Microsoft Word - 19ms101

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "Microsoft Word - 19ms101"

Транскрипт

1 Zadatak 0 (Maino i Medax, sednja škola) Zadana su polukuga svaki polumjea cm (slika). Četveokut F je pavokutnik, a točke i F sedišta su donjih polukugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?. 8 cm. 7 cm. π cm. π + cm. π + cm Rješenje 0 F ( ) ( ) a b a + b + =. n n n Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i šiine b. P = a b. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b a slike vidi se: like nam govoe sve! = cm, F = = = 4 cm, F = = = cm F

2 P P = π F P F P F = F F = = F P P Ploština neobojenog dijela iznosi: P = P = π 4 F P F P = P + P F P P P = π + π π 4 4

3 P = π + π P = π + π 4 4 P = π + π P = π + π P = Odgovo je pod. Vježba 0 ( ) P = cm P = 8 cm. Zadana su polukuga svaki polumjea cm (slika). Četveokut F je pavokutnik, a točke i F sedišta su donjih polukugova. Kolika je ploština neobojenog dijela slike?. 8 cm. 9 cm. π cm. π + cm. 9 π cm Rezultat:. Zadatak 0 (Maija, TUPŠ ) F ( ) ( ) Nactana su dva polukuga. Tetiva je duga 4 i uspoedna je pomjeu velikog polukuga i dodiuje mali polukug. Kolika je neobojena (bijela) povšina? Rješenje 0. π..5 π. π. π Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. užina koja spaja dvije točke kužnice zove se tetiva. Okomica iz sedišta kuga na tetivu aspolavlja je na dva jednaka dijela. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete,

4 a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b F R R Iz slike izlazi: P = R, = = = = R, G = P = PG = PF = =, = 4, = = G Uočimo pavokutan tokut i upoabom Pitagoina poučka dobijemo: = + R = + R = + 4 R = 4. Ploština neobojenog (bijelog) dijela P jednaka je azlici ploština velikog i malog polukuga. ( ) P = R π π P = π R R = 4 P = π 4 P = π 4 P = π. Odgovo je pod. 4

5 Vježba 0 Nactana su dva polukuga. Tetiva je duga 8 i uspoedna je pomjeu velikog polukuga i dodiuje mali polukug. Kolika je neobojena (bijela) povšina? Rezultat:.. 8 π. 6 π. 4 π. π Zadatak 0 (Tina i onja, HK) in gleichseitiges eieck mit de eitenlänge und ein Keis mit Radius haben den gleichen Mittelpunkt. Wie goβ ist de Umfang de Figu, die man aus beiden gemeinsam ehält? π. 6 + π. + π π. 9 + π Jednakostaničan tokut duljine stanice i kužnica polumjea imaju zajedničko sedište. Koliki je opseg lika omeđenog cnom linijom? Rješenje 0 n cos0 =, = n. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Opseg tokuta duljina stanica a, b i c izačunava se po fomuli: O = a + b + c. Nasupot jednakim stanicama tokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostanični tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, 5

6 a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Kosinus šiljastog kuta pavokutnog tokuta jednak je omjeu duljine katete uz taj kut i duljine hipotenuze. Visine su tokuta dužine kojima je jedan kaj vh tokuta, a dugi sjecište okomice (koja polazi pomatanim vhom) s pavcem na kojem leži supotna stanica tokuta. Težišnica tokuta je dužina koja spaja vh s polovištem nasupotne stanice i dijeli tokut na dva dijela jednake povšine. ve ti težišnice sijeku se u jednoj točki, težištu tokuta. Težište dijeli svaku težišnicu u omjeu : gledano od vha. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. l ko je polumje kužnice, tada je duljina luka sa sedišnjim kutom od stupnjeva dana fomulom l π =. 80 ( ) 0 katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Visina jednakostaničnog tokuta je: a v =. a v a a 6

7 H G K F a slike vidi se: = = = a =, = = =, N = N =, = N Tokut je jednakostaničan pa je N istodobno njegova težišnica, visina i simetala kuta. Točka je sjecište težišnica i visina pa vijedi: a [ ] N = N N = a = N = N = N =. H G K F N 7

