(Microsoft Word - Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinoma na lenear\205)

Транскрипт

1 VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVARATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE Brojev su rešenj kvdrtne jednčine + + ko i so ko je + i Ove dve jednkosti zovu se Vietove forule. Čeu one služe? Osnovn prien je d n poognu d kd io rešenj nprvio kvdrtnu jednčinu: ( + ) + ili i ožd ilo preiznije [ + ) + ] li se njčešće ovde uzi, p je to forul ( Prier. Npisti kvdrtnu jednčinu čij su rešenj: ), ) Jedno rešenje je i ), + + ( ) + ( ) 6 + Forul je ( + ) + 6 P je [ 6] kko se njčešće uzi 6 ) + i Neo drugo rešenje? Pošto zno d su rešenj kvdrtne jednčine konjugovno- kopleksni rojevi to or iti: i

2 + + i+ i (+ i) ( i) (pošto je i ) + 5 (i) i Zenio u forulu: ( + ) je tržen kvdrtn jednčin Prier. U jednčini (+ ) + odrediti vrednost relnog pretr tko d vži: + 5 (+ ) + + (+ ) + Kko je Prier. Odrediti vrednost relnog pretr k tko d z jednčine: + ( k) vž + ( k) + rešio ko siste + + ( k) Kko je k k je rešenje.

3 Prier. U jednčin ( + ) + odrediti reln roj tko d njen rešenj zdovoljvju jednkost + ( + ) ( + ) Ovj izrz + se često jvlj u zdi. g izvedeo ko foruliu p ćeo je gotovu upotreljvti u drugi zdi. Krenio od poznte forule z kvdrt ino: ( + + ) + Odvde je: + ( + ) ZAPAMTI! Vrtio se u zdtk: + ( + ) ( + ) ± 9 Prier 5. Odrediti koefiijente p i q kvdrtne jednčine + p+ q tko d njen p rešenj udu q Zenio sd još i q p p q p p+ q p q q + Iz Vietovih forul je : p q p+ q pqq Iz druge jednčine siste: pq q q( p) p je q ili p Sd ispitujeo oe ove situije: p p

4 Z q vrtio u prvu jednčinu: p+ q p+ p Z p p+ q + q q kle, t kvdrtn jednčin je: + p+ q z p i q + z p q Rstvljnje kvdrtnog trino n činioe Kvdrtni trino po je izrz olik: + + gde su Brojevi, i su koefiijenti kvdrtnog trino.,, rojevi i. Ako su rešenj kvdrtne jednčine + + ond je: + + ( )( ) Prier. ti kvdrtni trino rstviti n činioe. : ) 5+ 6 ) + + ) njpre rešio kvdrtnu jednčinu: ±, 5± Forul: )( ) ( )( ) ( )( ) kle: ( 5+ 6 ( )( )

5 ) + +,,, ± i ( ± i) + i i ( )( ) ( + i)( + + i) kle: + + ( + i)( + + i) Prier. Skrtiti rzlok: + 7 Uzećeo poseno ienil, poseno rojil i rstviti ih n činioe. + Uio u forulu: Isto odrdio i s ienioe: ± ± ,, + ( )( ) ( )( + ) 7 7 ( 7) ( ) ±, 7± 5, kle: 7 ( )( ) ( )( + ) Vrtio se sd u rzlok: 5

6 + 7 ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) Nrvno uz uslove: i + Prier. Skrtiti rzlok: + Sličn postupk ko u prethodno zdtku, prvo ćeo ienil d rstvio n činioe: + 6 ±, ±, kle: ( + )( + ) ( )( ( )) ( )( + ) Sd rojil: + ćeo rstviti po foruli: A + B ( A+ B)( A AB+ B ) VII POLINOMI p je: + ( + )( + ) Vrtio se u rzlok: + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + nrvno uz uslove i + U neki zdi n trže d rešenj udu pozitivn (ili negtivn). Pokžio koji su tu uslovi: 6

7 ) Rešenj kvdrtne jednčine s relni koefiijenti su: reln i pozitivn,, > ) Rešenj kvdrtne jednčine s relni koefiijenti su: reln i negtivn, >, > Ov rzišljnj (teoree) proizilze iz Vietovih prvil: i rešenj il reln je + ) pozitivn + > > > + > ) negtivn > > (inus put inus je plus) Prier. Odrediti preter tko d rešenj jednčine + udu pozitivn. Iz + vidio d je Teore kže d ovde or iti:. uslov:. uslov:.uslov: > 7

8 9 ) ( ) ( +. uslov: ( Pzi: znk se okreće). uslov: Zdovoljeno!.uslov: > > Sd spkujeo prvi i treći uslov, jer je drugi već zdovoljen: Končno rešenje je :,