Microsoft Word - Integrali vi deo

Транскрипт

1 INTEGRALI ZADACI ( VI-DEO) Inegracija nekih iracionalnih funkcija Kad smo radili racionalna funkcije, videli smo da,u principu, možemo odredii inegral svake racionalne funkcije. Zao će nam kod inegrala sa iracionalnom funkcijom prvi poso ii da ga pogodnom smenom ili na neki drugi način svedemo na inegral racionalne funkcije. Proučićemo ri meode za rešavanje: a+ a+ i) Rešavanje inegrala ipa R[,( ),...( ) ] c+ d c+ d m n r s ii) iii) Inegracija diferencijalnog inoma Ojlerove smene Inegrali ipa a+ R[,( ) c+ d m n a+,...( ) c+ d r s ] Ovde ćemo uzimai smenu a+ c+ d = k m r, gde je k najmanji zajednički sadržalac za razlomke,..., n s Primer.? = Ovde imamo samo = pa će nam smena ii =. = = = = = Kao rik dodamo i oduzmemo u rojiocu= = d d d + + d= ( ln ) vraimo smenu d d d d C = = + + = ln + C

2 Primer.? = Sada imamo dva različia korena. i smena je = = = jer je najmanji zajednički sadržalac za i 8 = 5 5 = = d= d= d 5 = d Doili smo inegral racionalne funkcije, šo nam je i io cilj. Ovde je racionalna funkcija neprava, pa najpre moramo podelii polinome da doijemo pravu racionalnu funkciju = ± 8 8 : ( ) = ± ± ± osaak Pa je 8 8 = = ( ) d= ( ) d= ( ln ) + C vraimo smenu = = ( ln ) + C +

3 Inegracija diferencijalnog inoma Pod ovom klasom inegrala podrazumevamo inegrale olika m ( a + n ) p. Podinegralni izraz se naziva diferencijalni inom. Naš poso je da najpre dai inegral spakujemo da ude ovakvog olika a zaim da iz njega pročiamo vrednosi za m,n,p a zaim i za a i. U zavisnosi od vrednosi ovih rojeva razlikujemo ri siuacije: ) Ako je p-ceo roj, onda dizanjem inoma (a+ n ) na p-i sepen, ovaj inegral ude kao inegral racionalne funkcije m+ ) Ako je ceo roj, smena je a+ n = s, gde je s imenilac razlomka p n m+ ) Ako je +p ceo roj, ada je smena a -n + = s, gde je s ope imenilac razlomka p n Posle smene, ovaj inegral se svodi na inegral racionalne funkcije kao šo smo već pomenuli na počeku fajla. Primer. =? Spakujemo podinegralnu funkciju: = = = ( + ) ( + ) m n p Ovaj inegral uporedjujemo sa ( a+ ) m= ; n= ; p= i a= ; = + m+ = = = nije ceo roj! n m+ + p = = 0 ceo roj! n

4 Znači, ovo je reća siuacija. Uzmemo odgovarajuću smenu: n s a + = m= ; n= ; p= i a= ; = a + = + = + = n s je smena E, sad nije lako. Znamo da posle uvodjenja smene novi inegral rea da ude sve po. Smenu diferenciramo ( nadjemo izvod i izrazimo ). Iz smene izražavamo one izraze koje osanu po a moramo da ih preacimo da udu po. Ovde vam je neophodna dora maemaička ehnika od ranije... + = = = = = ( + ) = = d d = d = = d = d d d = = = = ln + C= ln + C Moramo da vraimo smenu = = ln + C= ln + C= ln C= ln + C + Primer. = ( + )? Ope najpre spakujemo podinegralnu funkciju i odredimo vrednisi za m,n,p i za a i.

5 m n p = ( + ) ( a+ ) m= ; n= ; p= ; i a= ; = ( + ) m+ + = = ceo roj n Ovde dakle imamo. siuaciju: n s Smena je : a+ = = = = = = d d ( ) = + d = d d d C 5 5 = = ( ) =( ) + moramo da vraimo smenu... + = = + = Iz, pa je 5 ( ) + C= 5 5 ( ) ( ) =( ) + C 5 d = zamenimo koje smo gore izrazili... Naravno, ako vaš profesor raži napakuje rešenje kakvo on voli... Ojlerove smene Ojlerove smene uporeljavamo za rešavanje inegrala olika R(, a + + c) To znači da se u imeniocu ovog inegrala nalazi a + + c pa plus ili minus neki linearni polinom po. Pazie, inegrale olika ( m+ n) a + + c rešavamo smenom m+ n= i ako izegnemo Ojlera 5