8 Uočimo pavokutan tokut N i pomoću funkcije kosinus izačunamo kut. N cos = cos = cos = = cos = 0 = 0 / = 60. Zaključujemo da je tokut jednakostaničan pa je =. nalogno su i tokuti FG i HK jednakostanični i slijedi: Zbog simetičnosti vijedi: FG = HK =. = = F = G = H = K =. Računamo duljinu luka. H G K F π = π 60 π 60 π = = = =. 80 = Takođe je π FG = HK =. Opseg lika iznosi: N O = F + FG + G + H + HK + K O = + π π π + O = 6 + π O = 6 + π O = 6 + π. Odgovo je pod. 8

9 Vježba 0 in gleichseitiges eieck mit de eitenlänge 6 und ein Keis mit Radius haben den gleichen Mittelpunkt. Wie goβ ist de Umfang de Figu, die man aus beiden gemeinsam ehält? π. + π π π. 9 + π Jednakostaničan tokut duljine stanice 6 i kužnica polumjea imaju zajedničko sedište. Koliki je opseg lika omeđenog cnom linijom? Rezultat:. Zadatak 04 (onja, HK) Jede von dei Keisen mit Radius beüht die beiden andeen Keise (siehe bbildung). Welchen Flächeninhalt hat das gaue Flächenstück zwischen den Keisen? (vaki od ti kuga sa polumjeom dodiuje dugi kug. Kolika je obojena povšina između kugova?) Rješenje 04 a b a b n n n =, ( a b) = a b. n n n 9

10 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Nasupot jednakim stanicama tokuta nalaze se jednaki kutovi. Jednakostanični tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. Povšina jednakostaničnog tokuta duljine stanice a a P = 4 Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). ko je polumje kuga, tada je povšina kužnog isječka sa sedišnjim kutom od stupnjeva dana fomulom π P( ) =. 60 katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c.. F a slike vidi se: = = =, = = = = F = F = = = = = 60 0

11 F F Povšina osjenčanog dijela (plava boja među kugovima) jednaka je azlici povšine jednakostaničnog tokuta i tostuke povšine kužnog isječka (sva ti kužna isječka jednake su povšine) Vježba 04 ( ) π 4 π 60 P = = 60 P = π 60 π P = P = 4 60 ( ) π P P π = =. Jede von dei Keisen mit Radius beüht die beiden andeen Keise (siehe bbildung). Welchen Flächeninhalt hat das gaue Flächenstück zwischen den Keisen?

12 (vaki od ti kuga sa polumjeom dodiuje dugi kug. Kolika je obojena povšina između kugova?) Rezultat: π P =. Zadatak 05 (Mata, sednja škola) Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu cm, tijekom 4 sata pibližno je jednak:..8 m. 8. m. 8 m. 80 m Rješenje 05 h = 60 min, m = 00 cm. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. U jednoj minuti vh sekundne kazaljke sata jednom pijeđe kužnicu. Za 4 sata on će obići kužnicu 440 puta. n = 4 60 = 440. Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata tijekom 4 sata pibližno iznosi: n = 440 s = n O s = n π s = m π = cm = 0.0 m Odgovo je pod. s = m s 8 m. sekundna kazaljka Vježba 05 Put koji pijeđe vh sekundne kazaljke sata, koja ima duljinu 0 mm, tijekom 4 sata pibližno je jednak:..8 m. 8. m. 8 m. 80 m Rezultat:.

13 Zadatak 06 (4, TUPŠ) Geogafska šiina Zageba je 45º 45'. Kolika je udaljenost Zageba od ekvatoa? (polumje Zemlje = 670 km) Rješenje 06 = 60', ' = 60. Fomula za duljinu kužnog luka l koji je pidužen sedišnjem kutu, u kugu polumjea, glasi: π l =. 80 kvato pedstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili dugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova. ZG l ekvato = 670 km π 670 km π l = 45 l l km. 80 = = = 45 45' = 45 = Vježba 06 Ponađite geogafsku šiinu Vašeg mjesta. Kolika je njegova udaljenost od ekvatoa? (polumje Zemlje = 670 km) Rezultat:? Zadatak 07 (4, TUPŠ) ko se oko ekvatoa postavi žica, a zatim ta žica podulji za m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje? Rješenje 07 m = 00 cm. Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Opseg kužnice polumjea iznosi: O = π. kvato pedstavlja zamišljenu liniju povučenu oko planeta (ili dugog nebeskog tijela) na jednakoj udaljenosti od polova. Zakon distibucije množenja pema zbajanju.

