Matematika 2
|
|
|
- Slaviša Schmidt
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Sadržaj: Sadržaj Tablično integriranje Očigledna supstitucija Supstitucija Supstitucija u odredenom integralu 3 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije u odredenom integralu Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45
2 Ciljevi učenja Ciljeve učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji zadaci Kombiniranje gornjih tehnika Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Tablično integriranje f (x) x f (x)dx ln x + c x a x ;a a+ a+ + c sinx cosx + c cosx sinx + c tgx + c cos x ctgx + c sin x b x bx lnb + c e x e x + c a x arcsin( x a ) f (x) f (x)dx a +x a x a ln a+x a arctg( x a )+c a x + c ln(x + x x + a )+c +a x a shx chx sh x ch x ln(x + x a )+c chx + c shx + c cthx + c thx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45
3 Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: ( (a) x 3 + x 7 )dx x ( x /3 + 5 ) dx x Rj. (c) xdx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: ( (a) cosx 3 ) cos dx x 5sin 3 x + 4 sin dx x (c) π sinx dx. 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45
4 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 3. Odredite sljedeće integrale: ( ) (a) x + 7 x dx ( ) + 3 dx 5 x 4 + x (c) 4x dx dx (d) x +. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 4. Odredite sljedeće integrale: ( (a) 3 x + 3 x) dx 5e 3x dx (c) x dx (d)odredite površinu na slici desno. e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45
5 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 5. Odredite sljedeće integrale: (a) π ( 3x + sinx e x) dx ( ) 3 x + dx x (c)odredite površinu na slici desno. sin x π cos x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 Tablično integriranje Zadaci Rješenje : Zad. (a) x 4 x 4 x + c. 3 5 x 5/3 + 5ln x + c. (c) 4 3. Rješenje : (a) sinx 3tgx + c. 5cosx 4ctgx + c. (c) 3. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45
6 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 3: (a) 3 arctg( x 3 )+ ln 7+x 7 7 x + c. arcsin( x 5 )+3ln(x + x + 4)+c. ) (c) (x ln + x 4 + c. (d) π 4. Rješenje 4: (a) ln3 3x + ln3 3x + c. 5 3 e3x + c. (c) ln. (d) e e. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 5: (a) π e π π. (c) P = π 4 (cosx sinx)dx =. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45
7 Očigledna supstitucija Očigledna supstitucija Ako je u = u(x) onda je PRIMJER. x x dx =? f (u(x)) du dx dx = f (u)du Rješenje: x xdx= = 3 (x ) 3 + c. u=x du dx =x = u du dx dx = udu = 3 u3/ + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Očigledna supstitucija Primjer. sin x cosx dx=? Rješenje: sin x cosx dx= sin 3 x 3 + c. u=sinx du dx =cosx = u du dx dx = u du = u3 3 + c = Standardnija procedura: sin x cosx dx= u=sinx du=cosxdx = u du = u3 3 + c = sin3 x + c. 3 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45
8 Očigledna supstitucija Zadatak 6. Izračunajte sljedeće integrale: (a) cos x sinx dx (c) (d) (e) e x + e x dx e x dx + ex x 3 x 4 + dx x cos(x 3 )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 6: (a) cos x sinx dx= t=cosx dt= sinxdx dt=sinxdx ln( + e x )+c (t = + e x ) (c) arctg(e x )+c (t = e x ) (d) 4 ln(x 4 + )+c (t = x 4 + ) (e) 3 sin(x 3 )+c (t = x 3 ) = t dt = t3 3 +c = cos3 x 3 +c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45
9 Očigledna supstitucija Zadatak 7. Ako je f (x)dx = F (x)+c, koliko je: (a) f (x)dx f (x 4)dx (c) f (3x + )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 7: (a) F (x) + c F (x 4)+c (c) F (3x+) 3 + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45
10 Očigledna supstitucija Sljedeći zadaci se često koriste u primjenama. Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin xdx cos xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 Očigledna supstitucija Rješenje 8: (a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom sin x = cos(x) sin xdx = ( cos(x))dx = dx x sin(x) + c 4 Koristimo se identitetom cos(x)dx = cos xdx = = x + sin(x) 4 + c cos x = + cos(x) ( + cos(x))dx = dx + cos(x)dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45
11 Supstitucija SUPSTITUCIJA Integral h(x)dx, pomoću supstitucije, izračunavamo sljedećim koracima: (a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz du = g (x)dx): h(x)dx = h(x) du g (x) Iz h(x) g (x) funkciju od u tj. pokušamo eliminirati x tako da h(x) h(x) g (x) = f (u). Dakle, h(x) du g (x) = g (x) f (u)du prepoznamo kao (c) f (u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon izračunavanja, zamjenimo nazad u = g(x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45 Supstitucija Primjer 3. x (x 4 dx =? + x) Rješenje: (a) Stavimo u = x 4 + x. Dakle du =(4x 3 + )dx: x x 3 (x 4 + x) dx = + 3 du u (4x 3 + ) U integralu kraćenjem se eliminira x x u du 4(x 3 + 3) = 4 u du (c) 4 u du = u 4 + c = (x 4 + x) + c = 4 4(x 4 + x) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 / 45
