(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Транскрипт

1 VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( I EO) vostruki integrli-odredjivnje grnic integrcije Prv stvr s kojom se susrećemo kod dvojnih integrl je odredjivnje grnice integrcije. Z skoro svki zdtk mormo crtti sliku p je njbolje d se njpre podsetite kko izgledju grfici osnovnih funkcij. ( imte fjl n sjtu) Immo dv osnovn tip područj integrcij: ) Ako je područje integrcije omedjeno s leve i desne strne prvm = i = b ( recimo < b) s donje i gornje strne neprekidnim funkcijm ( ) i ( ) gde je ( ) ( ), ond immo: b ( ) ( ) p je: z (, ) dd= b d ( ) ( ) z(, ) d Pogledjmo sliku: ( ) ( ) ( ) ( ) b b Ovo je češć situcij, kd rešvmo njpre integrl po d, gde ćemo tretirti ko konstntu, ztim rešvmo običn integrl po - su.

2 ) U ovoj drugoj situciji, područje integrcije je omedjeno odozdo i odozgo s prvm = c i = d, gde je c<d, s leve i desne strne su funkcije izržene preko - s : ( ) i ( ) gde je ( ) ( ). Pogledjmo sliku: d c d ( ) ( ) c ( ) ( ) Znči: Ako je oblst odreñen nejednkostim: ( ) ( ) c d ond je : z (, ) dd= d c d ( ) ( ) z(, ) d Ovde se prvo rdi integrl po d ztim integrl po d. Koji ćete tip koristiti zvisi od konkretne situcije. Ncrtte sliku, ndjete preseke p krenete u rd...

3 Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je oblst trougo s temenim O(,); A(,) i B (,) Njpre ćemo ncrtti sliku: = B(,) O(,) A(,) Prvu kroz tčke O i B smo nšli ko jednčinu prve kroz dve dte tčke ( ko neznmo npmet d je odredimo) : = ( ) P immo: = ( ) = Ajmo d odrdimo grnice z prvi poredk, pogledjmo sliku: = ide = je - os gledmo odozdo ngore

4 Z grnice po su gledmo s lev udesno. Prvo nilzimo n nulu, p n. kle :. Kd gledmo po, njpre nilzimo n osu, znmo d je to =. S gornje strne je prv =, p je Oblst je: Ovde bi zdti integrl rešvli po grnicm : b ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) Z drugi poredk integrcije immo: gledmo s lev n desno ide od = = Sd ide od do gledjući odozdo ngore, p je. Z grnice gledmo s lev udesno. Njpre nilzimo n prvu = ztim n prvu =, p je Oblst je sd: Zdni integrl bi rešvli po grnicm: d ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d c ( ) Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je oblst prlelogrm s temenim A(,); B(,); C(,7) i (,5) Crtmo sliku:

5 7 C(,7) 6 5 (,5) B(,) A(,) Trebju nm jednčine prvih kroz AB i kroz C. Koristimo ko mlopre = ( ) i dobijmo d je: AB: = C: = + Sd možemo rzmišljti o prvom poretku integrcije: 7 6 C(,7) =+ 5 (,5) A(,) B(,) = ide od do + ide od do Oblst je + integrl bi rešvli ko: b ( ) + z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) I ovo bi bio lkši nčin z rešvnje 5

6 Z drugi poredk integrcije bi situcij bil mlo tež. Nrvno, njpre ćemo jednčine prvih AB i C izrziti preko -s. AB: = = C: = + = Pogledjmo sd slike: ide od do (,5) C(,7) B(,) = ide od do (,5) C(,7) B(,) ide od 5 do C(,7) = = (,5) B(,) A(,) A(,) A(,) ide od do / ide od do slik. slik. slik. Morli bi oblst integrcije d podelimo n tri del: : Zdti integrl bi rešvli: 5 : 5 7 : d ( ) 5 7 z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d+ d z(, ) d+ d z(, ) d c ( ) 5 6