14 ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. ko je polumje Zemlje njezin opseg oko ekvatoa je O = π. Povećamo li polumje za x, opseg će se poduljiti za d. ( ) d + O = + x π. lijedi: O = π d π ( x) π d π π x π d O ( x) + = + + = + + = + π d+ π = π + x π d= x π x π = d 00 d cm x π = d / x x x 5.9 cm. π = π = π = x Vježba 07 ko se oko ekvatoa postavi žica, a zatim ta žica podulji za 0.5 m i podjednako udalji od Zemlje, kolika je udaljenost žice od Zemlje? Rezultat: 7.96 cm. Zadatak 08 (ona, gimnazija) Zboj polumjea dviju koncentičnih kužnica iznosi 6 cm. Tetiva veće kužnice ima duljinu 6 cm, a manja je kužnica dijeli na ti jednaka dijela. Polumje veće kužnice iznosi Rješenje cm. 9 cm. 0 cm. cm a b = a b a + b. ( ) ( ) Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. Koncentične kužnice su kužnice koje imaju isto sedište. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice 4

15 a n a =, n 0, n. b n b P R a slike vidi se: = 6 cm, = = = = 6 cm = cm P = P = = cm = 6 cm, P = + P = cm + 6 cm = 8 cm = R, = = R P R P Uočimo pavokutne tokute čiji su vhovi sedište tetive, sedište kužnica te točke na tetivi i kužnicama: P i P. va put upoabimo Pitagoin poučak. P = P P = R 8 metoda kompaacije P = P P = 6 R 8 = 6 R 4 = 6 R = uvjet R = 88 ( R + ) ( R ) = 4 6 ( R ) = 88 R + = 6 ( ) / 6 R = 88 : 6 R = 8. 5

16 Iz sustava jednadžba izačunamo R. R + = 6 metoda supotnih R = 44 R = 44 /: R = cm. R = 8 koeficijenata Odgovo je pod. Vježba 08 Zboj polumjea dviju koncentičnih kužnica iznosi.6 dm. Tetiva veće kužnice ima duljinu.6 dm, a manja je kužnica dijeli na ti jednaka dijela. Polumje veće kužnice iznosi Rezultat:. Zadatak 09 (Kataina, matuantica) Rješenje cm. 9 cm. 0 cm. cm Koliki je polumje kužnice ako je nad njezinom tetivom duljine 0 cm obodni kut mjee 5º? Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. užina koja spaja dvije točke kužnice zove se tetiva. Okomica iz sedišta kužnice na tetivu dijeli je na dva jednaka dijela. Kut kojem je vh na kužnici, a čiji kakovi sijeku tu kužnicu naziva se obodni kut. vi su obodni kutovi nad danim lukom kužnice sukladni. edišnji kut β nad lukom kužnice jednak je dvostukom obodnom kutu nad tim istim lukom. β β = = β Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Tokut je geometijski lik koji ima ti stanice, ti kuta i ti vha. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. inus šiljastog kuta pavokutnog tokuta jednak je omjeu duljine katete nasupot tog kuta i duljine hipotenuze. 6

17 a slike vidi se: = 0, = = = 0 = 5, = = = = 5 obodni kut, = = 5 = 0 sedišnji kut = = 0 = 5 Uočimo pavokutan tokut i pomoću funkcije sinus dobije se: Vježba 09 Rezultat: 5 5 sin = sin5 = sin5 = / sin5 5 = sin5 = cm Koliki je polumje kužnice ako je nad njezinom tetivom duljine 0 cm obodni kut mjee 5º? 9.85 cm. Zadatak 0 (Kataina, matuantica) Na skici je pikazan pavokutnik dimenzija.8 cm x 5 cm u koji je uctan polukug. Povšina osjenčanoga dijela pavokutnika jednaka je povšini uctanoga polukuga. Koliki je polumje polukuga?..5 cm..9 cm. 4.5 cm. 6.4 cm 7

