(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Транскрипт

1 VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( III EO) Izčunvnje povšine u vni pimenom dvostukog integl Povšin olsti u vni O može se nći po fomuli: P = dd Pime. Izčunj povšinu ogničenu sledećim linijm: =, =, i =. Njpe ćemo, ko i uvek, nctti sliku i odediti gnice po kojim dimo... Olst integcije je osenčen n slici : Upoteom goe nvedene fomule, čunmo povšinu osenčenog del: ( ) P= dd = d d= d= d= d= 6 = d= = 8 = =

2 Pime. Izčunj povšinu ogničenu s + = Nvno, ovde je u pitnju elips. Mi te d izčunmo povšinu unut nje Ovde je zgodno uzeti tkozvne eliptičke koodinte: = cosϕ = sin ϕ ond je: J = ϕ z (, ) dd = dϕ z( cosϕ, sinϕ) d ϕ vidimo zšto su ove smene doe: + = ( cos ϕ) ( sin ϕ) + = cos ϕ + sin cos ϕ+ sin ϕ = (cos ϕ+ sin ϕ) = = = ϕ = oijmo d je, pošto ugo uzim ceo kug, to je ϕ π.

3 Olst : ϕ π Sd ešvmo dvojni integl : π π π P= dd= dϕ d= dϕ= dϕ= π = π Povšin elipse se dkle čun po fomuli P = π Pime. Izčunj povšinu ogničenu sledećim linijm: + =, = i = Spkujmo kužnicu i nctjmo sliku d vidimo o kojoj se olsti di... + = + + = ( ) + = Peseci su očigledno u = i = = ( ) + = π ϕ Uvodimo polne koodinte: = cosϕ = sinϕ J =

4 + = ϕ ϕ ϕ ( cos ) + ( sin ) cos = (cos ϕ+ sin ϕ) = cos ϕ = cosϕ = cosϕ Odvde zključujemo: cosϕ π Ugo ide od pve = do =, p ugo ide od ϕ Sd možemo čunti tženu povšinu: π π π π cosϕ cosϕ cos ϕ P= dd= dϕ d= dϕ = dϕ= = cos ϕdϕ Mlo se pomognemo tigonometijskim fomulm: + cos ϕ cos ϕ = P= dd= d = π π π + cos ϕ cos ϕ ϕ ϕ ( cos ) π π π π = ϕ+ sin ϕ = + sin + sin = + d = + ϕ dϕ = o sd smo upoteljvli polne i cilindične koodinte. Medjutim u oziljnijim zdcim momo upoteljvti tkozvne genelisne polne koodinte i ϕ po fomulm: α = cos ϕ J α = = sin ϕ α α α cos ϕ sin ϕ Vednost z α se uzim u zvisnosti od konketne situcije... Gledmo d kod te dte kive pogodnom vednošću z α n levoj stni ostne smo.to je idej.

5 Pime. Izčunti povšinu ogničenu s h k + = + ko su pmeti,, h i k pozitivni. Njpe ćemo mlo d pepkujemo zdtu kivu... + = + h k h k + = dopunimo do punih kvdt = h h h k k k + = + h k h k + = + h k h k Sd zmišljmo. Zgodno i ilo d uništimo ovo u zgdm. Zto ćemo uzeti d je : = cosϕ = cosϕ+ = cosϕ+ h h h = sinϕ = sinϕ+ = sinϕ+ k k k kle, uzimmo d je: = cosϕ+ h J = = sinϕ+ k Sd d odedimo gnice. 5

6 + = + h k h k ovo sve dje je smo tko izli = + h k = + = + h k h k oili smo gnice z : + h k Ugo nem nikkvih ogničenj, p je ϕ π Sd čunmo tženu povšinu: + + π h k π h k P= dd= dϕ d= dϕ d Kko se u integlu po uopšte i ne nlzi ugo ϕ odmh možemo npisti d je π dϕ = π, lje immo: π + + h k h k P= dd= dϕ d= π d= + π = π h k = π + = π + = + h k h k h k 6

7 Pime 5. Izčunti povšinu ogničenu s : + = + = = 8 = >, > Upoteićemo genelisne polne koodinte : to: α = cos ϕ J cos sin α = = sin ϕ α α α ϕ ϕ i cos ϕ = J cos sin J cos sin = = = sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ vidimo sd gnice i zšto smo š izli d je α =. ϕ = cos = sin ϕ zmenimo u + = i doijmo: cos ϕ sin ϕ + = cos ϕ+ sin ϕ= = = lje = cos ϕ = sin ϕ zmenimo u + = i doijmo: 7

8 cos ϕ sin ϕ + = cos ϕ+ sin ϕ = = = 8 oili smo gnice z : 8 Sd d odedimo gnice z ugo: = cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ = sin ϕ = tg ϕ= ϕ = ctg cos ϕ I još immo: 8 = cos ϕ sin ϕ 8 = sin ϕ 8cos ϕ= sin ϕ = 8 tg ϕ = ϕ = ctg cos ϕ kle : ctg ϕ ctg Sd čunmo tženu povšinu: ctg 8 ctg 8 P= dd= dϕ cos ϕ sin ϕd= cos ϕ sin ϕdϕ d= Kko je ctg ctg d= = =, immo ctg 6 cos sin = ϕ ϕdϕ ctg 8

9 Ovj integl ćemo njlkše ešiti ko spkujemo podinteglnu funkciju koisteći fomule iz tigonometije: sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ sin ϕ = = sin ϕ = = ( cos ϕ) 8 Sd immo: ctg ctg 6 89 P= cos ϕ sin ϕdϕ ( cos ϕ) dϕ = 6 ctg ctg Zmenimo gnice, spkujemo mlo ešenje i doijmo: 89 6 P= ( ctg + ) 6 5 Pime 6. Izčunti povšinu ogničenu s : = = = c = d ( < < ) ( < c< d) Ovde je zgodno uzeti smene u i v. Ali kko iti? Pogledjmo pve dve jednčine: = = = = Uzećemo d je u= 9

10 Iz peostle dve immo: = c = c = d = d Zgodno je uzeti: v= kle, uvodimo smene: u= v= Odvde momo izziti i : u= = ( ovo zmenimo u dugu jednčinu) u u v= = v = v = v = u u v u v u = = = u u v Tžimo Jkoijn: u u u u u u (, ) u u u v v v (, ) u v v v = = = + = = u v v v v v

11 odedimo gnice: u = = u u= = v v = c = = = d c v d Sd možemo izčunti povšinu: d d u v v c c P= dd= du dv= u du dv Ov dv integl nije teško ešiti i doijmo: 5 5 P= ( ) 5 c d