Microsoft Word - VALJAK.doc

Транскрипт

1 ALJAK ljk je geometrijsko telo ogrničeno s dv krug u prlelnim rvnim i delom cilindrične površi čije su izvodnice normlne n rvn tih krugov. Os vljk je prv koj prolzi kroz centre z. Nrvno ko i do sd oznke su: - P je površin vljk - je zpremin vljk - B je površin ze - M je površin omotč - je visin vljk - r je poluprečnik osnove ( ze ), ond je r prečnik O O 1 os vljk Početne formule z površinu i zpreminu vljk iste su ko i formule z P i prizme: B+ M i = B 1

2 Pre nego li sklopimo formule z P i pogledjmo mrežu vljk: B= r π M = rπ rπ B= r π Bze su očigledno krugovi čij je površin : B= r π. Omotč je prvougonik čije su strnice visin i oim krug O= rπ, p je površin omotč jednk M = rπ B+ M = B π π π r + r = r rπ ( r+ )

3 Pogledjmo sd kko izgled osni presek vljk: D r osni presek Ovde primenjujemo Pitgorinu teoremu: D = ( r) + Površin osnog presek je = P r op Ako u tekstu zdtk kže d je vljk RANOSTRAN, to znči d mu je osni presek kvdrt i d je = r Npomenimo još d vljk može nstti ortnjem kvdrt ili prvougonik strnice. oko jedne strnice ili simetrle = = / os rotcije(strnic) os rotcije (simetrl strnice)

4 1) Izrčunti zpreminu prvog vljk ko je dt površin visine prem poluprečniku : 7 :. P = πcm i odnos πcm : 7 : =? Kko immo dtu rzmeru, upotreićemo trik s k : 7 : = 7k k Orzc z površinu je: rπ ( r+ ) π = k π (k+ 7 k) = k 9k = 6k k = 9 k = = 7 = 1cm = 6cm = r π = 6 π 1 = 756πcm ) Površin prvog vljk je 8 π cm, visin mu je z 5cm već od prečnik osnove. Izrčunti zpreminu vljk. 8πcm = r+ 5 =? rπ ( r+ ) 8π = rπ ( r+ r+ 5) 8= r(r+ 5) 8= 6r + 10r 6r + 10r 8= 0 r + 5r 5± r1, = r1 = = = r = Nemoguće 6 Dkle cm = r+ 5 = + 5 = 11cm = r π = π 11 = 99πcm

5 ) Od drvenog vljk poluprečnik osnove 9cm, visine = 1cm istesn je njveć moguć prviln trostrn prizm. Kolik je zpremin odpdk? Njveć prizm je on koj je upisn u vljk isine prizme i vljk su jednke Zpreminu odpdk ćemo doiti kd od zpremine vljk oduzmemo zpreminu prizme! 9cm = 1cm = v P Ndjimo njpre strnicu prizme. = r = 9 = = 7 7 o 7 = = 7 = 9 cm = v P = r π = r π = 1 9 π ( ) 9 = 1 81π = 1 π ( π ) ( π ) cm = 81 = 5

6 ) Izrčunti površinu šupljeg vljk čij je visin = 5cm, poluprečnik spoljšnjeg omotč R= 15cm, unutršnjeg je 6cm = 5cm R= 15cm 6cm? Rzmišljmo: Površin šupljeg vljk se sstoji iz omotč većeg vljk, omotč mnjeg vljk i dve ze koje čine kružni prsteni. Dkle: M + M B 1 + M1 Omotč većeg vljk M1= Rπ = 15 π 5= 750πcm M Omotč mnjeg vljk M = rπ = 6 π 5= 00πcm ( ) ( ) B= R r π = 15 6 π = 189πcm 750π + 00π + 189π 18πcm 6

7 5) Kvdrt strnice rotir oko ose koj je od centr kvdrt udljen z p p>. Odrediti zpreminu ortnog tel ko je os prleln strnici kvdrt i leži u njegovoj rvni. Rzmišljmo: N ovj nčin smo ustvri doili šuplji vljk. Poluprečnik osnove većeg vljk je R = p+ Poluprečnik osnove mnjeg vljk je p isine o vljk su iste ko i strnic kvdrt, tj. = Zpreminu šupljeg vljk ćemo doiti kd od zpremine većeg oduzmemo zpreminu mnjeg vljk! = 1 = R π r π = π ( R r ) = π p+ p =π p + p+ = π p = pπ = p π = p π p + p Npomen: Ko i u prethodnom primeru površin šupljeg vljk se sstoji iz omotč većeg vljk, omotč mnjeg vljk i dve ze koje čine kružni prsteni. M + M B 1 + 7

8 6) Osnov prizme je jednkokrki trpez osnovic 8cm i cm. U trpez je upisn vljk. Izrčunti rzmeru zpremine vljk i zpremine prizme ko je njegov visin jednk krku trpez. = 8cm = cm = C : =? P Ako pogledmo zu vidimo d je trpez tngentni četvorougo (može d se upiše krug) p je: Primenom Pitgorine teoreme n trpez: + = c 8+ = c 10= c c= 5cm = 5cm h h h h = c = 5 = 5 9 = 16 h= cm 8 Površin trpez je: + 8+ h= 0cm Površin krug je: r π gde je h = cm πcm : = B : B P P = B : B = 0 : π = 5 : π : = 5 : π P P 8

9 7) Rvn prolzi kroz centr donje osnove kružnog vljk i ngnut je prem rvni osnove pod uglom α. T rvn seče gornju osnovu po tetivi, kojoj odgovr centrlni ugo β. Izrčunti zpreminu vljk. Kod ovog zdtk slik je neophodn i s nje ćemo uočiti zvisnost izmedju element. Pošto se zpremin vljk rčun = r π, nš poso je d r i izrzimo preko dtih element α, β i. Proučimo njpre gornju zu!! Ond je: β sin = r β sin β i tg = x x= tg β Dlje ćemo izvući polovinu osnog presek (onu desnu, nrvno) odvde je tgα tgα = = xtgα = tgα = x β β tg tg Končno, zpremin je: π = r tgα = π β β sin tg tgα = π β β sin tg πtgα = β β 8sin tg 9

10 o 8) Zpremin kosog vljk kod kog izvodnic zklp ugo α = 60 s rvni osnove je = 8π. Odrediti poluprečnik osnove ko se zn d je osni presek rom. =r = 8π? Izvucimo osni presek n strnu =r Odvde je: sin 60 o = o = sin 60 I pošto je = r ond je Upkujemo ovde dve doijene jednkosti: = r = r = r 8π r = π = r π 8 r r r r r = 8 = 8 = 8 = 10