18 Rješenje 0 Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika je jednaka umnošku njegove duljine a i šiine b. P = a b. udući da je povšina osjenčanoga dijela pavokutnika (bijela boja) jednaka povšini uctanoga polukuga (žuta boja), povšina polukuga jednaka je polovici povšine pavokutnika. a b a b π = a b π = a b / = = / π π π a b a =.8 cm.8 cm 5 cm = = = 4.5 cm. π b = 5 cm π Odgovo je pod. Vježba 0 Rezultat: Odmo! Zadatak (Kataina, matuantica) Na skici su pikazana ti kuga s pomjeima, i. uljina pomjea je cm, a pomjea je 8 cm. Kolika je povšina osjenčanoga dijela na skici?. 8 π cm. 0 π cm. 4 π cm. 48 π cm Rješenje 8

19 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. Kug je skup svih točaka avnine kojima je udaljenost od zadane točke manja ili jednaka zadanom boju > 0 (polumjeu kuga). Pomje kužnice: d =. Ploština kuga polumjea iznosi: P = π. Zakon distibucije množenja pema zbajanju. ( ) ( ) a b + c = a b + a c, a b + a c = a b + c. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b k k k a slike vidi se: = cm, = 8 cm, = + = cm + 8 cm = 0 cm = = = 0 cm = 0 cm Odedimo polumjee kugova: polumje kuga k polumje kuga k polumje kuga k = 0 = = 0 = 8 = = 4 = 6. = cm = cm Povšina osjenčanoga dijela jednaka je povšini kuga k umanjena za povšine kugova k i k. 9

20 Odgovo je pod. Vježba Rezultat: ( ) P = P P P P = π π π P = π Odmo! = 0 cm 4 (( 0 ) ( 4 ) ( 6 ) = cm P = cm cm cm ) π = 6 cm Zadatak (Vedan, gimnazija) ( ) P = 00 cm 6 cm 6 cm π P = 48 π cm. U kužnicu polumjea.5 cm upisan je pavokutan tokut povšine.5 cm. Zboj duljina kateta tokuta iznosi: cm. cm. cm. cm. cm Rješenje b a b a c a d + b c a a a + b = a + a b + b, a =, + =, =. c c b d b d b b ( ) a b = a b. Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Pavokutni tokuti imaju jedan pavi kut (kut od 90º). tanice koje zatvaaju pavi kut zovu se katete, a najdulja stanica je hipotenuza pavokutnog tokuta. Pitagoin poučak Tokut je pavokutan ako i samo ako je kvadat nad hipotenuzom jednak zboju kvadata nad katetama. Talesov poučak vaki obodni kut nad pomjeom kužnice je pavi. ko je pavokutnom tokutu hipotenuze c opisana kužnica polumjea, vijedi: c =. Ploština pavokutnog tokuta izačunava se po fomuli a b P =, gdje su a i b duljine kateta. ecimalni boj piše se u obliku decimalnog azlomka tako da se u bojnik napiše zadani decimalni boj bez decimalne točke, a u nazivnik se napiše dekadska jedinica (0, 00, 000, 0000, 00000, ) koja ima toliko nula koliko decimalni boj ima decimala (znamenaka na decimalnom mjestu, tj. iza decimalne točke ili decimalnog zaeza). katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice. a n a =, n 0, n. b n b Kenimo na posao! 0

21 c = a + b c = = + = a + b = ( ) [.5 ] a b (.5) a + b =.5 a + b = 6.5 a + b = a + b = a + b = a b a b a b P = = P = P / a b = P a b =.5 a b = a b = a b = a b =. 0 0 ada je: 5 a + b = 4 ( a + b) = a + a b + b ( a + b) = a + b + a b 5 a b = ( ) 5 5 ( ) 5 0 ( ) a + b = + a + b = + a + b = ( a + b) = Odgovo je pod. Vježba ( a + b) = / a + b = a + b = a + b = a + b = a + b =. U kužnicu polumjea.5 mm upisan je pavokutan tokut povšine.5 cm. Zboj duljina kateta tokuta iznosi: cm. cm. cm. cm. cm Rezultat:. Zadatak (Mako, gimnazija) isač stakla dug je 55 cm i biše avno staklo dimenzija 0 cm x 60 cm. isač se pi bisanju stakla zakene za kut od 60º kao što je pikazano na skici. Koliki postotak povšine stakla bisač pitom obiše? 0 cm 60 cm 55 cm 60 Rješenje Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80.

