju i donju kalotu sf. Na kaju možmo konstatovati, za ovaj slučaj, sldć: - Opasno j kada s mtaln čstic, odnosno opiljci, nañu unuta homono dilktika; bz obzia na vličinu čstic, polj j ti puta jač na mjstima diskontinuitta dilktika, što pdstavlja voma npovoljnu okolnost! Ako bismo napavili zim izložno u vzi sa paspodjlom polja usld nhomonosti dilktika i pokušali da aniamo t nhomonosti pma opasnosti od poboja dilktika, moli bismo konstatovati sldć:. Najnpovoljnija okolnost s javlja onda kada j nhomonost u obliku vazdušn šupljin (mjhuića). Sldća npovoljnost nastaj onda kada s nhomonost pojavljuj u obliku mtalnih opiljaka. ( = max = ). Kada s unuta jdno dilktika sa vlim -om nañ dui dilktik sa manjim - om ( = max =,5 ) U svakom slučaju, pojava bilo kakv nhomonosti unuta dilktika, izložno lktičnom polju, ima za posldicu pojačanj odnosno povćanj polja na mjstu nhomonosti. Razumij s da to bitno povćava moućnost poboja na tom mjstu, a otuda i moućnost uništnja čitavo uñaja. Zato u lktothničkim uñajima, u kojima vladaju jaka polja u nomalnim uslovima njihovo ada, tba voma bižljivo obaditi dilktik i pažljivo odstaniti sv čstic iz nja!

10 . nija sistma nalktisanih povodnih tijla (nija lktostatičko sistma) Razmataćmo, sada, jdan lktostatički sistm u svom najopštijm obliku. Naim, nka j dat sistm od n nalktisanih mtalnih tijla Q, Q, Qn, koja s nalaz na potncijalima V, V,, Vn. Nka s, ndj izmñu ovih tijla, nalazi slobodno npomjnljivo postono nalktisanj ustin ρ. Čitav ovaj sistm smjštn j u nkoj linanoj sdini, zapmajući nki volumn, koji oaničava nka zatvona povš S. Razañujući Pointiovu tomu kazali smo da j nija lktičn komponnt lktomantno polja, za slučaj linan sdin, data u obliku: W = d Dd = (54) Nma sumnj da s ovaj opšti izaz odnosi i na naš slučaj, tj na spcijalan slučaj lktostatički sistm. Samo ćmo a ovoa puta malo tansfomisati div( VD) = V divd+ D adv = Vρ+ D adv = Vρ D D= Vρ div( VD) (55) (56) Uvštavanj u opšti izaz daj W = Vρd div( VD ) d o (57) Intacija po domnu isključuj unutašnjost svih mtalnih tijla u posmatanom sistmu (j j unuta tijla D= ). Na dui sabiak pimijnimo tomu Gausa-Ostoadsko: n div( VD) d = VDdS+ VkDdS (58) S Sk Pošto s, toijski, polj osjća do, to znači da S. S du stan, za podintaln vličin pvo povšinsko intala možmo kazati da j V, dok j D ; a kako j ds = dω, tj ds, to znači da j podintalni izaz sazmjan sa ; to opt znači da kad. Dakl, pvi povšinski intal zanmaujmo! Sada j n n n n div( ) VD d = V DdS = V DdS = V ηds = VQ (59) n k S k k k S = k S = k Napomnimo da pdznak minus j došao tuda što smo ptpostavili da su nomal na povšin povodnih tijla sistma ojntisan ka unutašnjosti tijla, što nij bio slučaj kod opšt azmatanja aničnih uslova kada smo nalasili da lacija η= Dn j izvdna pod uslovom da j nomala na aničnoj povšini ojntisana pma vani.

