Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Транскрипт

1 Ortogonlni, Hermiteovi i Jcobijevi polinomi Sfet Penjić inforrt@gmil.com Nučno-istrživčki rd* koji je rzvijen ko prcijlno ispunjenje obvez prem izbornom predmetu Specijlne funkcije s postdiplomskog studij Odsjek z mtemtiku Univerzitet u Srjevu Ndgledno od: Prof. dr sc Mirjn Mlenic Prirodno-mtemtički fkultet Univerzitet u Srjevu (Dtum: 14 novembr 2012.) *Ovo je rd u rzvoju. Moguć je pojv štmprskih grešk. 1

2 (ov strnic je ostvljen przn) 2

3 Sdržj Sdržj 3 I Ortogonlni polinomi 1. Težinsk funkcij 5 2. Grm-Schmidt-ov proces ortonormlizcije Ortogonlni polinomi koji odgovrju proizvoljnoj težinskoj funkciji Rzvijnje proizvoljne funkcije u red Povrtn (rekurentn) formul Christoffel-Drboux-ov identitet Simetrij Nule Osobine njmnjeg-kvdrt Diferencijln jednčin 26 II Hermiteovi polinomi 11. Definicij pomoću izvod Ortogonlnost i fktor ortonormlizcije Hermiteovi i Grm-Chrlier-ovi redovi Povrtn (rekurentn) formul; Diferencijln jednčin Funkcij generirnj (genertris) Tlsn jednčin linernog osciltor 40 III Jcobijevi polinomi 17. Definicij pomoću izvod Ortogonlnost Vodeći koeficijenti Fktor normlizcije. Red Jcobi-jevih polinom Povrtn (rekurentn) formul Diferencijln jednčin 52 Litertur 53 3

4 (ov strnic je ostvljen przn) 4

5 1. Težinsk funkcij I Ortogonlni polinomi Posmtrjmo polinome H n (x) = () n e x2 dn dx n e x2 z n = 0, 1, 2,... i pokžimo d je ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = 0 z n m. Bez gubitk opštosti izrčunćemo integrl z m > n. Immo ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = () m+n Ako primjenimo prcijlnu integrciju, s smjenm dobićemo () m+n ˆ Sd primjetimo d je p immo u = e x2 du = d ( e x2, dx e x2 H n (x)h m (x)dx = e x2 dn dx n e x2 ˆ e x2 dn d m dx n e x2 dx m e x2, dv = dm d n ) dx n e x2 dx dx m e x2 dn d m dx n e x2 e x2 dxm dx, v = dm e x2 dxm ˆ d dx e x2 = e x2 ( 2x), d 2 dx 2 e x2 = e x2 ( 2x)( 2x) + e x2 ( 2) = e x2 (( 2x) 2 2), d 3 dx 3 e x2 ( d dx = e x2 ( 2x)(4x 2 2) + e x2 (8x) = e x2 (( 2x) x),... d n dx n e x2 = e x2 (( 2x) n +...) e x2 dn d m dx n e x2 e x2 dxm zto što z svki fiksirni k N vrijedi Prem tome () m+n ˆ dx. e x2 dn dx n e x2 = e x2 e x2 (( 2x) n +...)e x2 (( 2x) m +...) x k e x2 0 kd x. e x2 H n (x)h m (x)dx = 5 ˆ ( d dx e x2 dn dx n e x2 ) d m ) d m = 0 e x2dx. dxm e x2dx. dxm

6 Ako prcijlnu integrciju ponovimo još n 1 put dobićemo () m+n ˆ Sd primjetimo d je iz čeg slijedi e x2 H n (x)h m (x)dx = () n d n ( dx n e x2 dn dx n e x2 ) ˆ d n ( dx n e x2 dn dx n e x2 ) d m n = dn dx n (( 2x)n +...) = () n 2 n n!, e x2dx. dxm n () m+n ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = () n () n 2 n n! ˆ d m n ( ) d e x2dx = 2 n m n n! e x2 dxm n dxm n = 0. Možemo zključiti ˆ e x2 H n (x)h m (x)dx = 0, ko je m n. Ovu relciju možemo opisti tko što ćemo reći d su funkcije (e x2 ) 1/2 H n (x), (e x2 ) 1/2 H m (x) međusobno ortogonlne n intervlu (, ). Istu relciju možemo opisti i n drugi nčin, koji je mnogo vžniji z tekst koji slijedi, tko što ćemo reći d su polinomi H n (x), H m (x) međusobno ortogonlni n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2. Koncept sistem ortogonlnih polinom u odnosu n težinsku funkciju će biti dominntn od sd p ndlje. Formlizujmo prethodno npisno: (1.01) Definicij (ortogonlnost u odnosu n težinsku funkciju) Z dvije funkcije f 1 (x) i f 2 (x) kžemo d su međusobno ortogonlne n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) ko i smo ko ˆb ρ(x)f 1 (x)f 2 (x) dx = 0. (1.02) Problem Pokzti d su polinomi H n (x) = () n e x2 dn dx n e x2 međusobno ortogonlni n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 n = 0, 1, 2,... z Sljedeće što želimo pokzti je d se funkcij cos mθ, z proizvoljno m N 0, može izrziti ko polinom C m stepen m po promjenjivoj cos θ, poslije tog želimo pokzti d z tkve polinome vrijedi sljedeć jednkost (1 x 2 ) /2 C m (x)c k (x)dx = 0. 6

7 Primjenom dicionih teorem n izrze cos ((n + 1)θ) i cos((n 1)θ) dobijmo cos ((n + 1)θ) = cos (nθ + θ) = cos nθ cos θ sin nθ sin θ, cos ((n 1)θ) = cos (nθ θ) = cos nθ cos θ + sin nθ sin θ. Sbirnjem zdnje dvije jednkosti i premještnjem element, immo cos ((n + 1)θ) = 2cos nθ cos θ cos ((n 1)θ). Ov jednkost će nm pomoći, d pomoću mtemtičke indukcije pokžemo sljedeću tvrdnju: Z svki fiksirni ne-negtivni cijeli broj n, postoje cijeli c ni, i = 0, 1, 2,..., n, tkvi d n cos nθ = c ni cos i (θ). i=0 BAZA INDUKCIJE Z n = 0 immo cos 0θ = 1 = 1 cos 0 (θ). Prem tome c 00 = 1. Z n = 1 immo cos 1θ = cos θ = 1 cos 1 (θ). Prem tome c 10 = 0, c 11 = 1. Jednkost je tčn z n = 0 i n = 1. KORAK INDUKCIJE Pretpostvimo d je jednkost tčn z sve k = 1, 2,..., n tj. pretpostvimo d z svki fiksirn cijeli k (1 k n) postoje cijeli brojevi c ki, i = 0, 1, 2,..., k, tkvi d k cos kθ = c ki cos i (θ), i=0 i n osnovu ove pretpostvke pokžimo d je jednkost tčn z n + 1. Immo: n osnovu pretpostvke cos ((n + 1)θ) = 2cos nθ cos θ cos ((n 1)θ) ==== ( n ) n = 2 c ni cos i (θ) cos θ c n,i cos i (θ) i=0 i=0 n n = 2c ni cos i+1 (θ) c n,i cos i (θ) i=0 i=0 iz čeg možemo vidjeti d postoje cijeli brojevi c n+1,i, i = 0, 1, 2,..., n + 1, tkvi d cos (n + 1)θ = n+1 i=0 c n+1,i cos i (θ). Možemo zključiti d je jednkost tčn z svki n N 0. Drugim riječim funkcij cos nθ, z proizvoljno n N 0, može izrziti ko polinom C n stepen n po promjenjivoj cos θ. Z m k izrčunjmo integrl π cos mθ cos kθ dθ: 0 ˆπ 0 cos mθ cos kθ dθ = = = 1 2 ˆπ 0 ˆπ 0 ( 1 2 cos(m k)θ + 1 ) 2 cos(m + k)θ dθ = cos(m k)θ dθ ˆπ 0 cos(m + k)θ dθ = 1 2(m k) sin(m k)θ π (m + k) sin(m + k)θ π 0 = 0. 7

8 U relciji ˆπ 0 cos mθ coskθ dθ = 0, m k nek je x = cosθ. Td je dx = sinθ = (1 x 2 ) 1/2 dθ tj. dθ = (1 x 2 ) /2 dx. Funkcij cos mθ se može izrziti ko polinom stemen m po promjenjivoj cosθ : i slično immo z cos kθ. Prem tome π 0 ˆ1 cos mθ = C m (cosθ) = C m (x), cos mθ cos kθ dθ = 0 postje (1 x 2 ) /2 C m (x) C k (x) dx = 0. Polinomi C m (x), m = 0, 1, 2,..., su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) /2. Time smo dokzli Lemu 1.03 i riješili Problem (1.03) Lem Funkcij cos mθ, z proizvoljno m N 0, se može izrziti ko polinom C m stepen m po promjenjivoj cos θ. (1.04) Problem Pokzti d su polinomi C m iz Leme 1.03 međusobno ortogonlni n intervlu (, 1) u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) /2. Skoro n isti nčin ko u tekstu iznd, se može pokzti sljedeće: Funkcij sin(m + 1)θ zdovoljv jednkost sin(m + 1)θ = sinθ S m (cosθ), gdje je S m polinom stepen m po promjenjivoj cosθ. Relcij je ekvivlentn s ˆπ 0 sin(m + 1)θ sin(k + 1)θ dθ = 0, m k, ˆ1 (1 x 2 ) 1/2 S m (x) S k (x) dx = 0. Polinomi S m (x) su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju (1 x 2 ) 1/2. N krju posmtrjmo polinome definisne s P 0 (x) = 1, P n (x) = 1 d n 2 n n! dx n (x2 1) n, n = 1, 2, 3,... Pokžimo d z ove polinome vrijedi P n (x)p m (x) dx = 0, z n m. 8