22 Paalelogami su četveokuti kojima su po dvije nasupotne stanice uspoedne (paalelne). Pavokutnik je paalelogam koji ima baem jedan pavi kut (pavi kut ima 90º). Ploština pavokutnika izačunava se po fomuli: P = a b, gdje su a i b duljine njegovih stanica. ko je polumje kuga, tada je ploština kužnog isječka sa sedišnjim kutom dana fomulom Koliki je postotak boja a od boja b? P ( ) taklo vjetobana je pavokutnog oblika povšine π =. 60 a 00 %. b a = 0 cm P = a b P b 60 cm = cm cm P = cm = Uočimo da je pebisani dio stakla oblika kužnog isječka povšine π = 55 cm ( 55 cm) π P = P = 60 P = 4.70 cm. 60 = Računamo postotak povšine stakla koji bisač obiše. P P 4.70 = cm 4.70 cm p = 00 % p = p = %. P P = cm cm Vježba isač stakla dug je 5.5 dm i biše avno staklo dimenzija dm x 6 dm. isač se pi bisanju stakla zakene za kut od 60º kao što je pikazano na skici. Koliki postotak povšine stakla bisač pitom obiše? dm 6 dm 5.5 dm 60 Rezultat: %. Zadatak 4 (Fanjo, sednja škola) uljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put pijeđe vh te kazaljke za 40 sati? Rješenje 4 Opseg kuga polumjea iznosi: Puni kut = 60. O = π.

23 Za jedan sat velika (minutna) kazaljka 'opiše' puni kut, a njezin vh pijeđe put jednak opsegu kuga polumjea. Za 40 sati taženi put bit će 40 puta veći i iznosit će: O = π s = 40 π [ = 7 cm ] s = 40 7 cm π s = 560 π cm s = 40 O s cm. Vježba 4 uljina velike kazaljke sata koja pokazuje minute je 7 cm. Koliki put pijeđe vh te kazaljke za 0 sati? Rezultat: 80 π cm. Zadatak 5 (Lucija, sednja škola) Rješenje 5 Odedi polumje onog kuga kojemu je povšina jednaka duljini pomjea. Ploština kuga polumjea iznosi: n a n m a = a, m = a. a P = π. Pomje kužnice i kuga je dužina koja polazi sedištem i spaja dvije točke kužnice. Pomje je dvaput veći od polumjea. d =. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Iz uvjeta slijedi: P = d π = π = / =. π π Vježba 5 Odedi polumje onog kuga kojemu je povšina jednaka duljini polumjea. Rezultat:. π Zadatak 6 (Fox, gimnazija) Na skici je pikazana kužnica i njezine tetive i. uljine dužina su: = 7 cm, = 6 cm, = cm i = x cm. Koliko je x?

24 x cm cm 7 cm 6 cm Rješenje Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Tetiva je spojnica dviju točaka kužnice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b Potencije točke obziom na kužnicu Neka je k kužnica i T bilo koja točka avnine. Povucimo točkom T bilo koji pavac koji siječe kužnicu u točkama i. Realan boj T T ili T T zovemo potencija točke T obziom na kužnicu k, ako je T izvan k ili unuta k. k T T k T T = T T a slike vidi se da je unutanja točka kužnice. ko se povuče bilo koja tetiva kužnice koja polazi koz onda umnožak duljina i ne ovisi o izbou tetive. Zato vijedi: Odgovo je pod. = x 6 = 7 6 x = 6 x = /: 6 7 x = x = x = x =

25 Vježba 6 Na skici je pikazana kužnica i njezine tetive i. uljine dužina su: = 8 cm, = 4 cm, = cm i = x cm. Koliko je x? x cm cm 8 cm 4 cm Rezultat: Zadatak 7 (Ivan, matuant) Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male 5 cm. Rješenje 7 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Jednakostanični tokut ima sve ti stanice jednake duljine i ti jednaka kuta. Polumje opisane kužnice jednakostaničnog tokuta iznosi: a δ =, gdje je a duljina stanice tokuta. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i 5

