INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

Транскрипт

1 INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku u kojm s minimum dostiž, pod uslovima + + 3, + 3 8, + 5,,, 3. ( z + i 3. Ršiti po npoznatoj z C (gd j z = + iy,, y R jdnačinu z + 5 = R + i (a Izračunati I = d. + i Im (iz. (b Izračunati dužinu luka paramtarski zadan kriv (t = 6 t6, y (t = 4 t4 za t [, 4 8 ]. 5. Ispitati funkciju f ( = ln, bz izračunavanja drugog izvoda i bz ispitivanja konvksnosti i ln + konkavnosti. 6. (a Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y y = + y. (b Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y 5y + 6y = ( + 3. INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku u kojm s minimum dostiž, pod uslovima + + 3, + 3 8, + 5,,, 3. ( z + i 3. Ršiti po npoznatoj z C (gd j z = + iy,, y R jdnačinu z + 5 = R + i (a Izračunati I = d. + i Im (iz. (b Izračunati dužinu luka paramtarski zadan kriv (t = 6 t6, y (t = 4 t4 za t [, 4 8 ]. 5. Ispitati funkciju f ( = ln, bz izračunavanja drugog izvoda i bz ispitivanja konvksnosti i ln + konkavnosti. 6. (a Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y y = + y. (b Naći opšt ršnj difrncijaln jdnačin y 5y + 6y = ( + 3.

2 REŠENJA:. b + by = a (b a = a ; (, b za b i b a sistm j odrdn, i R S = {( a b za a = b = sistm j kontradiktoran; 3 za b = i a imamo 4 za b = a imamo a = a = a a + ay = = a 4. za b = a {, } j sistm kontradiktoran; a a b a = = a } ; t imamo podslučajv t j sitm kontradiktoran; 4. za b = a = j sistm + y = jdan puta nodrdn i R S = {(α, α α R}.. Nalazimo maksimum funkcij f(,, 3 = = = = 5 (/ = 8 5 (5/ = (8/ = 8 5 (5/ = 5 5 (5/ = 5 3 (3/ = (/ = 3 5 (5/ = Dakl, minimum funkcij f j 3, i dostiž s u tački (, 3, Uvodnjm smn z = + iy (, y R dobijamo ( iy + i + iy + 5 = R i + i Im (i( + iy + i i ( y + + i( y iy = R + i Im ( y + i iy = y + + i iy = y + + i y i(y = (y + 4 = y = = y = 4. Dakl, jdnačina ima jdinstvno ršnj z = 4 4i (a I = d =...,

3 Kako j polinom u brojiocu vćg stpna od onog u imniocu, najpr ih dlimo: ( : ( = + 3 ( ( ( odakl sldi ( I = = d = d =... Rastavljamo polinom p ( = na nsvodljiv činioc. Kandidati za racionaln korn polinoma p su ±, ±. Njihovom provrom dobijamo 4 p ( = ( + ( ( +, pri čmu j + nsvodljiv polinom nad poljm ralnih brojva R jr njgovi korni, = ± 8 = ± nisu ralni brojvi, tako da j ( + ( ( + faktorizacija polinoma p ( = nad R. Sldi I = d = = ( A B + C + D d = + = ( A( + + B(+ ( + + (C+D(+( d = = ( A B ( C ( 3 + D ( d = = (A+B +C 3 + ( A+D + (3A+B C + ( A+B D d, zatim izjdnačavanjm odgovarajućih koficijnata polinoma i (A + B + C 3 + ( A + D + (3A + B C + ( A + B D u imniocima dobijamo A + B + C = 5 A + D = 3A + B C = A + B D = 3 A + B + C = 5 A + D = 4A + B = 6 4B = 4 t j dalj B = A = D = 3 C = 4