12 Supstitucija Zadatak 9. Izračunajte sljedeće integrale: x + (a) x + x + dx e x x dx Zadatak. lnx + (a) dx x cosϕ + sinϕ dϕ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Supstitucija Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: sin(lnt) (a) dt t (c) e y dy + ey x + x 4 dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45
13 Supstitucija Rješenje 9: (a) = e x + c (t = x ) x + x + x + dx = t=x +x+ dt=(x+)dx Rješenje : dx= (x+) dt t dt = t + c == x + x + + c (a) 3 (lnx + ) 3 + c (t = lnx + ) ln + sinϕ + c (t = + sinϕ) Rješenje : (a) cos(lnt)+c (u = lnt) ln( + ey ) (u = + e y ) (c) arctg(x ) (u = x ) x + = dt t (x + ) = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 5 / 45 Supstitucija u odredenom integralu SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU Ako integral h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral f (u)du onda vrijedi: b a h(x)dx = g g(a) Veza medu granicama integrala je dana sa x a b u g(a) g f (u)du Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 6 / 45
14 Supstitucija u odredenom integralu Primjer 4. Izračunajte integral Rješenje: e x e x + dx = u=e x + du=e x dx x u +e e x e x + dx +e = u du =(lnu) +e = ln ( ) + e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 7 / 45 Supstitucija u odredenom integralu Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (c) π 8 cos(4x)dx t t + dt e x dx + ex Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 8 / 45
15 Supstitucija u odredenom integralu Rješenje : (a) (c) π 8 cos(4x)dx = t t + dt = e x dx = + ex t=4x dt=4dx x π 8 t π u=t + du=tdt t u u=e x du=e x dx x u e = = π e = cost dt 4 = ) (sint π 4 = 4. du u = 3 (u3/ )= 3 ( 8 ) + u du = arctgu e = arctge π 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 9 / 45 PARCIJALNA INTEGRACIJA Stavimo u = f (x), v = g(x) v Sa površina sa slike desno iščitavamo vezu: udv + vdu = uv udv vdu u Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45
16 Integral f (x)g (x)dx računamo na sljedeći način: f (x)g (x)dx = = f (x)g(x) g(x)f (x)dx. u=f (x) du=f (x)dx dv=g (x)dx v=g(x) = uv vdu = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45 Primjer 5. Izračunajte integral x cosx dx. Rješenje: x }{{} u } cosx {{ dx } = u=x du=dx dv = x sinx + cosx + c. dv=cosxdx v=sinx = uv vdu = x sinx sinxdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 3 / 45
17 Primjer 6. Izračunajte integral lnx dx. Rješenje: }{{} lnx }{{} dx u dv = x lnx = u=lnx du= x dx dv=dx v=x dx = x lnx x + c. = uv vdu =(lnx)x x xdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 33 / 45 Zadatak 3. Izračunajte sljedeće integrale: (a) xe x dx x cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 34 / 45
18 Zadatak 4. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (x + )sinx dx (x )e 3x dx (c) x lnx dx (d) x e 3x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 35 / 45 Rješenje 3: (a) xe x dx = u=x du=dx dv=e x dx v=e = xe x x e x dx = xe x e x + c x cosx dx= u=x du=xdx = x sinx x sinxdx = dv=cosxdx v=sinx = u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx = x sinx (x( cosx)+ cosxdx)= = x sinx + x cosx cosxdx = x sinx + x cosx sinx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 36 / 45
19 Rješenje 4: (a) (x + )cosx + sinx + c e 3x ( 3 (x ) 9) + c (c) x 3 3 ln x x c (d) e 3x ( x 3 x ) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 37 / 45 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Zadatak 5. Supstitucijom i parcijalnom integracijom izračunajte sljedeće integrale: (a) x 3 cos(x ) dx e x sinx dx (c) arcsin xdx (d) xarctg xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 38 / 45
20 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Rješenje 5: (a) x 3 cos(x )dx = t=x = t cost dt= u=t du=dt dt=xdx dv=costdt v=sint = = t sint sint dt= t sint + cost + c = x sin(x )+cos(x )+c e x sinx dx= u=e x du=e x dx dv=sinxdx v= cosx = cosx e x + e x cosx dx = u=e x du=e x dx dv=cosx dx v=sinx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx e x sinx dx= cosx e x + sinxe x e x sinx dx= ex ( cosx + sinx)+c (c) arcsin xdx= u=arcsinx du= x dx = dv=dx v=x x x arcsinx dx = t= x x dt= x = x arcsinx + dt = x x arcsinx + t + c ==x arcsinx + x + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 39 / 45 Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Rješenje 5: (d) xarctg xdx= x arctg x x ( + x ) = x arctg x (x arctg x)+c. u=arctg x du= +x dx dv=xdx v= x = dx ==x arctg x ( + x ) dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45
21 u odredenom integralu PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU b b udv= uv b a vdu a a Zadatak 6. Izračunajte integral: e lnx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45 u odredenom integralu Zadatak 7. Izračunajte površinu sa slike: y f (x) = x sin x x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 4 / 45
