(Microsoft Word - RE\212AVANJE SISTEMA JEDNACINA _metoda det._)

Транскрипт

1 EŠAVANJE SISTEMA JENAČINA ( METOA ETEMINANTI) U prethodni fjlovi so govorili kko se rešvju sistei upotrebo tric. U ovo fjlu ćeo pokušti d v objsnio kko se prienjuju deterinnte n rešvnje siste linernih jednčin. Vžno je npoenuti d ćeo ovde postrti so kvdrtne sistee S n n, to jest sistee koji iju jednk broj nepontih i jednčin. Profesori njčešće dju sistee S 3 3 ili S 4 4, p ćeo nji posvetiti pžnju. Govorili so već d siste ože biti hoogen i nehoogen. Pogledjo njpre nehoogen siste S 3 3 ( tri jednčine, tri neponte): + b+ c= t + b + c= t + b+ c= t 3 Odvde njpre foriro deterinntu siste uijući brojeve ispred nepontih: Zti člnove u enio slobodni člnovi ( s desne strne jednkosti): t b c = t b c t b c Člnove u enio slobodni člnovi: t c = t c t c Člnove u enio slobodni člnovi: b t = b t b t N ovj nčin so dobili četiri deterinnte : t b c t c b t = t b c = t c = b t t b c t c b t U svko dtku n je prvi poso d ndjeo vrednosti ove deterinnte.

2 lje rešenj tržio koristeći Krerovu teoreu: i) Ako je deterinnt siste rličit od nule, ond siste i jedinstveno rešenje koje tržio preko: = ; = ; = ii) Ako je deterinnt siste i = = = siste i beskončno nogo rešenj ( neodredjen je) ili se ože desiti d siste ne rešenj. iii) Ako je deterinnt siste i ( nči, br jedn od ove tri deterinnte d je rličit od nule) siste je neoguć, to jest ne rešenj. Pite, sve ovo vži nehoogen siste. Št ko io hoogen siste? Ako postro hoogen siste : + b+ c= + b + c= + b+ c= Jsno je d on uvek i trivijln rešenj (,, ) = (,,) Kvdrtni hoogen siste i netrivijln rešenj ko i so ko je Znči, d bi nš hoogen siste io netrivijln rešenj, or biti =

3 išljnje sistee S 4 4 ( 4 jednčine, 4 neponte) je potpuno nlogno s ovi, s ti d ns ovde ček nogo veći poso kod nlženj vrednosti deterinnt: Postrjo siste : + b+ c+ dt= u + b + c+ dt= u + b+ c+ dt= u b + c+ dt= u Ovde tržio sledeće deterinnte: d u b c d u c d b u d u d u b c d u c d b u d u = = = = d u b c d u c d b u d u t 3 3 d u b c d u c d b u d u ešenj tržio: t = ; = ; = ; t=, nrvno sve po Krerovoj teorei... Ako je hoogen siste: + b+ c+ dt= + b+ c+ dt= + b+ c+ dt= 3 + b+ c+ dt= njeg isto vži d i netrivijln rešenj ko je. ZAACI. ešiti siste jednčin: ešenje: + 5= = = 8 Nrvno, ovj siste je nogo lkše rešiti Gusovo etodo ili neko drugo, li pošto proučvo deterinnte, ovo priliko ćeo ići teži pute: Irčunvo vrednosti sledećih deterinnti( i ćeo koristiti Srusovo prvilo s dopisivnje prve dve kolone vi ožete i rvijti deterinntu kko v je lkše ) 3

4 = = Pošto je deterinnt siste rličit od nule, odh no d će siste iti jedinstveno rešenje. Ideo dlje: 6 5 = = = 3 = = = = 79 = = = = 5 = Krerov teore n dje sledeće rešenje: 3 3 = = = = = = = = = 5 7 4

5 . U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: + + = + + = + + = ešenje: = + + = = + = ( ) ( ) = ( )( + ) ( ) = ( )( + ) = = + = + ( )( )( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) Ovde nije dovoljno so nći vrednost deterinnte, već to rešenje oro spkovti u proivod. = 3 3 = + + = + + = ( ) + ( ) = + = + = + = + ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) = = + + = + = ( ) 3 3 = ( ) 5

6 = = + + = + = ( ) = ( ) ( + ) 4 4 = ( ) ( + ) Zvršili so tehnički deo posl, nšli rešenj i spkovli ih. Nš svet je d ih sd prepišete, jer sledi diskusij: + ( ) ( ) = + = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( + ) Krer kže d siste i jedinstveno rešenje ko je. U ovo slučju or biti: ( ) ( + ) Ako je siste i jedinstveno rešenje: ( ) ( + ) + + = = = = ( ) ( + ) + + = = ( ) = = ( + ) + + ( ) = = ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = + + Ali ovde poso nije gotov, jer oro ispitti št se dešv ko je =, p ko je =. 6

7 = ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) Po Kreru ovde siste i beskončno nogo rešenj, vrćo se u početni siste i enjujeo =. + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = + + = = + + = Siste je neodredjen rešenj opisujeo s (,, ) = (,, ), Npoen: Neki profesori htevju d se uvede neko novo slovo(slov) kod opisivnj rešenj, recio: ( p, q, p q) p,q Nš svet je ko i uvek isti: rdite kko htev vš profesor ne tlsjte = + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) 9 Ne oro enjti dlje, po Kreru, ovde je siste neoguć. 3. U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: + + = + 4+ = 6 + ( + ) + = ešenje: Njpre uočio d je siste hoogen, to jest d uvek i trivijlno rešenje (,,). 7

8 bi ovj siste io i netrivijln rešenj deterinnt siste or biti bš jednk nul = ( + ) ( + ) 4= = ± 49 ± 7 = = = = 4; = 3, Sd oro ispitti ob rešenj št se dešv. Vrćo ove vrednosti u početni siste : = = = 6 + (4+ ) + = + + = = =.../ : + + = = = II III + = = + + = = ešenj su: (,, ) = (,,) = = = 6 + ( 3+ ) + = + + = = 6 + = 3 III+ I 7+ 3= = = + + = = + = ešenj su: (,, ) = (,, ) 7 7 8

9 4. U visnosti od pretr, diskutovti i rešiti siste: t= t= t = t = ešenje: Osobine deterinnte ( pogledj istoieni fjl i III godine) će n pooći d ovu deterinntu lkše rešio. Neojte juriti i odh pokušti d prvite nule rdeći s vrst, nekd je lkše rditi s kolon + IIkolon+ Ikolon IIkolon IIIkolon+ Ikolon IIIkolon IVkolon+ Ikolon IVkolon vijo po drugoj vrsti: = = = = ( 5) 6( )( 3) 4( ) 9( ) 4( 3) ( 5) ( 4 3) 4 = ( + + ) = = = / : ( 3) 4 + 3= = 3; = 9

10 = t= t= t = t = (,, t, ) = (,,,) = t= t= t = t = (,, t, ) = (,,, ) I d ne bude nekih inendjenj, evo jednog prier i s sisteo dve jednčine, dve neponte. 5. U visnosti od pretr n i, diskutovti i rešiti siste: = + n= n ešenje: = + n= n = n+ n = = n+ n= n n n = = n n n+ n n n = = = n+ n+ n n n+ n+ = = = n= = n= = n = Ako je vrednost bš nul, siste će iti beskončno nogo rešenj, ko je rličito od nule siste je neoguć.

11 = n= Vrtio ove vrednosti u siste: = + n= n = + = Odvde ključujeo d or biti jednk nul, je proivoljn broj. ešenj pisujeo: (, ) = (, )