9 Zbog pogodnosti, pišemo (x 2 1) n = p n (x) tko d P n (x) x m dx = 1 p 2 n n (x) x m dx. n! Ovj integrl ćemo izrčunti z m < n pomoću rekurzije. Prvo primjetimo d P, prcijlnom integrcijom, s smjenm p (k) n (x) = 0 z x = ±1 i k = 0, 1, 2,..., n 1. u = x m dv = p (n) n (x) dx dobijmo du = mx m dx p n (x) x m dx = m v = p (n) n (x) p (n) n (x) x m dx. Ponvljjući prcijlnu integrciju još m 1 put dolzimo do Prem tome, () m m! p (n m) n (x) dx = () m m! [ p (n m) n (x) ] 1 = 0 Kko je P m polinom stepen m, slijedi d P n (x) x m dx = 0, z m < n. (m < n). P n (x)p m (x) dx = 0, z n m. Polinomi P n (x) su međusobno ortogonlni n intervlu [, 1] u odnosu n težinsku funkciju 1. U tekstu iznd smo pokzli rješenje Problem 1.05: (1.05) Problem Pokzti d su polinomi definisni s P 0 (x) = 1, P n (x) = 1 2 n n! d n dx n (x2 1) n, n = 1, 2, 3,... međusobno ortogonlni n intervlu (, 1) u odnosu n težinsku funkciju 1. Npomen: Polinomi H n (x) se zovu Hermitovi polinomi red n. Ksnije ćemo vidjeti d se ovi polinomi dobiju ko rješenj Hermit-ove diferencilne jednčine red n Prvih šest Hermitovih polinom je H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 2, H 3 (x) = 8x 3 12x, H 4 (x) = 16x 4 48x , y 2xy + 2ny = 0. 9

10 H 5 (x) = 32x 5 160x x. Polinomi C m (x) i S m (x) se zovu trigonometriski polinomi ili Chebichef-ovi polinomi prve i druge vrste red n. Ksnije ćemo pokzti d su ovi polinomi rješenj Chebichef-ove diferencijlne jednčine red n (1 x 2 )y xy + n 2 y = 0. Ime Chebichef-ovi polinomi se tkođer, mnogo opštije, primjenjuju u sistemim ortogonlnih polinom u odnosu n proizvoljnu težinsku funkciju. Čitv glv "Ortogonlni polinomi" je koncentrisn n osnove opšte teorije tkvih ortogonlnih sistem. Prvih šest Chebichef-ovi polinomi prve vrste izrženih preko stepen promjenjive x je: C 0 (x) = 1, C 1 (x) = x, C 2 (x) = 2x 2 1, C 3 (x) = 4x 3 3x, C 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, C 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x. Polinomi P n (x) se zovu Legendre-ovi polinomi red n. Ksnije ćemo vidjeti d se ovi polinomi dobiju ko rješenj Legendre-ove diferencijlne jednčine red n Prvih šest Legendre-ovi polinom je P 0 (x) = 1, P 1 (x) = x, P 2 (x) = 1 2 (3x2 1), P 3 (x) = 1 2 (5x3 3x), P 4 (x) = 1 8 (35x4 30x 2 + 3), P 5 (x) = 1 8 (63x5 70x x). (1 x 2 )y 2xy + n(n + 1)y = 0. Chebichef-ovi i Legendre-ovi polinomi su u stvri specijlni slučj Jcobi-jevih polinom, jedn od vžnijih tipov polinom koje ćemo rzmtrti u jednoj od sljedećih glv. 2. Grm-Schmidt-ov proces ortonormlizcije Nek je φ 0 (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... proizvoljn niz funkcij n intervlu (, b), tkv d su sve funkcije u nizu integrbilne i linerno nezvisne. Kroz tekst koji slijedi, intervl (, b) se može zmjeniti beskončnim intervlom (, ) ili s intervlom (, ), li pod uslovom d svi integrli koji se posmtrju postoje. Pretpostvićemo d je svk linern kombincij ψ = α 0 φ α m φ m, končnog broj φ-jev s konstntnim koeficijentim α 0,..., α m ne svi nul, rzličit od nule n skupu tčki koje su dovoljne d nprve određen integrl od ψ 2, nd posmtrnim intervlom, rzličit od nule. U tekstu koji slijedi simboli φ 0, G 1,..., G n predstvljju relne brojeve, ko i simboli φ i, g j, z i, j = 1, 2,...n. Nek je d 0 = φ 0 2 = [φ 0 (x)] 2 dx, 10

11 g 0 (x) = φ 0(x) d 1/2 0 = φ 0(x) φ 0, tko d je b [g 0(x)] 2 dx = 1. Nek je Td je c 10 = φ 1, g 0 = φ 1 (x)g 0 (x) dx, G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = φ 1 (x) φ 1, g 0 g 0 (x), d 1 = G 1 2 = g 1 (x) = G 1(x) d 1/2 1 [G 1 (x)] 2 dx, = G 1(x) G 1. G 1 (x)g 0 (x) dx = g 1 (x)g 0 (x) dx = (φ 1 (x) φ 1, g 0 g 0 (x))g 0 (x) dx = 0, G 1 (x) G 1 g 0(x) dx = 1 G 1 [g 1 (x)] 2 dx = 1. G 1 (x)g 0 (x) dx = 0, U opštem slučju nek su funkcije g 2 (x), g 3 (x),... definisne uzstopno s relcijm c nk = φ n, g k = G n (x) = φ n (x) d n = G n 2 = g n (x) = G n(x) d 1/2 n n φ n (x)g k (x) dx, n c nk g k (x) = φ n (x) φ n, g k g k (x), [G n (x)] 2 dx, = G n(x) G n. Mtemtičkom indukcijom, nije teško pokzti d je svk od funkcij g n (x) ortogonln n g 0 (x),..., g n (x) g n (x)g m (x) dx = = 1 G n = 1 G n ( G n (x) G n g m(x) dx = 1 G n ) n φ n (x) φ n, g k g k (x) g m (x) dx = φ n (x)g m (x) dx 1 n φ n, g k G n = 1 G n φ n, g m 1 n φ n, g k G n G n (x)g m (x) dx = g k (x)g m (x) dx = g k (x)g m (x) dx, i d je svk od funkcij g 0 (x),..., g n (x) normlizovn, tj. imju vrjednost 1 ko integrl njihovih kvdrt nd intervlom (, b). Kko je relcij ortogonlnosti simetričn, isto tko možemo reći d su proizvoljne dvije funkcije g i, g j međusobno ortogonlne, z i j. Činjenic d su g-ovi oboje, i međusobno ortogonlne i normlizovne, se sumir u jednu riječ, koju zovemo ortonormirne funkcije. 11

12 Ako ko φ-ove uzmemo konkretno funkcije 1, x, x 2 i x 3, n intervlu (, 1) td ko 1 odgovrjuće g-ove ćemo dobiti 2, 3 x, (3x2 1) i (5x3 3x). Pokžimo ovo. d 0 = φ 0 2 = 1 2 = g 0 (x) = φ 0(x) d 1/2 0 = 1 2 tko d je 1 [g 0(x)] 2 dx = 1. Dlje c 10 = x, g 0 = 1 2 dx = 2 x 1 2 dx = 0, G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = x 0 g 0 (x) = x, d 1 = x 2 = g 1 (x) = 3 2 x, x 2 dx = 2 3, tko d je 1 g 1(x)g 0 (x) dx = 0, 1 c 20 = x 2, g 0 = c 21 = x 2, g 1 = [g 1(x)] 2 dx = 1. Dlje x dx = 2 3, 3 x 2 x dx = 0, 2 G 2 (x) = x 2 c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x) = x 2 1 3, d 2 = x = g 2 (x) = 45 8 ) ( x ( x 2 1 3) 2 dx = 8 45, = (3x2 1), tko d je 1 g 2(x)g 0 (x) dx = 0, 1 g 2(x)g 1 (x) dx = 0, 1 [g 2(x)] 2 dx = 1. N krju c 30 = x 3, g 0 = c 31 = x 3, g 1 = c 32 = x 3, g 2 = x dx = 0, 3 6 x 3 2 x dx = 5, x (3x2 1) dx = 0, G 3 (x) = x 3 c 30 g 0 (x) c 31 g 1 (x) c 32 g 2 (x) = x 3 d 3 = x 3 3 ( 5 x 2 = x 3 3 ) 2 5 x dx = 8 175, 175 g 3 (x) = (x 3 3 ) 8 5 x = 1 7 ( 5x 3 3x ), x = x3 3 5 x, tko d je 1 g 3(x)g 0 (x) dx = 0, 1 g 3(x)g 1 (x) dx = 0, 1 g 3(x)g 2 (x) dx = 0, 1 [g 3(x)] 2 1 dx = 1. Primjetimo d su dobijeni polinomi 2, 3 x, (5x3 3x) u stvri prv 4 normirn Lgendre-ov polinom (3x2 1) i 12