26 jedinice a n a =, n 0, n. b n b δ R Točke, i sedišta su malih kužnica, a velike kužnice. a slike vidi se: = = =, = = = δ, =, = R Tokut je jednakostaničan tokut, a točka je sedište njemu opisane kužnice čiji polumje iznosi Polumje velike kužnice je δ =. = + R = δ + R = + [ = 5 cm ] ( ) 5 5 R = + 5 R = + 5 R = cm R. cm. Vježba 7 Na skici su pikazane ti sukladne male kužnice koje se međusobno dodiuju i koje iznuta dodiuju veliku kužnicu sa sedištem. Izačunajte polumje velike kužnice ako je polumje male cm. Rezultat: 5.86 cm. 6

27 Zadatak 8 (Fan, sednja škola) vije kužnice k, k imaju zajedničku tetivu. Ta je tetiva kužnici k stanica upisanoga kvadata, a kužnici k stanica upisanoga pavilnoga šesteokuta. Koliki je omje polumjea tih kužnica?. =. =. =. = Rješenje 8 Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. Pomje kužnice: d =. Tetiva je spojnica dviju točaka kužnice. Četveokut je dio avnine omeđen sa četii dužine. Konveksni četveokuti su četveokuti kojima su svi kutovi manji od 80. Kvadat je četveokut kojemu su sve stanice sukladne, a dijagonale međusobno sukladne i okomite. Plošna dijagonala je dužina koja spaja dva nesusjedna vha nekog mnogokuta ili polieda. uljina dijagonale d kvadata izačunava se po fomuli d = a Mnogokut (poligon) je skup svih točaka avnine omeđen dužinama. Pavilni mnogokut (poligon) je mnogokut kojemu su sve stanice sukladne i svi unutanji kutovi sukladni. Šesteokut je mnogokut koji ima šest stanica, šest kutova i šest vhova. Pavilni šesteokut ima duljine svih stanica jednake polumjeu njemu opisane kužnice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b. k k = t t = t Neka su: t zajednička tetiva kužnica k i k polumje kužnice k polumje kužnice k. U kužnicu k, polumjea, upisan je kvadat stanice t pa za pomje kužnice, koji je istodobno dijagonala kvadata, vijedi: 7

28 = t = t /: = t. U kužnicu k, polumjea, upisan je pavilan šesteokut stanice t pa za polumje kužnice vijedi: Gledamo omje: Odgovo je pod. Vježba 8 Odmo! Rezultat: = t. t t = = = t t Zadatak 9 (FeePlayH, Gymnasium, ustia) Thee cicles with adius ae dawn in such a way that each time one of the points of intesection of two cicles is identical with the cente of the thid cicle. How big is the aea of the yellow zone?. Rješenje 9 π. π. π.. π. 4 π b a b a =. c c Kužnica je skup svih točaka u avnini jednako udaljenih od zadane točke (sedišta). Polumje ili adijus je dužina koja spaja sedište kužnice s bilo kojom točkom kužnice. uljina polumjea označava se slovom. 8

29 Kužni odsječak je dio kuga omeđen tetivom i pipadnim kužnim lukom Kužni isječak je dio kuga omeđen dvama polumjeima i pipadnim kužnim lukom. ko je polumje kužnice, tada je ploština kužnog isječka sa sedišnjim kutom dana fomulom P ( ) π =. 60 Tokut je dio avnine omeđen s ti dužine. Te dužine zovemo stanice tokuta. Jednakostaničan tokut ima ti jednaka kuta = 60 i ti jednake stanice. katiti azlomak znači bojnik i nazivnik tog azlomka podijeliti istim bojem azličitim od nule i jedinice a n a =, n 0, n. b n b vaki se žuti geometijski lik može peoblikovati u kužni isječak polumjea = i sedišnjeg kuta = 60º je je tokut jednakostaničan. ko kužni odsječak zelene boje pemjestimo na mjesto gdje postaje kužni odsječak plave boje, dobijemo kužni isječak (cvena boja). Njegova je ploština π P =. 60 udući da postoje sukladna geometijska lika, njihova ploština iznosi: π = π 60 4 π 60 4 π π π = = = = = = = π. 60 =

30 60 Odgovo je pod. Vježba 9 Thee cicles with adius ae dawn in such a way that each time one of the points of intesection of two cicles is identical with the cente of the thid cicle. How big is the aea of the yellow zone? Rezultat:. π. π. π.. π. 4 π 0

