Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Транскрипт

1 INTEGRALI ZADACI (V-DEO) Inegrli nekih funkij koje sdrže kvdrni rinom Njpre ćemo proučii inegrle oblik: I= i I = Kod njih se kvdrni rinom svede n knonični oblik pomoću formule: b 4 b = nrvno, možemo korisii i dopunu do punog kvdr, ko ne voli d pmi formulu. b + = Zim uzimmo smenu: = d, i dobijemo neki od bličnih inegrl. I + = se može svesi n = rg + C, ln C + = + ili ln = + C + I = se svodi njčešće n = + C ili rsin ln C ± = + ± + primer. = 6+ b b 4 b 6 + = Ovde je =, = 6, = p o zmenimo u formuliu + +, dkle: 4 b 4 b 6 4 ( 6) = + + = ( ) + = ( ) Lkše je nrvno izvršii dopunu do punog kvdr, zne ono dodmo i oduzmemo onj uz podeljen s p o n kvdr. broj uz 6+ = = ( ) + 4 Uz je 6, p dodjemo i oduzimmo 6 = 9

2 Vrćmo se u inegrl: = d = = = ( ovo je = rg + C iz bele)= 6 + ( ) + 4 = d + + rg + C= ( vrimo smenu) = rg + C primer = = ( + ) = ( + + ) = [( ) + ] = = = = = 6+ 5 [( ) + ] ( ) + = d + ( ) 4 4 Uporebimo iz blie = ln + ± + C ± 5 ln ( ) ln = C= vrimo smenu= C + ( ) Kd znmo ov dv ip inegrl,možemo nučii i : I A+ = i I4 = A+ b + + Oni se rdom svedu n prehodn dv inegrl: I A+ = se svede n inegrl I=, dok se I 4 A+ = svede n inegrl I =. Posoje goove formulie u kojim reb smo d uporedie i ndjee vrednosi z A,,,b i. Pzie: njih smee korisii smo ko o odobrv vš profesor! Mi ćemo vm pokzi i eo posupk u slučju d ne smee d korisie formule

3 Formulie su: I = A ln +(- Ab ) I +C i A A b I4 = + I +C + primer. = + + A+ Ovo je očigledno inegrl ip I = Uporedjivnjem dobijmo d je : A=, =, =, b=,= A Ab I = ln + ( ) I+ C A=, =, =, b=, = I = ln ( ) I+ C= ln I+ C Sd immo poso d rešimo inegrl ip I= i d njegovo rešenje posle vrimo u formulu. + + I= = = = ( ) + = + I = = = = = rg = rg = + + d + + = + ( ) 4 + = rg Vrimo se u formulu: + = ln I + C= ln ln rg + C + rg + C

4 Kko bi ovj inegrl rešvli d nismo smeli korisii formulu + = + + Idej je d se izrz u brojiou A+ nprvi d bude izvod izrz u imeniou. To možee urdii ko šo izvučee ispred inegrl A. U nšem primeru immo + + u imeniou, njegov izvod je + + = +, šo znči d u brojiou reb d ( )` nprvimo +, odnosno d izvučemo A = ispred inegrl! = = = ( + ) Sd se problem sveo n rešvnje dv inegrl, gde prvi uvek rdimo smenom, drugi je ip I. + + = = = d= = (+ ) = d + ln ln Ovj drugi smo već rešvli: ( ) + = + = = = = = rg = rg = d + + = + ( ) 4 + = rg Vrimo se n zdk : + + = ( + ) = = (ln rg ) + C + = ln rg + C 4

5 primer = I nčin ( uz pomoć formule) A A b I = + I 5+ = A= 5, =, =, b= 4, = = ( 7) = = D rešimo ovj inegrl posebno, p ćemo vrii njegovo rešenje... = = = ( + ) = : ln ( + ) + 6 = d + 6 ± = = = = korisimo = + ± + C ln 6 ln 4 0 = + + = = = C ln 4 0 II nčin (direkno, bez uporebe formulie) 5+ = Kko je izvod ( 4 0)` 4 ( ) + + = + = + u brojiou mor bii nprvljeno o. 5

6 5( + ) = 5 = 5 5 = = 5 ( 5 + ) = 5 ( 5 + ) = Sd rdimo ov dv inegrl ( drugi smo već rešvli kod prvog nčin) = (+ 4) = d = ( + ) = ( + ) = d d = d = d= = = = = ( + ) = : ln ( + ) + 6 = d + 6 ± = = = = korisimo = + ± + C ln 6 ln 4 0 = + + = Vrimo se u zdk: 5+ + = = C ln 4 0 6