13 Opisn procedur z konstrukciju ortogonlnog sistem iz proizvoljnog dtog skup funkcij je poznt pod imenom Grm-Schmidt-ov proces ortogonlizcije. Formlizujmo prethodno npisni tekst: (2.01) Teorem (Grm-Schmidt-ov postupk ortogonlizcije) Nek je φ 0 (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... φ n (x), proizvoljn niz funkcij n intervlu (, b), tkv d su sve funkcije iz niz integrbilne n (, b), i linerno nezvisne. Td je Grm-Schmidt-ov niz definisn s φ 0 (x) g 0 (x) = b [φ 0(x)] 2 dx, g k (x) = ortonormirn niz. ˆb φ k (x) φ k (x) k ˆb i=0 k ˆb i=0 φ k (x)g i (x)dx g i (x) 2 φ k (x)g i (x)dx g i (x) dx z k = 1, 2, 3,..., n (2.02) Vježb Primjenom Grm-Schmidtovog postupk ortogonlizcije konstruisti ortonormirn sistem polzeći od skup funkcij {1, x, x 2, x 3 }, koristeći intervl (, 1). Funkcij g n je u stvri linern kombincij od φ 0,..., φ n (pod frzom linern kombincij će se uvijek podrzumjevti linern kombincij s konstntnim koeficijentim) g 0 (x) = 1 d0 φ 0 (x), g 1 (x) = 1 d1 G 1 (x) = 1 d1 φ 1 (x) c 10 d1 g 0 (x), g 2 (x) = 1 G 2 (x) = 1 φ 2 (x) c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x),... d2 d2 d2 d2 g n (x) = 1 G n (x) = 1 φ n (x) c n0 g 0 (x) c n1 g 1 (x)... c n,n g n (x), dn dn dn dn dn i obrnuto, s obzirom d su koeficijenti uz φ n u izrzu z g n, u svim slučjim, rzličiti od nule, relcisk vez φ-ev s g-ovim se može uspješno riješiti, svki φ n je linern kombincij od g 0,..., g n. Pokžimo ovo zdnje. Već smo primjetili d je svki g n (x) linern kombincij od φ 0 (x), φ 1 (x),..., φ n (x). Drugim riječim z svki g n (x) postoje koeficijenti ni R, (i = 0, 1,..., n) tkvi d g n (x) = n0 φ 0 (x) + n1 φ 1 (x) nn φ n (x), tj. ko posmtrmo funkcije g 0 (x), g 1 (x),..., g n (x) immo g 0 (x) = 00 φ 0 (x), g 1 (x) = 10 φ 0 (x) + 11 φ 1 (x), g 2 (x) = 20 φ 0 (x) + 21 φ 1 (x) + 22 φ 2 (x)... g n (x) = n0 φ 0 (x) + n1 φ 1 (x) nn φ n (x). 13

14 Jednkosti iznd možemo npisti u mtričnom obliku g 0 (x) φ 0 (x) g 1 (x) φ 1 (x) g 2 (x) = φ 2 (x) g n (x) n0 n1 n2... nn φ n (x) }{{} =A Ako npisnu gornje-trougonu mtricu oznčimo s A, kko je ii rzličit od nule z svki i = 0, 1, 2,.., n, mtric A je nesingulrn, p dti sistem im jedinstveno rješenje. Mtric koj je inverzn gornje-trougonoj mtrici mor biti gornje-trougon. Prem tome svki φ n se može npisti ko linern kombincij od g 0, g 1,..., g n. Iz ovog slijedi d je g n ortogonln n svku linernu kombinciju od φ 0,..., φ n. Time smo dokzli sljedeće dvije leme: (2.03) Lem Nek su φ 0,..., φ n, g 0,..., g n, funkcije iz Teoreme Td svk funkcij g k, k = 0, 1,..., n, se može npisti ko linern kombincij od φ 0,..., φ k, i obrnuto, svk funkcij φ k, k = 0, 1,..., n, se može npisti ko linern kombincij od g 0,..., g k. (2.04) Lem Nek su φ 0,..., φ n, g 0,..., g n, funkcije iz Teoreme Td je funkcij g k, k = 0, 1,..., n, ortogonln n svku linernu kombinciju od φ 0,..., φ k. Ako je γ(x) nek linern kombincij od φ 0,..., φ n koj je ortogonln n svku od funkcij φ 0,..., φ n, on mor biti konstnt pomnožen s g n (x). Ovo možemo vidjeti iz proces konstrukcije g n (x) = G n (x)/d 1/2 n, gdje su c 10 i ostli koeficijenti niz c nk u funkcijm G n (x) jedinstveno određeni zbog zhtjev ortogonlnosti u svkom korku, koeficijenti uz φ n (x) su jedinice (G n (x) = φ n n c nk g k ). Iko osobin ortogonlnosti sm po sebi dozvoljv množenje čitvog izrz G n (x) s proizvoljnim konstntnim fktorom, d je γ(x) konstnt pomnožen s g n (x) možemo pokzti i n sljedeći nčin. Ako su n > 0 i n koeficijenti uz φ n u g n i γ-i redom g n (x) = n φ n (x) φ 0 (x), γ(x) = nφ n (x) φ 0 (x), izrz γ n n g n ne sdrži φ n ; i on je linern kombincij od φ 0,..., φ n koji je ortogonln n svku od ovih funkcij (kko je γ ortogonln n svku od φ 0,..., φ n i kko je g n ortogonln n svku od φ 0,..., φ n slijedi d je i γ n n g n ortogonln n svku od φ 0,..., φ n ), p je ortogonln i n sebe, tj. integrl njezinog kvdrt nd posmtrnim intervlom je nul. Ovo znči d je γ n n g n = 0, p kko su φ-jevi linerno nezvisni svi koeficienti po kojim je ov funkcij izržen, preko člnov od φ 0,..., φ n, morju biti nul. Dlje, ko je posmtrn γ normlizovn i vrijedi d je y n 0, γ mor biti identički jednk s g n. Time smo dokzli Lemu 2.05: (2.05) Lem Ako je γ(x) linern kombincij od φ 0,..., φ n koj je ortogonln n svku od funkcij φ 0,..., φ n, td postoji konstnt α R tkv d γ(x) = αg n (x), z svko x. 14

15 3. Ortogonlni polinomi koji odgovrju proizvoljnoj težinskoj funkciji Nek je ρ(x) ne-negtivn funkcij koj je integrbiln nd (, b), i koj im osobinu d je vrijednost određenog integrl ρ(x) nd (, b) u stvri pozitivn. U većini vžnih primjen ρ(x) će biti neprekidn i pozitivn kroz čitv intervl, osim možd u krjnjim tčkm, gdje može nestti ili postti beskončn. U slučju beskončnog intervl obično se pretpostvi d je proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom, integrbiln, nd posmtrnim intervlom. Nek je proizvod [ρ(x)] 1/2 x k, k = 0, 1, 2,... uzet ko funkcij iz Teoreme Odgovrjuće funkcije g n (x), koje su u stvri linerne kombincije ovih (Lem 2.03), će biti oblik [ρ(x)] 1/2 p n (x), gdje su p n (x) polinomi stepen n. Izrčunjmo prvih nekoliko polinom. d 0 = φ 0 2 = [ρ(x)] 1/2 x 0 2 = g 0 (x) = [ρ(x)]1/2 x 0 d 1/2 0 gdje je p 0 (x) = 1 d0. Izrčunjmo g 1 (x) c 10 = φ 1, g 0 = ρ(x) dx, = 1 d0 [ρ(x)] 1/2 = [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 x 1 1 [ρ(x)] 1/2 dx, = 1 ρ(x)x dx, d0 d0 ( G 1 (x) = φ 1 (x) c 10 g 0 (x) = [ρ(x)] 1/2 x 1 1 c 10 [ρ(x)] 1/2 = [ρ(x)] 1/2 x c ) 10, d0 d0 d 1 = G 1 2 = g 1 (x) = G 1(x) d 1/2 1 [G 1 (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 d1 x c 10 d1 d 0 ) = [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), gdje je p 1 (x) = 1 d1 x c 10 d1 d 0. Izrčunjmo g 2 (x) c 20 = φ 2, g 0 = c 21 = φ 2, g 1 = [ρ(x)] 1/2 x 2 [ρ(x)] 1/2 p 0 (x) dx = [ρ(x)] 1/2 x 2 [ρ(x)] 1/2 p 1 (x) dx = ρ(x)x 2 p 0 (x) dx, ρ(x)x 2 p 1 (x) dx, G 2 (x) = φ 2 (x) c 20 g 0 (x) c 21 g 1 (x) = [ρ(x)] 1/2 x 2 c 20 [ρ(x)] 1/2 p 0 (x) c 21 [ρ(x)] 1/2 p 1 (x) = = [ρ(x)] ( 1/2 x 2 c 20 p 0 (x) c 21 p 1 (x) ) ( = [ρ(x)] 1/2 x 2 c 20 c 21 x c ) 21c 10, d0 d1 d1 d 0 d 2 = G 2 2 = g 2 (x) = G 2(x) d 1/2 2 [G 2 (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 d2 x 2 c 21 d2 d 1 x c 21c 10 d2 d 1 d 0 c 20 d2 d 0 ) = [ρ(x)] 1/2 p 2 (x), gdje je p 2 (x) = 1 d2 x 2 c 21 d2 d 1 x c 21c 10 d2 d 1 d 0 c 20 d2 d 0. Ako pretpostvimo d su g k (x) = [ρ(x)] 1/2 p k (x), k = 0, 1,..., n 1, funkcije dobijene Grm-Schmidtovim postupkom ortogonlizcije pomoću funkcij φ k (x) = [ρ(x)] 1/2 x k, k = 0, 1, 2,..., n 1, gdje je svki p k (x) polinomi stepen k, td z g n (x) immo c nk = φ n, g k = [ρ(x)] 1/2 x n [ρ(x)] 1/2 p k (x) dx = ρ(x)x n p k (x) dx, 15

