T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Транскрипт

1 T E O R I J A G R A F O V A Do sd smo koristili grfove z predstvljnje relij. Međutim, teorij grfov je smostlni i vžn deo mtemtike. Grfovi su poseno znimljivi jer pomoću njih možemo modelovti složene proleme veom jednostvno, ko što je postvljnje sorćjni, postvljnje električnih mrež, rčunrskih mrež i sl. Njrzličitije diskretne strukture koje se pojvljuju u rčunrstvu pogodno se opisuju grfovim. Prvi prolem i njegovo rešenje izneseni n nčin koji je drugčiji u odnosu n prethodne i može se smtrti pretečom teorije grfov jeste rd Leonrd Ojler pod nzivom Sedm mostov Kenigserg, ojvljen godine. Frensis Gutri je godine godine je izložio prolem četiri oje, koji postvlj pitnje d li je moguće oojiti zemlje n geogrfskoj krti s smo četiri oje, d se ne pojve dve susedne zemlje oojene istom ojom. Ovj prolem su rešili tek godine Kenet Apel i Volfgng Heken, li se postvljnje ovog prolem smtr rođenjem teorije grfov. Tokom pokušj rešvnj ovog prolem otkrivene su mnoge teoreme i postvljeni mnogi teoretski pojmovi i konepti. Osnovni pojmovi Grf je pstrktni mtemtički ojekt. Neformlno govoreći, grfovi su sstvljeni od tčk, odnosno čvorov (vrhov) i linij među njim, odnosno grn. d Skup čvorov uuduće ćemo oeležvti s V, skup grn s E. 1

2 Grf je zdt ko su poznt dv skup, skup čvorov V i skup grn E. Definiij: Grf G V, E V E 2. je uređeni pr koji se sstoji od skup čvorov V i skup grn Primer Čvorovi mogu iti grdovi, grne putevi između njih. Čvorovi mogu iti rčunri, nčini komunikij između njih grne. ) Dt je skup V, i E,. ) Dt je skup V,, i E,,,. ) Dt je skup V,,, d i E,,,,, d,, d. d Grfovi su relione strukture. Međutim jednostvnije ih je predstviti rtežim. Grf s slike može d se npiže ko relij: 2

3 ,,,,,,,,, G d d. Dve grne su susedne ko imju isti čvor. Čvorovi jedne grne nzivju se krjevi. Grn koj spj čvor s smim soom nziv se petljom. Grf koji nem nijednu petlju nzivju se prostim grfom. G V, E je uređem skup prov čvorov i grn gde je Neorijentisni grf V E V. Znči on može imti i petlje. 2 Npomen: Prost grf je ustvri neprijentisni put ez petlji. Orijentisni grf ili digrf G V, E E V V. Znči on im orijentiju, grn v,. je uređem skup prov čvorov i grn gde je Digrf koji sdrži skup V,, i skup E,,,,,,, im početni čvor u i krjnji u Digrf koji sdrži skup V,,, d i skup E,,,,,,, d, d,,, d, d,. 3

4 Multigrf je grf kod kog između dv čvor i postoji više od jedne grne, koje polze iz, i zvršvju u. Kompletn ili potpun grf je onj grf kod kog su svk dv čvor povezn grnom. Put je niz grn koje su međusono povezne. Elementrni put je put koji kroz svki čvor grf prolzi njviše jednput. Ciklus je grf koji se doij od put, dodvnjem grne koj spj krjeve put. Ciklus se često nziv i konturom. Przn grf je grf s čvorovim koji ne sdrži ni jednu grnu. Stepen grf je roj grn grf koji imju krj u jednom čvoru. Čvor stepen 1 nziv se izolovni čvor ili list. Primer 4

5 U grfu n slii čvorovi i su susedni, ko i grne, d i. Čvorovi i f nisu susedni, ko ni grne i f. Čvorovi,, d su stepen 2, čvorovi i f stepen 3. Grf je regulrn ko su svi čvorovi istog stepen. Primer. Regulrn grf (svi čvorovi su stepen 2). Teorem: Sum stepen u svih čvorov, u neorijentisnom grfu, uvek je prn roj. Dokz: Ako su d1, d2,, dn stepeni čvorov x1, x2,, xn u grfu koj im n grn. Ako seremo sve stepene čvorov doijmo dvostruki roj grn., jer svk grn im ko krjnje tčke 2 čvor. Dkle d1 d2 d 2m. n Teorem 2: Broj čvorov neprnog stepen u proizvoljnom grfu ez petlji, je prn. 5

6 Poslednj teorem zove se u literturi i Lem o rukovnju. U svkom društvu roj oso koje su se rukovle neprn roj put je prn. Ovde roj oso koje su se rukovle predstvljju čvorove grf. Grf koji im končn roj čvorov se zove končn grf. Anlogno, grf s eskončnim rojem čvorov se zove eskončn grf. Grf G'=(V',E') je podgrf grf G=(V, E) ko je skup njegovih čvorov (V') podskup skup čvorov grf G (V), skup njegovih grn (E') je podskup skup grn G (E). 6