11 Sada možmo napisati da j nija posmatano lktostatičko sistma data sa n W = Vρd VQ + (6) o U slučaju kada j ρ =, tj kada nmamo postono aspoñno nalktisanja, izaz za niju s upošćava n W = VQ (6) Za slučaj kondnzatoa ( Q = Q = Q ) W = ( VQ + VQ ) = ( V V ) Q= UQ= CU (6) Posmatajući kajnji izaz za niju azmatano lktostatičko poblma mož s zaključiti da j nija to sistma smjštna u samim nalktisanjima, odnosno u izvoima polja! S du stan, posmatajući opšti izaz za niju lktostatičko polja W = Dd slijdi da j nija sadžana u samom polju! Kako su ova dva izaza idntična, a zaključci supotni, piodno j postaviti pitanj: Gdj j zapavo lokalizovana nija? Da li u izvou ili samom polju? Govoći o opštm lktomantnom polju kao alnom fizičkom pocsu kazali smo da taj pocs nastaj kao posldica vmnski pomjnljivih stuja i da s šii vlikom bzinom ( = / µ, a u vakuumu bzinom svjtlosti c ). U tom opštm slučaju kada j q= qt ( ) ptpostavimo jdan katak intval vmna u kom j izvo uašn, dakl, za tnutak izvoa nma. Činjnica j da s i tada lktomantni pomćaj (talas) zistia, šići s ka udaljnim tačkama postoa vlikom ali konačnom bzinom! Ovaj lktomantni pomćaj (talas) sadži u sbi izvjsnu niju. To opt znači da, iako nma izvoa, nija sistma postoji nzavisno od toa da li izvo viš zistia ili n! Zato j, u odovou na pthodno pitanj, koktno ovako zaključiti: niju sistma tba vzati za polj (lktično ili mantno) a n za izvo, što i slijdi iz opšt izaza, a što s n vidi iz spcijalno izaza za slučaj lktostatičko polja..4 Opšti izaz za lktostatičku silu Posmatajmo opt sistm od n nalktisanih mtalnih tijla Q, Q, Qn. Na jdno, poizvoljno uočno, tijlo iz sistma djluju sva ostala tijla svojim lktostatičkim silama. Pošto su dimnzij tijla upodiv sa njihovim mñusobnim astojanjm, zultantna sila na uočno tijlo n mož s odditi diktnom pimjnom Kulonovo zakona. Zamislimo za tnutak da su sva tijla u sistmu, sm uočno, kuto vzana (npomična), a da j uočnom tijlu omoućn samo jdan stpn slobod (cimo, samo jdna tanslacija ili, pak, samo jdna otacija). Nka, uz sv ovo, sva tijla u sistmu imaju npomjnljiva nalktisanja, tj Qk = const. (Duim ijčima, tijla smo nalktisali a zatim ih odvojili od izvoa.) Pošto na uočno k-to tijlo djluj nka zultantna lktostatička sila i pošto ono ima samo jdan stpn slobod, to ć ova zultantna sila izvšiti lmntani ad da = f d (6) s

12 dj j f takozvana nalisana sila na nalisanom putu d. Naim, ako j dozvoljna tanslacija u nkom pavcu l tada j fd = Fdl l ; ako j dozvoljna otacija oko nk os tada j fd = M α dα. Na ačun ča s obavlja ad ov lktostatičk sil? Naavno, na ačun nij sistma, t j bilans nija: Rad lktostatičk sil + pomjna nij lktostatičko sistma odnosno, u matmatičkom obliku da + dw = (64) s f W = (65) Razmotimo sada dui slučaj. Sv j isto, samo su tijla ostala vzana za izvo. Izvo j dovo tijla na njov potncijal, tako da j Vk = const. Sada ć bilans nija imati ovakav oblik: das + dw = daiz, pi Vk = const (66) Pi čmu j da iz lmntani ad izvšn u samom izvou. Naim, lmntani pomjaj k-to tijla (sa jdnim stpnom slobod) izazvao j pomjnu pacijalnih kapacitivnosti mñu svim tijlima, pa pošto j Vk = const, to su s pomijnila nalktisanja na svim tijlima, naavno na ačun izvoa, t j u izvou došlo do utoška ada. Nka j, cimo, lmntani piaštaj količin nalktisanja na k-tom tijlu dq k. Rad, da s ova količina lkticitta dovd iz izvoa na k-to tijlo, čiji j potncijal V k, iznosi da N iz = VdQ (67) S du stan, nija sistma od N nalktisanih tijla j N W = VdQ, odavd (68) dw N = ( dvq + VdQ ) ; dv k =, j j Vk = const (69) dw N = VdQ = daiz (7) Iz uslova za bilans nija slijdi da j da = da dw (7) s iz s da = dw dw (7) f d = dw, a odavd (7) f W = (74)