Microsoft Word - predavanje8

Транскрипт

1 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija). promatramo situaciju kada je. Po definiciji derivacije dobiva se.. Ova se formula naziva pravilo o ulančanom deriviranju. Pri tome, funkcija ima derivaciju u točki ako funkcija ima derivaciju u točki, a funkcija ima derivaciju u točki. Na primjer, koristeći pravilo o ulančanom deriviranju, derivirat ćemo funkciju sin 2. Imamo cos2 2 2cos2. Primijetimo da smo funkciju mogli zapisati i kao 2sincos pa zatim nju derivirati koristeći pravilo deriviranja umnoška funkcija. DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE Vrijedi sljedeći teorem. Teorem. Neka je strogo monotona i neprekidna funkcija na intervalu, i neka je,. Neka ima u točki derivaciju za koju vrijedi 0. Tada inverzna funkcija ima derivaciju u točki. Izvedimo formulu za derivaciju inverzne funkcije. Vrijedi. Iz toga, koristeći pravilo o ulančanom deriviranju, dobivamo.. Na primjer, nađimo derivaciju funkcije inverzne funkciji sin. U intervalu, funkcija sinus ispunjava uvjete za postojanje derivacije inverzne funkcije. Funkcija inverzna zadanoj je arcsin. Prema gornjoj formuli, imamo arcsin.

2 arcsin, gdje je. DERIVACIJA IMPLICITNO ZADANE FUNKCIJE Jednadžba krivulje u ravnini može biti u jednom od sljedećih oblika: eksplicitnom, implictnom, 0, parametarskom,, gdje je. Kod implicitno zadane funkcije jedne varijable, oblika, 0, podrazumijevamo da je funkcija od. Kod deriviranja ovako zadane funkcije ponekad možemo jednadžbu kojom je funkcija zadana riješiti po varijabli pa funkciju derivirati kao eksplicitno zadanu funkciju. No, ne može se uvijek jednadžba riješiti po varijabli. Tada deriviramo obje strane jednadžbe po, pri čemu vodimo računa o tome da je funkcija od. Nako toga, rješavamo dobivenu jednadžbu po. Na primjer, derivirajmo funkciju ln. Imamo 2 ln 0, iz čega slijedi. Primijetimo da ovisi i o varijabli i o varijabli. Ovdje, na primjer, smatramo složenom funkcijom, jer uzimamo da je funkcija od. Deriviranjem dobivamo 2. PRAVILA I TABLICA DERIVACIJA Pravila deriviranja i derivacije važnijih elementarnih i transcendentnih realnih funkcija realne varijable zapisat ćemo na jednom mjestu. PRAVILA DERIVIRANJA Neka su i derivabilne funkcije. Vrijedi:., 2.,, 3., 4., 5., 2

3 6.. TABLICA DERIVACIJA U tablici ćemo navesti funkcije i njihove derivacije, ali ne i uvjete uz koje one imaju smisla. Uvjeti su navedeni ranije u tekstu. 0 ln log sin ln ln cos cos sin tg cos ctg sin arcsin arccos arctg arcctg DERIVACIJE VIŠEG REDA Derivaciju prve derivacije funkcije nazivamo drugom derivacijom te funkcije.. 3

4 Derivacije višeg reda dobivamo induktivno. Tako je, a derivacija -tog reda, gdje je. Dogovorno uzimamo da je, odnosno derivacija nultog reda je sama funkcija. Na primjer, odredimo prvu, drugu, treću i četvrtu derivaciju funkcije ln. Imamo,,,. LOGARITAMSKA DERIVACIJA Postoje neke funkcije koje se lakše deriviraju ako ih prije deriviranja logaritmiramo. U nekim, pak, specifičnim slučajevima direktnim putem (pomoću pravila i tablice derivacija) ne možemo odrediti derivaciju pa također primjenjujemo postupak logaritmiranja. Postupak logaritamskog deriviranja sastoji se u tome da najprije logaritmiramo obje strane jednadžbe da dobijemo ln ln. Izraz sređujemo korištenjem svojstava logaritamske funkcije. Zatim, deriviramo dobivenu implicitnu funkciju po varijabli. Rješavamo jednadžbu po i zamijenimo izrazom. Na primjer, derivirajmo funkciju. Najprije logaritmiramo obje strane jednadžbe i dobivamo ln ln. Iz toga slijedi ln ln. Deriviramo li tu jednakost po, dobivamo 2ln. Sada je 2 ln. DIFERENCIJAL FUNKCIJE U nekim primjenama potrebno je procijeniti promjenu vrijednosti funkcije kada se varijabla promijeni za vrlo malu vrijednost. Neka je derivabilna funkcija na intervalu,. Rekli smo da se razlika naziva prirast funkcije za prirast varijable. Prirast funkcije proporcionalan je prirastu varijable. Faktor proporcionalnosti između i je brzina kojom se mijenja s obzirom na, a to je zapravo derivacija funkcije. 4

5 , () gdje oznaka znači približno jednako. Ovu formulu možemo dobiti iz definicije derivacije funkcije. Uzmemo li da je vrlo mala vrijednost, imamo odnosno., Formulu () koristimo za aproksimaciju prirasta funkcije. Izraz na desnoj strani formule () nazivamo diferencijal od i označavamo ga s. Kako je, imamo. (2) Kako promatramo funkciju, iz jednakosti (2) proizlazi simbol (odnosno ) kojim označavamo derivaciju. za male priraste varijable vrijedi. (3) Formule (2) i (3) znače da u dovoljno maloj okolini točke graf funkcije možemo dobro aproksimirati tangentom na graf te funkcije u točki. Pojasnimo geometrijsko značenje diferencijala. Prisjetimo se da je koeficijent smjera tangente na graf funkcije u točki,. f(x+ x) f(x) f(x) X x+ x 5

6 Ako je kut koji ta tangenta zatvara s pozitivnim dijelom osi, tada je tg. Odavde je tg. Kažemo da je diferencijal funkcije u točki jednak prirastu ordinate točke, na tangenti krivulje kada argument dobije prirast. Jedna od važnih primjena diferencijala je približno računanje. Na primjer, uzmimo da je cijena proizvodnje tona određene robe dana funkcijom Ako se trenutno proizvodi 00 robe, koliko će se promijeniti cijena proizvodnje ako se proizvodnja povisi na 00.5? Imamo 00, a Sada je Točna vrijednost porasta cijene proizvodnje iznosi aproksimacija je vrlo blizu stvarnoj vrijednosti. Greška je približno 0.25%. Svojstva diferencijala slična su pravilima deriviranja (iz popisa pravila deriviranja.- 4.) Diferencijale višeg reda definiramo analogno kao i derivacije višeg reda. Neka je dva puta derivabilna funkcija. Diferencijal drugog reda (drugi diferencijal) funkcije je diferencijal njezinog diferencijala, odnosno. Primijetimo da se ovdje prilikom deriviranja tretira kao konstanta. 6