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

Pismeni dio ispita iz Matematike 1

Pismeni dio ispita iz Matematike 1 Zenica, 00007 Odediti koeficijent uz 8 u azvoju tinoma 0 + + Rješiti i diskutovati sistem lineanih jednačina u zavisnosti od paameta a: a y + z = + ( a) y + z = 0 y+ a z = Ispitati funkciju i nactati gafik:

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

Microsoft Word - izavnerdni01.doc

Microsoft Word - izavnerdni01.doc Elektotehnika zadaci Sustavi jedinica Međunaodni sustav jenih jedinica SI Dienzijske jednadžbe izjednačavanje jednadžbi Slika. Međunaodni sustav jenih jedinica SI Slika. Izvedene jedinice SI s posebni

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi

294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi 294 PLANIMETRIJA PLANIMETRIJA, dio geometrije koji proučava skupove točaka u euklidskoj ravnini (v. Geometrija, TE 6, str. 120). Neki posebni skupovi točaka, kao što su dužina, kut, kružnica i krug, jesu

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

gt1b.dvi

gt1b.dvi r t.h en el em 6 SUKLDNOST I SLI NOST Pripremi se za gradivo koje slijedi, rijes i pripremne zadatke koji se nalaze u elektronic kom dijelu udz benika. el em en t.h r Sukladnost je rijec koju c esto susrec

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Више

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je

1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na je 1. Počevši iz vrha šiljastokutnog trokua povučena je visina kojoj je točka A 1 nožište na nasuprotnoj stranici. Iz točke A 1 povučena je okomica na jednu od preostale dvije stranice i njezino nožište na

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

Naziv studija

Naziv studija Naziv studija Integrirani preddiplomski i diplomski učiteljski studij Naziv kolegija Matematika 2 Status kolegija Obvezni Godina 1. godina Semestar 2. semestar ECTS bodovi 3 Nastavnik Mr.sc. Damir Mikoč

Више

Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr

Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zr Ponovimo Grana fizike koja proučava svijetlost je? Kroz koje tvari svjetlost prolazi i kako ih nazivamo? IZVOR SVJETLOSTI je tijelo koje zrači svjetlost. Primarni: Sunce, zvijezde, Sekundarni: Mjesec,

Више

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil

Више

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja

Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

ALIP1_udzb_2019.indb

ALIP1_udzb_2019.indb Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti

Више

ss08drz-A-zad.dvi

ss08drz-A-zad.dvi DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija, 7. travnja 008. Rješenja Zadatak 1. Neka su a, b, c proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva (a + b + c) 9ab,

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU TEORIJA IZ SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA SUKLADNOST TROKUTA SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA SLIČNOST TROKUTA 6.1. SUKLADNOST DUŽINA

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne

Више

GLOBALNI IZVEDBENI PLAN I PROGRAM ZA IZVOĐENJE NASTAVE GEOGEBRE U OSNOVNOJ ŠKOLI (matematička grupa, 1 sat tjedno) 6. razred (35 sati) I. Uvod u GeoGe

GLOBALNI IZVEDBENI PLAN I PROGRAM ZA IZVOĐENJE NASTAVE GEOGEBRE U OSNOVNOJ ŠKOLI (matematička grupa, 1 sat tjedno) 6. razred (35 sati) I. Uvod u GeoGe GLOBALNI IZVEDBENI PLAN I PROGRAM ZA IZVOĐENJE NASTAVE GEOGEBRE U OSNOVNOJ ŠKOLI (matematička grupa, sat tjedno) 6. razred (5 sati) I. Uvod u GeoGebru. Preuzimanje i instaliranje programa. II. Upoznavanje

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr

Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razr Elementi praćenja i ocjenjivanja za nastavni predmet Matematika u 4. razredu ODLIČAN (5) navodi primjer kuta kao dijela ravnine omeđenog polupravcima analizira i uspoređuje vrh i krakove kuta analizira

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

Slide 1

Slide 1 OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti

Више

PRAVAC

PRAVAC Nives Baranović nives@ffst.hr Odsjek za učiteljski studij Filozofski fakultet u Splitu Razvoj geometrijskog mišljenja kroz tangram aktivnosti Radionica za učitelje i nastavnike matematike VII. simpozijum