16 n G n (x) = φ n (x) c nk g k (x) = [ρ(x)] 1/2 x n d n = G n 2 = g n (x) = G n(x) d 1/2 n [G n (x)] 2 dx, = [ρ(x)] 1/2 ( 1 dn x n 1 n dn n [ρ(x)] 1/2 p k (x) = [ρ(x)] 1/2 (x n p k (x) Prem tome mtemtičkom indukcijom sd nije teško pokzti Teoremu (3.01) Teorem Nek je dt skup funkcij { [ρ(x)] 1/2, [ρ(x)] 1/2 x, [ρ(x)] 1/2 x 2,..., [ρ(x)] 1/2 x n,... } ). n p k (x) ) i nek je ρ(x) ne-negtivn funkcij tkv d integrl proizvod proizvoljnog polinom s ρ(x) nd intervlom (, b) uvijek postoji. Td Grm-Schmidtovim postupkom iz dtog skup funkcij možemo konstruisti ortonormirn sistem { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x),... } gdje su p k (x), k = 0, 1, 2,..., n,..., polinomi stepen k. Polinomi p n (x) su normirni ortogonlni ili ortonormirni polinomi s ρ(x) ko težinskom funkcijom. Oni zdovoljvju uslove ρ(x)p m (x)p n (x) dx = 0, m n, ρ(x)[p n (x)] 2 dx = 1. Svki od polinom je stepen prikzn ko njegov subskript, i koeficijent uz čln x n je pozitivn. Ove osobine potpuno određuju sistem polinom p n (x). Pokžimo d je proizvoljn ortogonln sistem funkcij {f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)} linerno nezvisn. Pretpostvimo d je sum n k=1 α k f k (x) = 0 z neke α 1,..., α k. Td ˆb ˆb ( n n n ) ˆb n 0 = 0 α k f k (x) dx = α i f i (x) α k f k (x) dx = α k 2 [f k (x)] 2 dx. k=1 k=1 i=1 k=1 Ovo povlči d je α k = 0 z svki k = 1, 2,..., n. prem tome {f 1 (x), f 2 (x),..., f n (x)} je linerno nezvisn skup. Time je dokzn Teroem (3.02) Teorem Ortogonlni sistemi su linerno nezvisni. Prem tome možemo zključiti d je sistem { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x) } linerno nezvisn, p je i skup polinom {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x)} 16

17 linerno nezvisn. Ili drugim riječim, svki polinom n-tog stepen se može izrziti ko linern kombincij od p 0 (x),..., p n (x). Svki p n (x) je ortogonln n svki polinom nižeg stepen u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), tj. ko je q(x) bilo koji tkv polinom, ˆb ρ(x)p n (x)q(x) dx = 0. Ove činjenice su direktne posljedice opštih rezultt dobijenih u Lemm 2.03 i U tekstu iznd smo pokzli sljedeće dvije tvrdnje: (3.03) Propozicij Nek su p k (x), k = 0, 1,..., n, polinomi iz Teoreme Td se svki polinom n-tog stepen može npisti ko linern kombincij od p 0 (x),..., p n (x). (3.04) Posljedic Nek su p k (x), k = 0, 1,..., n, polinomi iz Teoreme Td je svki p k (x) ortogonln n proizvoljn polinom nižeg stepen, u odnosu n težinsku funkciju ρ(x). 4. Rzvijnje proizvoljne funkcije u red Polinomi p n (x) iz Teoreme 3.01 se mogu koristiti z formlno rzlgnje proizvoljne funkcije u red. Formule su komplikovnije zbog prisustv težinske funkcije, li su u drugu ruku, jednostvnije zbog činjenice d su p-ovi normlizovni. Želimo znti kd se proizvoljn funkcij f(x) može npisti u obliku red f(x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) +... = c n p n (x) n=0 tj. kd se funkcij f(x) može rzviti u red po ortogonlnim polinomim p n (x). Pretpostvimo d se f(x) može rzviti u ovkv red i d su sljedeće opercije oprvdne. Množenjem s ρ(x)p k (x) i integrirnjem u grnicm od do b dobijemo ˆ b ρ(x)f(x)p k (x) dx = c n ρ(x)p k (x)p n (x) dx. n=0 Zbog ortonormirnih osobin polinom p k (x), svi integrli n desnoj strni jednki su nuli, osim kd je k = n, i u tom slučju b ρ(x)p k(x)p k (x) dx = 1. Prem tome c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx. Koeficijenti c n (x) se nzivju Furijerovi koeficijeni koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n ortonorirne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Red n=0 c n p n (x), gdje su c n Furijeovi koeficijenti funkcije f(x) nziv se Furijeov red funkcije f(x). Furijeovi koeficijenti postoje z svku funkciju f(x) koj je kvdrtno sumbiln n (, b) s težinskom funkcijom ρ(x). N osnovu nejednkosi Cuchy-Bunjkovskog ( ) 1/2 ( ) 1/2 f 1 (x)f 2 (x) dx [f 1 (x)] 2 dx [f 2 (x)] 2 dx integrl b ρ(x)f(x)p k(x) dx konvergir z ovkve funkcije. Dlke, z svku ovkvu funkciju f(x) možemo npisti njen Fourierov red, li bez dljeg ispitivnj ne znmo d li je red konvergir i ko konvergir d li mu je sum f(x). 17

18 Ako je pišemo n=0 c n p n (x) Furierov red funkcije f(x) (tj. ko su c n = b ρ(x)f(x)p n(x) dx) ond f(x) c n p n (x). n=0 Prethodni tekst možemo sumirti sljedećom teoremom: (4.01) Teorem (Furierovo rzlgnje u odnosu n ortogonlne polinome) Nek je { [ρ(x)] 1/2 p 0 (x), [ρ(x)] 1/2 p 1 (x), [ρ(x)] 1/2 p 2 (x),..., [ρ(x)] 1/2 p n (x),... } ortonormirni sistem iz Teoreme Td se svk kvdrtno sumbiln funkcij f(x) n (, b) može npisti u obliku c n p n (x). n=0 Ovo zovemo Furijerovo rzlgnje funkcije f(x) n intervlu (, b) u odnosu n ortogonlne polinome i pišemo f(x) c n p n (x). Sklre c n = n=0 ρ(x)f(x)p n (x) dx, zovemo Furierovi koeficijenti funkcije f(x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Nek s n (x) oznčvju prcijlnu sumu red c k p k (x) sve do čln n-tog stepen: s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). Ako umjesto x uzmemo vrijblu t u formuli z Furijerove koeficijenet c k = b ρ(t)f(t)p k(t) dx, i dobijeni izrz zmjenimo umjesto c-ov u prethodnu jednkost, dobićemo s n (x) = p 0 (x) gdje je s n (x) = ρ(t)f(t)p 0 (t) dx + p 1 (x)ρ(t)f(t)p 1 (t) dx p n (x) ρ(t)f(t) [p 0 (x)p 0 (t) + p 1 (x)p 1 (t) p n (x)p n (t)] dx, s n (x) = ρ(t)f(t)k n (x, t) dt, n K n (x, t) = K n (t, x) = p k (t)p k (x). ρ(t)f(t)p n (t) dx, U stvri, ko je f(x) polinom n-tog ili nižeg stepen, f(x) = π n (x), iz prethodnog dijel je poznto d postoji reprezentcij oblik f(x) = c n p n (x) gdje je desn strn končn sum umjesto beskončnog red. Procedur z određivnje koeficijent td se primjenjuje n=0 18