7 Primer. Odrediti grnice integrcije dvojnog integrl z(, ) dd z ob moguć poretk integrcije ko je Oblst ogrničen linijm = i = Kriv = jeste kružnic li je prvo mormo srediti... =... / () = ( ) + = + = + + = odmh ndjemo i preseke...njih uvek dobijmo rešvjući sistem jednčin: = = =...() = = ( ) = = = = = = = Crtmo sliku: = ( ) + = 7

8 Prvi poredk integrcije će biti: = = po ide od do : integrl bi rešvli: b ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d ( ) Z drugi poredk integrcije, ko i u prethodnim primerim, immo mlo više posl... izrzimo njpre iz = : = = + = Ovo sd rešvmo ko kvdrtnu jednčinu: + =,, b± b c ± 6 ± = = = = ± nm treb = Sd slik: ide od do po = = : integrl je : d ( ) z(, ) dd= d z(, ) d= d z(, ) d c ( ) 8

9 Primer. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d Iz dtog integrl d z(, ) d odmh vidimo d se rdi o drugom tipu z poredk integrcije i d je: : Iz = = iz = = Slik: = = ide od do Odlst je sd : integrl : d z(, ) d= d z(, ) d Primer 5. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d Sredimo kružnicu i ncrtmo sliku: 9

10 =...() = ( ) + = + + = + = Slik: ide od do = ( ) + = ceo krug = ide od krug do prve = Iz kružnice sd mormo izrziti : =...() = + = b± b c ± ±, = = = = ± = Mormo oblst podeliti n dv del: ide od - do - ide od = do = i idu od do oblst oblst

11 P bi integrl rešvli: d z(, ) d= d z(, ) d+ d z(, ) d Primer 6. Promeniti poredk integrcije u integrlu: d z(, ) d, > Ncrtjmo njpre sliku ( nrvno, prvo sredite jednčine kružnice i prbole): =+ = =+ = = Ofrbn oblst je nš oblst integrcije bi promenili poredk integrcije mormo uočiti tri oblsti: = = + po = po = ide od do ide od do : : +

12 Treći deo bi bio: ide od do po = = : Sd bi smo ovo zpisli Primer 7. U dvojnom integrlu z(, ) dd preći n polrne koordinte ko je oblst krug + se podsetimo njpre kko se prelzi n polrne koordinte ( J je jkobijn): = r cosϕ = r sin ϕ ond je : J = r z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = dϕ z( r cosϕ, r sinϕ) rdr ` ϕ ϕ r Ncrtjmo sliku i predjimo n polrne koordinte:

13 - - = r cosϕ J = r = r sinϕ Ovo zmenimo u + ( možete pisti i = umesto, nrvno ko dje profesor vš...) + = ( r cos ϕ) + ( r sin ϕ) = r = r= r (cos ϕ+ sin ϕ) = znmo d je cos ϕ+ sin ϕ = kle r ide od d. Pošto nm ovde treb ceo krug, jsno je d ϕ π Immo dkle d je `= r ϕ π p je : z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = Primer 8. ` π dϕ z( r cos ϕ, r sin ϕ) rdr U dvojnom integrlu z(, ) dd preći n polrne koordinte ko je oblst krug + spkujemo kružnicu njpre, p ćemo ncrtti sliku: + = + = + + = ( ) + =

14 / π / π -/ = r cosϕ J = r = r sinϕ + = ( cos ) ( sin ) cos r ϕ + r ϕ = r ϕ r (cos ϕ+ sin ϕ) = r cosϕ r = r cosϕ r= kle: r cosϕ cosϕ Mormo pziti što se tiče ugl, jer sd nm ne treb ceo krug već ( pogledj sliku): π π ϕ r cosϕ kle immo: `= π π ϕ p je: z (, ) dd = z( r cosϕ, r sinϕ) J drdϕ = ` π π cosϕ dϕ z( r cos ϕ, r sin ϕ) rdr