6 Prva Ojlerova smena U inegralu R (, a + + c ) posmaramo a + + c. Ako je a> 0 uvodimo smenu a + + c =± a+. Da li ćemo izarai plus ili minus ispred a zavisi od konkrenog zadaka. Posupak je na dalje isi za oa znaka( recimo da smo uzeli plus): a c a... kvadriramo a + + c= ( a+ ) a + + = c= a a c = ( a ) c c = a = + a + odavde izrazimo Sad diferenciramo, pazimo, na desnoj srani je izvod količnika Inegral se svede na inegraciju racionalne funkcije koja je po. Druga Ojlerova smena Ako je u posmaranom inegralu c> 0, uvodimo smenu a + + c = ± c. Kao i u prehodnom slučaju, zavisno od zadaka, iramo plus ili minus ispred c. Ako recimo izaeremo plus, dalje radimo(i za minus i radili iso): a + + c = + c... kvadriramo a + + c = + + c c + = 0 a c ( ) + ( ) = 0...izvučemo kao zajednički a c a + c = A B= A= B= [ ( ) ( )] = a + c = 0 ( ) ( ) 0 a c ( ) + = 0 a ( ) = c = a c

7 Kao i u prvoj Ojlerovoj smeni je izraženo kao funkcija od, pa će po logici svari i i a + + c akodje ii funkcije od. Diferenciramo, vraimo se u inegral i doijemo inegraciju racionalne funkcije. Treća Ojlerova smena Ova smena se korisi kad je diskriminana za a + + c poziivna, odnosno kad ova kvadrana jednačina ima različia, realna rešenja. Tada je a c a + + = ( )( ). Uvodimo smenu a( )( ) = ( ) ili a( )( ) = ( ). Ope zavisi sve od konkrenog zadaka da li ćemo uzei jednu ili drugu smenu... Ako recimo uzmemo : a( )( ) = ( )... kvadriramo a = ( )( ) ( )... sve preacimo na levu sranu ( )( ) ( ) = 0 a ( )[ a( ) ( ) ] = 0 a( ) ( ) = 0 a a + = 0 a = a ( a ) = a a = a Na dalje iso kao i kod prve i druge smene...doijemo racionalnu funkciju id. Primer 5. =? Najpre proverimo da li kvadrana funkcija pod korenom ima rešenja: ± ± + + = 0 = = nema realna rešenja!, Ovde je a=, c=. Možemo uzei prvu ili drugu Ojlerovu smenu. Recimo uzmemo prvu. 7

8 a + + c =± a+ Kad zamenimo a= doijamo + + =± + Da li da iramo minus ili plus? Kako je u imeniocu podinegralne funkcije + + +, olje je izarai minus jer će posle i -sevi da se poiru: ( ) = + + = + = Ne i ila greška ni da uzmemo plus ali onda komplikujemo siuaciju i sami sei pravimo posao = = ( + ) + + = + = + = ( ) kvadriramo + sve sa preacimo na levu sranu = diferenciramo(izvod) + = ` d pazi, moramo izvod količnika + = = = = + (+ ) ( ) ( ) + + d (+ ) + + (+ ) + + (+ ) ( ) d d d Vraćamo se u inegral: ( + + ) ( + + ) d d (+ ) (+ ) = = = d= (+ ) (+ ) ( ) d 8

9 Doili smo racionalnu funkciju. Posupak njenog rešavanja je dealjno ojašnjen u jednom od prehodnih fajlova sa zadacima iz inegrala. Izvlačimo racionalnu funkciju: + + A B C = / i (+ ) (+ ) + (+ ) A B C + + = ( + ) + ( + ) + A B B C + + = ( + + ) A A A B B C + + = A B A B C A + + = ( + ) + ( + + ) + uporedjujemo : A+ B= A+ B+ C= A= + B= B= B= + C= C= Vraimo se u razlaganje : + + = + + (+ ) + (+ ) Sad inegral od svakog poseno... d + + d= d d (+ ) + (+ ) Ovaj reći ćemo rešii na sranu... + = z dz d z = d= dz = = z dz= = = ( + ) ( + ) z z d= dz 9

10 Sada je: d + + d= d d (+ ) + (+ ) = ln ln + + C (+ ) = ln ln + + C (+ ) Dakle rešenje ovog inegrala po je: + + = d= ln ln C (+ ) (+ ) Moramo da vraimo. Iz + + = + = ln ln + + C = (+ ) C ln ln ( ) (( ) + ) Ako vaš profesor zaheva vi malo ovo prisredie