19 ez pitnj konvergencije, i koeficijenti su dti s c k = b ρ(x)f(x)p k(x) dx. U ovom slučju s n (x) je isti ko π n (x), i π n (x) je identički proizveden pomoću formule π n (x) = ρ(t)π n (t)k n (x, t) dt. N primjer, posmtrjmo ortonormirne Lgendreove polinome koje smo dobili u Vježbi 2.02 P 0 (x) = 1 2, P 1 (x) = 3 x, 2 5 P 2 (x) = (3x2 1) P 3 (x) = (5x3 3x). Ako rzvijmo polinom p(x) = x 3 1 preko P 0, P 1, P 2 i P 3 immo c 0 = 1 (x3 1)P 0 (x) dx = 2, c 1 = 1 (x3 1)P 1 (x) dx = 6 5, c 2 = 1 (x3 1)P 2 (x) dx = 0, c 3 = 1 (x3 1)P 2 (x) dx = Prem tome x 3 1 = 6 2P 0 (x) + 5 P 1(x) + 0P 2 (x) P 3(x). Time smo riješili sljedeći zdtk. (4.02) Zdtk Plinom p(x) = x 3 1 npisti ko linernu kombincju Lgendreove ortonormirnih polinom P 0 (x) = 1 2, P 1 (x) = 3 x, P 2 2(x) = (3x2 1) i P 3 (x) = (5x3 3x). 5. Povrtn (rekurentn) formul Prem Teoremi 4.01 proizvod xp n (x), ko polinom (n + 1)-og stepen, se može izrziti u obliku s c nk = xp n (x) = n+1 c nk p k (x), ρ(x)xp n (x)p k (x) dx. Ako je k < n 1, xp k (x) je polinom stepen k + 1 < n, i kko je p n (x) ortogonln n svki tkv polinom u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) (Posljedic 3.04) svi koeficijenti c nk s osobinom k < n 1 nestju, p formul xp n (x) = n+1 c nk p k (x), postje xp n (x) = c n,n p n (x) + c nn p n (x) + c n,n+1 p n+1 (x). Nek kk oznčvju koeficijent uz x k u polinomu p k (x) z svku vrijednost k, p k (x) = kk x k + k,k x k k1 x + k0. 19

20 Izjednčvnje s koeficijentim uz x n+1 u nm dje tj. xp n (x) = c n,n p n (x) + c nn p n (x) + c n,n+1 p n+1 (x) nn = c n,n+1 n+1,n+1 c n,n+1 = nn n+1,n+1. Kko je dlje c nk = c kn z sve vrijednosti n i k, prem c nk = b ρ(x)xp n(x)p k (x) dx, immo c n,n = c n,n = n,n nn. Prem tome xp n (x) = n+1 c nk p k (x) se svodi n sljedeću formulu povrtk koj povezuje proizvoljn tri p-: xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). Ako zbog ljepšeg zpis uvedemo simbol p (x) i definišemo g tko d je identički jednk 0, s, = 0, prethodn jednkost se može posmtrti d vrijedi z n = 0 isto tko ko i z pozitivne vrijednosti od n. Time smo dokzli Teorem (5.01) Teorem (rekurentn formul z ortogonlne polinome) Nek je dt proizvoljn niz p 0 (x), p 1 (x),..., p n (x),... ortonormirnih polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkcijeu ρ(x). Td ovj niz zdovoljv tročlnu povrtnu formulu xp k (x) = k,k kk p k (x) + c kk p k (x) + kk k+1,k+1 p k+1 (x), z k = 0, 1, 2,..., n,... gdje su kk koeficijenti uz x k u p k (x), c kk su Furier-ov koeficijenti od xp k (x) u odnosu n ortogonlne polinome p k (x) s težinskom funkcijom ρ(x), p (x) 0 i, = 0. Detljno rspisn tročln povrtn (rekurentn) formul izgled xp 0 (x) = c 00 p 0 (x) p 1 (x), xp 1 (x) = p 0 (x) + c 11 p 1 (x) p 2 (x), xp 2 (x) = p 1 (x) + c 22 p 2 (x) p 3 (x),... xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). Ako k,k oznčv koeficijent od x k u p k (x), tko d p k (x) = kk x k + k,k x k k0 z svki k, td možemo odrediti c kk tko što ćemo porediti koeficijente od x k u tročlnoj povrtnoj formuli d bi dobili xp k (x) = k,k kk p k (x) + c kk p k (x) + kk k+1,k+1 p k+1 (x), x( kk x k + k,k x k +...) = k,k kk ( k,k x k + k,k 2 x k )+ +c kk ( kk x k + k,k x k +...) + kk k+1,k+1 ( k+1,k+1 x k+1 + k+1,k x k +...), k,k x k = c kk kk x k + 20 kk k+1,k+1 k+1,k x k,

21 Prem tome vrijedi Teorem (5.02) Teorem Nek je c kk = k,k kk k+1,k k+1,k+1. {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), oblik p k (x) = kk x k + k,k x k k0 (k = 0, 1, 2,...) z koji vrijedi gdje su c nk = xp n (x) = n+1 n=0 c nk p k (x). ρ(x)xp n (x)p k (x) dx Furierovi koeficijenti polinom xp n (x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x). Td koeficijente c nn možemo izrčunti po formuli c nn = n,n nn n+1,n n+1,n Christoffel-Drboux-ov identitet Izrz Pomnožimo s p n (t): xp n (x) = n,n nn p n (x) + c nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x). xp n (x)p n (t) = n,n nn p n (x)p n (t) + c nn p n (x)p n (t) + nn n+1,n+1 p n+1 (x)p n (t). Ako ovo oduzmemo od sljedeće jednkosti (u kojoj smo, z rzliku od prethodne, zmjenili mjest od t i x) tp n (t)p n (x) = n,n nn p n (t)p n (x) + c nn p n (t)p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (t)p n (x) člnovi c nn p n (t)p n (x) će se poništiti, i ko rezultt ćemo dobiti sljedeći oblik (t x)p n (t)p n (x) = nn [p n+1 (t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n,n [p n (t)p n (x) p n (t)p n (x)] n+1,n+1 nn Npišimo ovu jednkost tko što ćemo n uzstopno zmjeniti s n 1, n 2,..., 1, 0: (t x)p n (t)p n (x) = n,n [p n (t)p n (x) p n (t)p n (x)] n,n n 2,n 2 n,n [p n (t)p n 2 (x) p n 2 (t)p n (x)] (t x)p n 2 (t)p n 2 (x) = n 2,n 2 n,n [p n (t)p n 2 (x) p n 2 (t)p n (x)] 21

22 ... n 3,n 3 n 2,n 2 [p n 2 (t)p n 3 (x) p n 3 (t)p n 2 (x)] (t x)p 1 (t)p 1 (x) = 11 2,2 [p 2 (t)p 1 (x) p 1 (t)p 2 (x)] [p 1 (t)p 0 (x) p 0 (t)p 1 (x)] (t x)p 0 (t)p 0 (x) = [p 1 (t)p 0 (x) p 0 (t)p 1 (x)] 0 Ako sberemo svih n + 1 npisnu jednkost dobićemo n (t x) p k (t)p k (x) = k=1 ili ko uvedemo oznku K n (x, t) = n k=1 p k (t)p k (x) nn n+1,n+1 [p n+1 (t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] K n (x, t) = nn [p n+1(t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n+1,n+1 t x. Sve npisno možemo objediniti u sljedeću teoremu: (6.01) Teorem (Christoffel-Drboux-ov jednkost) Nek je dt proizvoljn niz p 0 (x), p 1 (x),..., p n (x),... ortonormirnih polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x). Td ovj niz zdovoljv Christoffel-Drboux-ovu jednkost K n (x, t) = nn [p n+1(t)p n (x) p n (t)p n+1 (x)] n+1,n+1 t x, gdje je K n (x, t) = n k=1 p k (t)p k (x), nn koeficijent koji stoji uz x n u p k (x): p n (x) = nn x n + n,n x n n0. Ov jednkost, koj je u slučju Lgendre-ovih polinom vrlo bitn, je od Christoffel-, i poopšten je od Drboux- z sistem ortogonlnih polinom s proizvoljnom težinskom funkcijom. 7. Simetrij Ko posebn slučj od nekog interes, je ko pretpostvimo d je intervl ortogonlnosti ( c, c) (ili (, )), simetričn u odnosu n koordintni početk. Z ovj slučj pretpostvimo d je ρ(x) prn funkcij i nek q(x) oznčv proizvoljn polinom stepen mnjeg od n. Ako je q(x) polinom, q( x) je polinom istog stepen. Posmtrjmo integrl Ako uvedemo smjenu t = x, td I = ˆ c c I = ˆ c c ρ( t)p n (t)q( t) dx = ρ(x)p n ( x)q(x) dx. ˆ c c ρ(t)p n (t)q( t) dx = 0, 22