7 + 7 primer 5. = + Ovj primer vm nvodimo jer rebe vodii rčun o polinomu u imeniou! A+ Rekli bi d je ovo inegrl ip I = i rdili bi: = = + = Rešimo ov dv inegrl posebno, p ćemo zmenii njihov rešenj = d = = = = + + (+ ) = d ln ln 6 = 6 = = + + = ( + ) = 6 = 6 = 6 : ln = = korisimo = + C + 9 ( + ) + = d 4 + = 6 ln = ln = ln vrimo rešenj: = + = = ln + + ln + C + = ln ( )( + ) + ln + C + ( ) = ln ( ) ( + ) ( + ) ( ) = ln + C ( + ) + C 7

8 Nije bilo lko rešii g, priznćee... Nismo rzmišljli jednu drugu svr: D li je ovj zdk mogo d se urdi ko inegrij rionlne funkije Proverimo d li polinom u imeniou može d se rsvi n činioe... b± b 4, + = 0 = =, = MOŽE! Lkše je rdii ( br nm): + 7 = A = = +.../ i( )( + ) + ( )( + ) = A( + ) + ( ) + 7= A+ A+ + 7 = ( A+ ) + A uporedjujemo A+ = A = 7 A= 9 A= = + 7 = + = ( )( + ) = = ln ln + + C ( )( + ) + = ln ln + + C ( ) = ln + C + Nš sve je dkle d proverie d li je kvdrn jednčin u imeniou rešiv i d ko jese rdie inegrl ko inegriju rionlne funkije. A+ Ako kvdrn nije rešiv, rdie g ko inegrl ip I =. Videli se d su ispl is rešenj. Uoslom, odlučie smi, š vm više odgovr ili kko pk komnduje profesor... 8

9 Sledeći ip inegrl je ( ) m+ n m+ n= Ovi inegrli se smenom: m= d = d m, svedu n inegrl ip I = primer 6. = 4 + Njpre uzimmo smenu = kojom svodimo di inegrl n ip I. = d d d = = = 4 = + 4 = = d ( ) d d d = = = 4+ = = ( ) d d = z d = : ln, = = = korisimo = + ± + C p je 4 ( ) d= dz + z ± = ln z+ z = vrimo smenu= ln C Mormo d vrimo i prvu smenu : C C = ln = ln + ( )

10 Meod neodredjenih koefiijen (meod Osrogrdskog) Ovom meodom se rešvju inegrli ip polinom n-og sepen. P ( ) n gde je u brojiou podinegrlne funkije immo Posupk rd je sledeći: - posvimo jednčinu Pn ( ) Q n ( ) b λ = Ovde je Q ( ) n polinom (n-) vog sepen s neodredjenim koefiijenim. - ovu jednčinu diferenirmo - zim sve pomnožimo s - s obe srne dobijmo polinome red n, p neodredjene koefiijene odredjujemo izjednčvnjem koefiijen uz ise sepene -. Kko je polinom Pn ( ) u zdim njčešće drugog sepen počen jednčin će bii: m + p+ r =(A+) + λ Ali, njbolje d o vidimo n primeru: 0

11 primer 7. + = + + Posvimo jednčinu: = A diferenirmo ( ) λ + = ( A+ )` ( + + )`( A+ ) λ = A ( + + )`( A+ ) = A = A λ (+ ) ( A+ ) ( + ) ( A+ ) ( + ) ( A+ ) ( ) ( ) ( ) λ λ + + λ = A / i = A A+ + λ Sd uporedjujemo koefiijene: + = A A+ + λ ( ) ( ) ( ) A A A A A + = λ + = A + A+ + A+ + λ uporedjujemo ( ) A= A= A+ = A+ + λ= 0 A+ = + = = 0 A+ + λ= λ= 0 λ= Vrimo se u počenu jednčinu: + = ( A+ ) λ = (+ 0) =

12 D rešimo posebno ovj inegrl... + = = = = = = ( + ) + = d + : = ln + ± + ± uporebimo C = ln C= ln C Končno, rešenje će bii: + = = + + ln C primer 8. = Ako se seće, ovj inegrl smo rešvli u fjlu prijln inegrij. Td smo rekli d on može d se rešv n više nčin. Evo kko bi išlo rešvnje meodom Osrogrdskog. Nrvno, ope rionlizijom mlo preprvimo podinegrlnu funkiju... = =

13 Sd je ovo oblik koji nm reb = ( A+ ) + λ diferenirmo = A + λ A A A A A λ ( A+ ) + = A + ( A+ ) +.../ i = ( ) ( + ) + λ = A + A + λ uporedjujemo A= = 0 = 0 A = + λ + λ = Rešvmo ovj sisemčić A= + λ = λ= Vrimo se u posvku = ( A+ ) + λ = + = + rsin + C