4 I = ( d = = 3 3 d d d =... U prva dva intgrala uvodimo rdom smn + = t, d = dt i = z, d = dz I = dt dz t z d = = ln t ln z + + d = = ln (+ ln ( + + d d + =... U prvi intgral uvodimo smnu + = t, ( d = dt, a u trugom polinom + pišmo u obliku ( + α + β: + = ( + α + β = + α + α + β ( α = α + β = ( α = β = 4, t dobijamo I = ln ( + ln ( + dt t d ( + 4 =... U posldnjm intgralu, radi svodnja na tablični intgral????, uvodimo smnu = z, d = dz: I = 3 3 d ln ( + ln ( + ln t ( = z + I = ln ( + ln ( + ln ( + arctg z + c = = ln (b t (t = t 5 i y (t = t 3, t j l = 4 8 (t 5 + ( t 3 dt = ( ( + ln ( ln ( t + t 6 dt = 4 8 arctg + c. t 3 t 4 + dt =... smnom t 4 + = z, t 3 dt = 4 dz, uz promnu granica t = z = 4 + = i t = 4 8 z = ( = 9: l = zdz = z dz = z 3 9 = (9 3 = = (a Domn funkcij: D f = { R > ln + } = { R > ln } = = { R > = } = (, (,. (b Nul funkcij: f ( = = D f ln = ln = = ; dakl, ova funkcija ima jdnu nulu u tački =. (c Znak funkcij: za D f j ln > ln > >, ln + > ln > >, ln + + ln + + f ( + +

5 dakl, funkcija f j pozitivna na skupu (, (,, a ngativna na intrvalu (,. (d Monotonost funkcij: f ( = ln ln + + (ln + (ln (ln + = = ln ln + + (ln + = ln + (ln + ; kako j ln > i (ln + za sv D f, sldi da j f ( > za sv D f, t j funkcija f monotono rastuća na clom svom domnu. (f Vrtikaln asimptot funkcij: vrtikaln asimptot tražimo u tačkama i ; ln kako j lim + ln + vrtikalnu asimptotu; kako j lim f ( = [ ] = lim + kako j lim f ( = + [ ] - Primnom Lopitalovog pravila. =, sldi da j lim f ( = =, t funkcija f u tački nma + ( + =, funkcija f u tački (g Horizontalna / kosa asimptota funkcij: ln [ ] kako j lim = lim ln + stran nma horizontalnu asimptotu; ima vrtikalnu asimptotu s lv stran; =, funkcija f u tački ( + + ima vrtikalnu asimptotu i s dsn stran. =, sldi da j lim f ( = =, t funkcija f (sa dsn f ( ln kako j s jdn stran lim = lim =, funkcija f sa dsn stran mož da ima kosu ln + asimptotu y = + n; mdutim, s drug stran j ( lim (f ( = lim ln ( ln ln + = lim ln + (ln + [ ] = lim ln = lim = lim ln + ln + = lim =, što znači da funkcija f nma ni kosu asimptotu. [ ] - Primnom Lopitalovog pravila. (h Grafik funkcij: (a y y = + y / : y y = + ( y, smnom y = t, y = t, y = t + t, t + t t = + t t = + t dt = dt + t = ln t + + t + t = ln + c t + + t = c y + + ( y = c y + + y = c. (b Karaktristična jdnačina i njni korni: k(r = r 5r + 6 =. Karaktristični korni: r =, r = 3. Fundamntalna ršnja: y ( =, y ( = 3.

6 Opšt ršnj homognog dla: y h ( = c + c 3. Tražimo partikularno ršnj y p : y p 5y p + 6y p = ( + 3 = (( + 3 cos( + sin(, gd + i nij karaktristični korn, t j y p = ((A + B + C cos( + (D + E + F sin( = (A + B + C, y p = (A + B + C + (A + B = (A + (A + B + (B + C, y p = (A + (A + B + (B + C + (A + (A + B = (A + (4A + B + (A + B + C, p 5y p + 6y p = ( + 3 (A + (4A + B + (A + B + C 5 (A + (A + B + (B + C + 6 (A + B + C = ( + 3 A + (4A + B + (A + B + C 5(A + (A + B + (B + C + 6(A + B + C = + 3 A + ( 6A + B + (A 3B + C = + 3, y A = 6A + B = A 3B + C = 3 A = B = 3 C = 3 4 Partikularno ršnj: y p = ( Opšt ršnj: y( = y h ( + y p = c + c 3 + (