23 s obzirom d je polinom p n (t) ortogonln n svki polinom nižeg stepen, u odnosu n težinsku funkciju. Nestjnje integrl c ρ(x)p c n( x)q(x) dx znči d p n ( x) im iste osobine ortogonlnosti ko i p n ( x). Štviše, p n ( x) je normlizovn ˆ c c ρ(x)[p n ( x)] 2 dx = ˆ c c ρ( x)[p n ( x)] 2 dx = ˆ c c ρ(t)[p n (t)] 2 dx = 1. Sd primjetimo d obe funkcije p n (x) i () n p n (x) imju isti koeficijent uz x n, obe zdovoljvju iste osobine ortogonlnosti i obe su normlizovne. Možemo zključiti d je () n p n (x) identički jednk s p n (x). Št ovo znči? Posmtrjmo p n (x) = nn x n + n,n x n n1 x + n0, p n ( x) = nn ( x) n + n,n ( x) n n1 ( x) + n0 = = () n nn x n + () n n,n x n () n1 (x) + n0, () n p n ( x) = () 2n nn x n + () 2n n,n x n () 2n (n) n1 (x) + n0. Ako je () n p n (x) = p n (x) z svki x, td p n (x) sdrži smo prne stepene od x ili smo neprne stepene od x, u zvisnosti d li je n prn ili neprn. Ovim smo dokzli Teoremu (7.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirni sistem polinom n intervlu ( c, c), u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek je ρ(x) prn funkcij i nek su polinomi p k (x) oblik p k (x) = kk x k + k,k x k k0 (k = 0, 1, 2,...). Td p n (x) sdrži smo prne stepene od x ili smo neprne stepene od x, u zvisnosti d li je n prn ili neprn. Ovo u stvri znči d su koeficijenti koje smo u Teoremi 7.01 oznčili s k,k nul z svku vrijednost k, u slučju simetričnosti o kojoj diskutujemo, p prem tome, ko posljedicu Teorem 5.01 i 5.02, immo: (7.02) Posljedic Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu ( c, c) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek je ρ(x) prn funkcij i nek su polinomi p n (x) oblik p n (x) = nn x n + n,n x n n0 (n = 0, 1, 2,...). Td su Furier-ovi koeficijenti c nn = ˆ c c ρ(x)xp n (x)p n (x) dx polinom xp n (x) u odnosu n ortogonlne polinome p n (x) s težinskom funkcijom ρ(x) jednki nuli, p immo xp n (x) = n,n nn p n (x) + nn n+1,n+1 p n+1 (x), z n = 0, 1, 2, 3,... gdje je po dogovoru p (x) 0 i, = 0. 23

24 8. Nule Sljedeće što želimo pokzti je d su svi korijeni jednčine p n (x) = 0 relni i rzličiti i nlze se u unutršnjosti intervl (, b). Ako je posmtrni intervl (, ), zključk je sveden smo n to d su korijeni relni i rzličiti. Posmtrjmo sljedeću tvrdnju: Polinom p n (x) je polinom n-tog stepen kko p n (x) mijenj znk n put u unutršnjosti intervl. Immo d, kko je p n (x) ortogonln n polinom nultog stepen u odnosu n težinsku funkciju, ko je n > 1, ρ(x)p n (x) dx = 0. Ovo sigurno ne bi bilo tčno ko p n (x) nikko ne mjenj znk n posmtrnom intervlu. Pretpostvim d p n (x) mjenj znk između i b u tčno m tčki x 1, x 2,..., x m (m < n). Nek je π(x) = (x x 1 )(x x 2 )...(x x m ), polinom m-tog stepen. Td proizvod p n (x)π(x) neće mijenjti znk n posmtrnom intervlu. Zšto? Kko su x 1, x 2,..., x m nule polinom p n (x), to ovj polinom možemo npisti u obliku p n (x) = π(x)q(x) z neki polinom q(x) stepen n m. P immo ρ(x)p n (x)π(x) dx = ρ(x)q(x)[π(x)] 2 dx 0, s obzirom d su ρ(x) i [π(x)] 2 ne-negtivne funkcije. Prem tome, ko je m < n vrijednost prethodnog integrl je u kontrdikciji s osobinom ortogonlnosti polinom p n (x). Zključujemo d mor biti m = n, i time smo dokzli sljedeću teoremu: (8.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x) i nek je ρ(x) nenegtivn funkcij. Td su svi korijeni jednčine p n (x) = 0 relni i rzličiti i nlze se u unutršnjosti intervl (, b). 9. Osobine njmnjeg-kvdrt Nek je f(x) proizvoljn funkcij, koj zdovoljv osobinu integrbilnosti n (, b), i nek su c k i s n (x) definisni, ko i rnije, s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx. s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). Nek je r n (x) = f(x) s n (x). Ko direktn posjedic definicije, ρ(x)s n (x)p k (x) dx = ρ(x)r n (x)p k (x) dx = ρ(x)[c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x)]p k (x) dx = c k, ρ(x)[f(x) s n (x)]p k (x) dx = 0, k = 0, 1,..., n. 24

25 Nek je π n (x) polinom njviše n-tog stepen. Nek je n π n (x) s n (x) = δ n (x) = d k p k (x), tko d se π n (x) svodi n s n (x) ko su svi d-ovi nul, i immo f(x) π n (x) = [r n (x) + s n (x)] [δ n (x) + s n (x)] = r n (x) δ n (x). Ako sd polinom π n (x) tumčimo ko proksimcij funkcije f(x), td integrl kvdrt greške od π n (x) s težinskom funkcijom ρ(x) od jedne do druge tčke n posmtrnom intervlu je = ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx = ρ(x)[r n (x)] 2 dx 2 ρ(x)[r n (x) δ n (x)] 2 dx = ρ(x)r n (x)δ n (x) dx + ρ(x)[δ n (x)] 2 dx. Ali s obzirom d je b ρ(x)r n(x)p k (x) dx = 0 z k = 0, 1,..., n i δ n (x) = n d k p k (x) immo [ n ] ρ(x)r n (x)δ n (x) dx = ρ(x)r n (x) d k p k (x) dx = 0, [ ρ(x)[δ n (x)] 2 n 2 n dx = ρ(x) d k p k (x)] dx = d 2 k. Prem tome ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx ρ(x)[r n (x)] 2 dx gdje jednkost vrijedi kko su svi d-ovi nul. Prem tome, između svih polinom stepen mnjeg ili jednkog n, polinom s n (x) se može okrkteristi, ko onj čiji je integrl greške n kvdrt s težinom njmnji. Time smo dokzli Teoremu (9.01) Teorem Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), i nek su c k i s n (x) definisni s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx, s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). Td, z svki polinom π n (x) (π n (x) s n (x)) stepen mnjeg ili jednkog jednkog n, vrijedi ρ(x)[f(x) s n (x)] 2 dx < ρ(x)[f(x) π n (x)] 2 dx. Ko konkretn primjer, nek je f(x) funkcij x n, i nek su c-ovi koeficijenti pomoću kojih se polinom x n može izrziti preko p-ov: x n = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). 25

26 Primjenimo zključk Teoreme 9.01 n proksimciju od x n polinomom stepen njviše n 1. Polinom z njbolju proksimciju u smislu kriterij posljednjeg-kvdrt je Ali s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). x n s n (x) = c n p n (x). Polinom p n (x) je određen do konstntnog fktor tko što ćemo polinom stepen njviše n 1 oduzeti od x n, i to polinom koji će nprviti integrl težine kvdrt rzlike njmnjim mogućim. (9.02) Posljedic Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), i nek su c k i s n (x) definisni s c k = ρ(x)f(x)p k (x) dx, s n (x) = c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x). Td p n (x) možemo odrediti do konstntnog fktor pomoću formule i grešk r n (x) = x n s n (x) u smislu p n (x) = x n s n (x), ρ(x)[r n (x)] 2 dx je njmnje moguć z proksimciju od x n polinomom (n 1)-og stepen. 10. Diferencijln jednčin Pretpostvimo sd d funkcij ρ(x) zdovoljv sljedeću diferencijlnu jednčinu ρ (x) ρ(x) = D + Ex A + Bx + Cx 2 (ili drgčije npisno (A + Bx + Cx 2 )ρ (x) = (D + Ex)ρ(x)) gdje su A, B, C, D i E konstnte, i pretpostvimo d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) nestje n krjevim posmtrnog intervl. Nrvno ovo su skroz jke pretpostvke, li težinske funkcije koje zdovoljvju ove uslove, su one od velike teoriske i prktične vžnosti. Npisn diferencijln jednčin je poznt pod imenom Person-ov diferencijln jednčin. Npomenimo i to d ko je posmtrni intervl beskončn, potrebno je pretpostviti i dodtnu hipotezu, ko nije poznt drugčije, to je d se proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom približv nuli kko x postje beskončn n intervlu. Pod nvedenim uslovim, sljdeće što ćemo pokzti je d p n (x) zdovoljv diferencijlnu jednčinu oblik α(x)p n(x) + β(x)p n(x) + γ n p n (x) = 0, u kojoj je α(x) polinom drugog red, u ovom slučju to će biti A + Bx + Cx 2, β(x) je polinom prvog red nezvisn od n, i γ n zvisi od n li je nezvisn od x. 26