Више

192 TRGOVAČKI BROD - TRIGONOMETRIJA ležaj ima, a predviđene su i kabine za invalidne osobe. Na više paluba s javnim prostorom za boravak putnika nalaz

192 TRGOVAČKI BROD - TRIGONOMETRIJA ležaj ima, a predviđene su i kabine za invalidne osobe. Na više paluba s javnim prostorom za boravak putnika nalaz 9 TRGOVAČKI BROD - TRIGONOMETRIJA ležaj ima, a pedviđene su i kabine za invalidne osobe. Na više paluba s javnim postoom za boavak putnika nalazi se tgovački centa s podavaonicama, salon, posto za poslovne

Више

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1 Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka

Више

os07zup-rjes.dvi

os07zup-rjes.dvi RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

FOR_Matema_Srednja

FOR_Matema_Srednja Јован Бојиновић НЕОПХОДНЕ ФОРМУЛЕ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПОЛАГАЊЕ ПРИЈЕМНОГ ИСПИТА ЗА ФАКУЛТЕТЕ Формуле из планиметрије и стереометрије Страна: ПОВРШИНА ТРОУГЛА. Површина троугла се може израчунати и Хероновим

Више

1

1 Zdci z poprvni ispit. rzred-tehničri. Izrčunj ) 0- (- 7) - [(-)- (-)]+7 (-7) (8-)-(-)(-) -+ [+ (- )].Izrčunj ) e) 7 7 7 8 7 i) 0 7 7 j) 8 k) 8 8 8 l). 0,.Poredj po veličini, počevši od njvećeg prem njmnjem,,,,.)odredi

Више

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa

Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat

Више

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.

Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike

Више

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta iz zadanih veličina. U pravokutnom trokutu s katetama

Више

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018.

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela Bockovac Inverzija u ravnini i primjene Diplomski rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Marinela

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

em33.dvi

em33.dvi 15 1. Problemi s brojevima, jednadžbama i nejednadžbama 1. Vježbanje tablice množenja Zadan je niz brojeva na sljedeći način: prvi član niza je 2, drugi član je 3; pa je treći član niza 6; 2 3 = 6, 3 6

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja 2016. Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje 90 minuta. Zadatci (njih 32) podijeljeni su u dvije

Више

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI

Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI Obrazac Metodičkih preporuka za ostvarivanje odgojno-obrazovnih ishoda predmetnih kurikuluma i međupredmetnih tema za osnovnu i srednju školu OSNOVNI PODATCI Ime i prezime Zvanje Naziv škole u kojoj ste

Више

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III

Министарство просвете, науке и технолошког развоја ДРУШТВО МАТЕМАТИЧАРА СРБИЈЕ Општинско такмичење из математике ученика основних школа III 25.02.2017 III разред 1. Број ногу Периних паса је за 24 већи од броја њихових глава. Колико паса има Пера? 2. На излет су кренула три аутобуса у којима је било укупно 150 ученика. На првом одмору је из

Више

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V

Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad V Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Iva Kavčić Euklidska, hiperbolička i sferna trigonometrija Diplomski rad Voditelj rada: prof.dr.sc. Vedran Krčadinac Zagreb,

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO

MAT-KOL (Banja Luka) XXV (1)(2019), DOI: /МК A ISSN (o) ISSN (o) JOŠ JEDAN DO MAT-KOL (Banja Luka) XXV ()(9), -8 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI:.75/МК9A ISSN 54-6969 (o) ISSN 986-588 (o) JOŠ JEDAN DOKAZ PTOLEMEJEVE TEOREME I NJENA ZNAČAJNA PRIMJENA Dr. Šefket Arslanagić,

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.

Више

1. Tijela i tvari Sva tijela zauzimaju prostor. Tijela su načinjena od tvari. Tvari se mogu nalaziti u trima agregacijskim stanjima: čvrstom, tekućem

1. Tijela i tvari Sva tijela zauzimaju prostor. Tijela su načinjena od tvari. Tvari se mogu nalaziti u trima agregacijskim stanjima: čvrstom, tekućem 1. Tijela i tvari Sva tijela zauzimaju prostor. Tijela su načinjena od tvari. Tvari se mogu nalaziti u trima agregacijskim stanjima: čvrstom, tekućem i plinovitom. Mjerenje je postupak kojim fizičkim veličinama

Више