27 Nek je q m (x) proizvoljni polinom stepen m < n. Nzivnik A + Bx + Cx 2 oznčimo krće s G(x). N integrl I = q m (x) d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx primjenimo prcijlnu integrciju s smjenm u = q m (x), du = q m(x)dx, dv = d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx, v = G(x)ρ(x)p n(x). Funkcij uv, sdrži proizvod G(x)ρ(x) s polinomom, p nestje n krjevim intervl, čime dobijmo I = G(x)ρ(x)p n(x)q m(x) dx. Primjenimo ponovo prcijlnu integrciju s smjenm u = G(x)ρ(x)q m(x), dv = p n(x) dx, du = d dx [G(x)ρ(x)q m(x)]dx, v = p n (x). Ponovo uv nestje n krjevim intervl čime dobijmo Ali, I = p n (x) d dx [G(x)ρ(x)q m(x)]dx. d dx [G(x)ρ(x)q m(x)] = d dx [(A + Bx + Cx2 )ρ(x)q m(x)] = = (B + 2Cx)ρ(x)q m(x) + G(x)ρ (x)q m(x) + G(x)ρ(x)q m(x) = = (B + 2Cx)ρ(x)q m(x) + (D + Ex)ρ(x)q m(x) + G(x)ρ(x)q m(x) = = ρ(x)[(b + 2Cx)q m(x) + (D + Ex)q m(x) + G(x)q m(x)], s obzirom d je prem pretpostvci G(x)ρ (x) = (D + Ex)ρ(x); i izrz u zdnjoj uglstoj zgrdi je neki polinom r m (x) stepen njviše m. P je I = ρ(x)p n (x)r m (x)dx = 0, Zbog osobine ortogonlnosti polinom p n (x). Primjetimo d smo dobili I = q m (x) d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] dx = U orginlnom izrzu z integrl I immo ρ(x)p n (x)r m (x)dx = 0. = d dx [G(x)ρ(x)p n(x)] = d dx [(A + Bx + Cx2 )ρ(x)p n(x)] = = (B + 2Cx)ρ(x)p n(x) + G(x)ρ (x)p n(x) + G(x)ρ(x)p n(x) = = ρ(x)[(b + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x)], što im oblik ρ(x)π n (x), gdje je polinom π n (x) stepen njviše n, π n (x) = [(B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x)]. Prem tome, z proizvoljn polinom q m (x) stepen m < n, ρ(x)π n (x)q m (x) dx = 0. 27

28 Drugim riječim, π n (x) im osobinu ortogonlnosti koju z dto n posjeduje smo konstnt pomnožen s p n (x). Prem tome, mor postojti konstnt K n tkv d π n (x) = K n p n (x). Polinom π n (x) možemo npisti u "ljepšem" oliku π n (x) = (B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x) = (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x). Upoređivnjem koeficijent uz x n, gdje ćemo vodeći koeficijent u p n (x) oznčiti, ko i rnije, s nn ( nn 0), dobićemo Cn(n 1) nn + (2C + E)n nn = K n nn, Končno iz slijedi K n = Cn(n + 1) + En. (B + 2Cx)p n(x) + (D + Ex)p n(x) + G(x)p n(x) = K n p n (x) (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x) [Cn(n + 1) + En]p n (x) = 0. Time smo dokzli Teoremu (10.01) Teorem (diferencijln jednčin z ortogonlne polinome) Nek je {p 0 (x), p 1 (x), p 2 (x),..., p n (x),...} ortonormirn sistem polinom n intervlu (, b) u odnosu n težinsku funkciju ρ(x), nek ρ(x) zdovoljv diferencijlnu jednčinu ρ (x) ρ(x) = D + Ex A + Bx + Cx 2 gdje su A, B, C, D i E konstnte, i pretpostvimo d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) nestje n krjevim intervl (, b) (ko je posmtrni intervl beskončn, potrebno je pretpostviti i d se proizvod ρ(x) s proizvoljnim polinomom približv nuli kko x postje beskončno). Td p n (x) zdovoljvju sljedeću diferencijlnu jednčinu (A + Bx + Cx 2 )p n(x) + [(B + D) + (2C + E)x]p n(x) [Cn(n + 1) + En]p n (x) = 0. U slučju Legendre-ovih polinom, ρ(x) = 1 i posmtrni intervl je [, 1]. Pretpostvke Teoreme uključuju uslov d (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) morju nestti n krju intervl, i to će biti zdovoljeno kko korijeni jednčine A + Bx + Cx 2 = 0 su x = 1 i x =. Iz čeg slijedi A + Bx + Cx 2 = 1 x 2. Diferencijlnu jednčinu ρ (x) = D+Ex sd možemo ρ(x) A+Bx+Cx 2 npisti u obliku ρ (x)/ρ(x) = 0/(1 x 2 ), iz čeg možemo zključiti d je B = D = E = 0, A = 1, C =. Ako ove konstnte uvrstimo u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo pozntu Legendreovu diferencijlnu jednčinu (1 x 2 )p n(x) 2xp n(x) + n(n + 1)p n (x) = 0. 28

29 U slučju Hermiteovih polinom, z ρ(x) možemo uzeti ρ(x) = e x2, gdje je posmtrni intervl (, ). Pretpostvke Teoreme uključuju uslov (A + Bx + Cx 2 )ρ(x) morju težiti nuli kd x teži beskončno, iz čeg slijedi d z koeficijent B i C možemo uzeti nule. Kko je ρ (x)/ρ(x) = 2x i ρ (x) ρ(x) = D+Ex A+Bx+Cx 2 immo B = C = D = 0, A = 1, E = 2. Ako ove konstnte uvrstimo u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo Hermiteovu diferencijlnu jednčinu p n(x) 2xp n(x) + 2np n (x) = 0. Ako z ρ(x) uzmemo polinom ρ(x) = (1 x 2 ) /2 i posmtrmo intervl [, 1], td d bi zdovoljili pretpostvke Teoreme nije teško vidjeti d bi dobili A + Bx + Cx 2 = 1 x 2, ρ (x) ρ(x) = x 1 x 2 tj. B = D = 0, A = 1, C = 1, E = 1. Uvrštvnjem ovih konstnti u diferencijlnu jednčinu iz Teoreme 10.01, dobićemo Chebichef-ovu diferencijlnu jednčinu (1 x 2 )p n(x) xp n(x) + n 2 p n (x) = 0. Prethodni tekst je u stvri rješenje Vježbe (10.02) Vježb Diskutovti vrijednosti koeficijent A, B, C, D i E koji zdovoljvju sve uslove iz Teoreme ko z težinku funkciju posmtrmo ρ(x) = 1, ρ(x) = e x2 i ρ(x) = (1 x 2 ) /2 redom n intervlim [, 1], (, ) i [, 1]. Personov diferencijln jednčin esencijlno im tri tip rješenj koj, poslije množenj s polinomom proizvoljnog stepen, dju končne integrle nd pridruženim rngom. Posmtrni intervl je u jednom slučju končn, u drugom slučju beskončn u ob smijer, i u trećem slučju beskončn u jednom smijeru i ogrničen u drugom. Više o ovome možete pročitti u [2] strn

30 (ov strnic je ostvljen przn) 30

31 11. Definicij pomoću izvod II Hermiteovi polinomi U rješenju Problem 1.02 (strn 6) smo pokzli d je ˆ e x2 () n dn x2 e dx n e x2 () m e x2 z m n. Ako uvedemo smjenu x = t 2 imćemo d je x 2 = t 2 /2, dx = dt/ 2, dm dx m e x2 d dx e x2 = 2xe x2 = 2 t 2 e t2 /2 = 2te t2 /2 = 2 d /2 dt e t2 dx = 0, d 2 dx 2 e x2 = 2e x2 ( + 2x 2 ) = 2e t2 /2 ( + t 2 ) = ( 2) 2 d2 dt 2 e t2 /2... d n dx n e x2 = ( 2) n dn dt n e t2 /2 p će prethodni integrl postti ˆ 1 2 ili drugčije npisno e t2 /2 () n e t2 /2 ( 2) n dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 ( 2) m dm dt m e t2 /2 dt = 0, ( 2) n+m ˆ e t2 /2 () n e t2 /2 dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 dm dt m e t2 /2 dt = 0, iz čeg slijedi ˆ e t2 /2 () n e t2 /2 dn dt n e t2 /2 () m e t2 /2 dm dt m e t2 /2 dt = 0. Polinome H n (x), stepen n, definisni s H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n φ(x) gdje je φ(x) := e x2 /2, nzivmo Hermiteovi polinomi (Chrles Hermmite ( )) stepen n. Ovi polinomi su ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju 1 e x2 /2 (vidi zdnje npisni integrl iznd). Posmtrjmo funkciju φ(x) = e x2 /2. Direktnim diferencirnjem dobijemo φ (x) = xe x2 /2, φ (x) = (x 2 1)e x2 /2, φ (x) = ( x 3 + 3x)e x2 /2, 1 Postoje neke rznovrsnosti u upotrebi oznk kod Hermiteovih polinom. Nekd se ko težinsk funkcij uzim e x2 umjesto e x2 /2, ko što smo i mi urdili u prvom dijelu ovog rd. U ovom dijelu ko težinsku funkciju uzimmo e x2 /2 zbog pogodnosti ove funkcije u nekim ksnijim rezulttim. 31

32 .... Posmtrjući ovj niz, mtemtičkom indukcijom nije teško i formlno pokzti, d će izvod bilo kojeg red ko rezultt biti proizvod funkcije e x2 /2 s polinomom po promjenjivoj x. Posmtrjmo sd Hermiteove polinome H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n φ(x). Td, direktno iz npisne formule slijedi d je φ (n) (x) = () n e x2 /2 H n (x), i diferencirnjem ove jednkosti immo φ (n+1) (x) = () n [ xh n (x) + H n(x)]e x2 /2, dok s druge strne (direktno iz definicije od H n+1 (x)) immo φ (n+1) (x) = () n+1 e x2 /2 H n+1 (x), tko d Kko je H 0 (x) = 1, H 1 (x) = x 1 0 = x H 2 (x) = x x 1 = x 2 1 H 3 (x) = x (x 2 1) 2x = x 3 3x... H n+1 (x) = x H n (x) H n(x). to mtemtičkom indukcijom nije teško pokzti d je H n (x) polinom n-tog stepen čiji su koeficijenti uz x n jednki jedinici. Ako poredimo zdnje npisne polinome s polinomim s strne 9, primjetićemo d nisu isti, i d su ovi polinomi npisi u puno "ljepšem" obliku. Ovkv rezultt immo zbog izbor težinske funkcije. Prethodno npisni tekst možemo zbiti u Lemu 11.01, Definiciju i u dokz Teoreme (11.01) Lem Funkcij H n (x), definisn s je polinom n-tog stepen. H n (x) = () n e x2 /2 dn dx n e x2 /2 (11.02) Definicij (Hermiteovi polinomi) Polinome H n (x) iz Leme 11.01, nzivmo Hermiteovi polinomi. (11.03) Teorem Nek su H n (x) Hermiteovi polinomi. Td su ovi polinomi ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2, mogu se odrediti pomoću formule H n+1 (x) = x H n (x) H n(x), n = 0, 1, 2,..., i H n (x) je polinom n-tog stepen čiji je koeficijent uz x n jednk jedinici. 32

33 12. Ortogonlnost i fktor ortonormlizcije U prethodnom dijelu smo pokzli ortogonlnost Hermiteovih polinom tko što smo iskoristili rezultt dobijen u Problemu Pokžimo ovu ortogonlnost n mnogo elegntntniji nčin. Nek su m i n proizvoljni ne-negtivni cijeli, i ko nisu jednki nek je n veće od m : m < n. Nek je H n (x) = () n e x2 /2 dn /2 dx n e x2 = () n e x2 /2 dn dx φ(x), n i posmtrjmo integrl Immo I = ˆ Z prcijlnu integrciju, nek je I = ˆ e x2 /2 H m (x)h n (x) dx. ˆ e x2 /2 H m (x) () n e x2 /2 dn φ(x) dx = ()n H dxn m (x) φ (n) (x) dx. u = H m (x), dv = φ (n) (x) dx, du = H m(x) dx, v = φ (n) (x). Td proizvod uv (zto što je ovo proizvod od e x2 /2 s polinomom) nestje z x = ±, p ˆ I = () n+1 H m(x) φ (n) (x) dx. Ponvljjući ovj proces nkon m kork dobićemo I = () n+m ˆ H m (m) (x) φ (n m) (x) dx. Ako je n m > 0, primjenom još jedne prcijlne integrcije, u kojoj je H m (m+1) (x) 0, zto što je H m (x) polinom m-tog stepen (ili direktnom integrcijom funkcije φ (n m) (x) s konstntnim koeficijentom H m (m) (x)) dobijmo I = 0. Ovo znči d su polinomi H m (x) i H n (x) ortogonlni nd intervlom (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2. Z m = n, posljednji integrl postje I = () n+n ˆ zto što je H (n) n I = H (n) n (x) φ (n n) (x) dx = ˆ (x) = n! (vidi Teoremu 11.03), p immo ˆ e x2 /2 H n (x)h n (x) dx = ˆ ˆ H n (n) (x) φ (0) (x) dx = n! e x2 /2 dx, e x2 /2 [H n (x)] 2 dx = n! Vrijednost integrl e x2 /2 dx možemo izrčunti n dv nčin: Prvi nčin: Pomoću dvostrukog integrl. C 2 = C C = ˆ C = ˆ ˆ e x2 /2 dx e x2 /2 dx, e y2 /2 dy = 33 ˆ ˆ ˆ e x2 /2 dx. e (x2 +y 2 )/2 dxdy =

34 Prem tome uvedimo polrne koordinte x = r cos ϕ, y = r sin ϕ dx dy = r dr dϕ ˆ2π ˆ = 0 0 2π e r2 /2 ˆ2π e r2 /2 r dr dϕ = C = 2π. 0 = 2π. 0 ˆ dϕ 0 e r2 /2 d( r 2 /2) = Drugi nčin: Pomoću "integrl vjerovtnoće". Prisjetimo se: Z svko relno α > 0, funkciju definisnu s Γ(α) = ˆ 0 x α e x dx nzivmo Gm funkcijom. Primjetimo d je Γ(1) = e x dx = e x d( x) = Funkciju definisnu s B(α, β) = 0 x α (1 x) β dx z svko α > 0 i β > 0 zovemo Bet funkcij. Između Bet i Gm funkcije postoji vez dt relcijom B(α, β) = Γ(α)Γ(β) Γ(α + β). (vidi [1], strn 46). Primjetimo d je B ( 1 Sd možemo izrčunti trženi integrl: π = Prem tome dx 1 x 2 = = 0 ˆ 2, 1 2 uvedimo smjenu x = 2t 1, dx = 2 dt ) = Γ( 1 2 )Γ( 1 2 ) Γ(1). = 0 ˆ 2 dt 1 1 (2t 1) = 2 0 ( 1 t /2 (1 t) /2 = B 2, 1 = 2) Γ( 1)Γ( 1) 2 2 = Γ(1) ˆ e x2 /2 dx = 2 e x2 /2 dx = 0 = 2 ˆ 0 ˆ uvedimo smjenu x = 2t, dx = 2 2 t dt t /2 e t dt = 2Γ( 1 2 ). e x2 /2 dx = 2π [ Γ( 1 2 ) ] 2, = (nrvno, postoje i drugi nčini z izrčunvnje vrijednosti ovog integrl). 2 dt 4t(1 t) = Time smo dobili ˆ ˆ e x2 /2 [H n (x)] 2 dx = n! e x2 /2 dx = n! 2π. Ortonormirni Hermiteovi polinomi su dti s H n(x) n!. 2π 34

35 Bez obzir n ovo, sv diskusij u osttku ovog rd će biti nstvljen u smislu orginlnih polinom H n (x). Prethodno npisni tekst je u stvri dokz Teoreme (12.01) Teorem Funkcije h n (x), definisne s h n (x) = H n(x) n! 2π = ()n n! e x2 /2 dn /2 2π dx n e x2 formirju ortonormirn sistem n intervlu (, ) u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2 (dte funkcije su poznti pod imenom normirni Hermiteovi polinomi). 13. Hermiteovi i Grm-Chrlier-ovi redovi Kko je H 0 (x) 0!, 2π H 1 (x) 1!, 2π H 2 (x) 2!,..., 2π H n (x) n! 2π,... ortonormirn sistem funkcij u odnosu n težinsku funkciju e x2 /2, prem Teoremi 4.01, proizvoljn kvdrtno integrbiln funkcij f(x) n intervlu (, ) se može npisti u obliku red pomoću Hermiteovih polinom f(x) c k H k (x), c k = 1 n! 2π ˆ e x2 /2 f(x)h k (x) dx. Hermiteovi polinomi se koriste u sttističkoj teoriji z predstvljnje funkcij frekvencij nd intervlom (, ); li z ovu upotrebu red nprvljen od člnov oblik c k e x2 /2 H k (x) je mnogo korisniji neko sm red polinom. Nek je F (x) dt funkcij, i nek je f(x) = e x2 /2 F (x). Td zdnje dvije formule će imti oblik F (x) c k e x2 /2 H k (x), c k = 1 n! 2π ˆ F (x)h k (x) dx. Red u ovom obliku zovemo Grm-Chrlier-ov red. 35