22 u odredenom integralu Rješenje 6: e lnx dx= Rješenje 7: 3π π x sinx dx= u=lnx du= x dx dv=dx v=x = x lnx e e u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx x dx =. x 3π = x cosx 3π + π π cosx dx= 5π. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 43 / 45 u odredenom integralu Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: 3 7 (a) x 3 dx dx x x + 3 x x + 7 dx (c) (d) tgx dx (e) π π 4 (f) ctgx dx 6x x sinx x 3 x + cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 44 / 45
23 u odredenom integralu Rješenje 8: (a) 7 ln3 arctg( x ) + c (c) ln(x + 7)+c (d) ln cosx + c (e) ln( ) (f) ln x 3 x + cosx + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje-4 45 / 45
Neodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f
8 DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadata. Nadite f (x) ao je (a) f(x) = ( + x ) arctg x (b) f(x) = e x cos x (a)
C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b
C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,
MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 3 Kolokviji........................................................... 4 drugi kolokvij, 8.2.2003............................................... 5 drugi kolokvij,
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8 siječnja 00 Sadržaj Funkcije 5 Nizovi 7 3 Infimum i supremum 9 4 Neprekidnost i es 39 3 4 SADRZ AJ Funkcije 5 6 FUNKCIJE Nizovi Definicija Niz je
PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
Nastavno pismo 3
Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom
07jeli.DVI
Osječki matematički list 1(1), 85 94 85 Primjena karakterističnih funkcija u statistici Slobodan Jelić Sažetak. U ovom radu odred ene su funkcije distribucije aritmetičke sredine slučajnog uzorka duljine
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA ZA RJEŠAVANJE ODREĐENIH INTEGRALA I IZRAČUNA DERIVACIJE
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje 0. (Vladimir Marinkov).nb Kvadratna jednačina. Rešiti jednačine: a x 8 b x 0 c x d x x x e x x x f x 8 x 6 x x 6 rešenje: a) x,, b x,, c x,,d x, 6, e x,, (f) x,.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Elma Daferović HIJERARHIJA KONVEKSNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: prof. dr. sc. Sanja Varošanec Zagreb, srpanj 218.
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim
Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i primjene Završni rad Osijek, 2018. Sveučilište J. J. Strossmayera
(Microsoft Word doma\346a zada\346a)
1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
Studij Ime i prezime Broj bodova MATEMATIKA 2 1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minut
1. dio, grupa A 1. kolokvij 12. travnja 2019. Kolokvij se sastoji od dva dijela koja se pi²u po 55 minuta. Od pomagala su dopu²teni ravnala, trokuti, kutomjer i ²estar. Svaki zadatak se mora pisati na
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Igor Sušić LOKALNA IZRAČUNLJIVOST Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, lipanj 015. Ovaj diplomski
Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST
PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE PERIODIČNOST FUNKCIJE PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je parna i tada je grafik simetričan u odnosu na y osu Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je neparna
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ јануар 0. год.. Потрошач чија је привидна снага S =500kVA и фактор снаге cosφ=0.8 (индуктивно) прикључен је на мрежу 3x380V, 50Hz. У циљу компензације реактивне снаге, паралелно са
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46 Sadržaj predavanja dodatka
Jednadžbe - ponavljanje
PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili
Gajo Vučinić
VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL Stručni studij Strojarstva Gajo Vučinić Jednostavni programski alati za crtanje grafa funkcije Završni rad Karlovac, 2017. VELEUČILIŠTE U KARLOVCU STROJARSKI ODJEL
Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]](/thumbs/99/140947091.jpg "Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]")
6. STABILNOST KONSTRUKCIJA II čas Marija Nefovska-Danilović 3. Stabilnost konstrukcija 1 6.2 Osnovne jednačine štapa 6.2.1 Linearna teorija štapa Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet
MatematikaII.dvi
Sadržaj 1 Diferencijalne jednačine 1 1.1 Diferencijalne jednačine prvog reda....................... 2 1.1.1 Jednačina sa razdvojenim promjenljivima............... 4 1.1.2 Homogena jednačina...........................
Microsoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ 1 фебруар 1. год. 1. Пећ сачињена од три грејача отпорности R=6Ω, везана у звезду, напаја се са мреже xv, 5Hz, преко три фазна регулатора, као на слици. Угао "паљења" тиристора је
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja
Vjezbe 1.dvi
Matematia I Elvis Baraović 0 listopada 08 Prirodno-matematiči faultet Univerziteta u Tuzli, Odsje matematia, Univerzitetsa 75000 Tuzla;http://pmfuntzba/staff/elvisbaraovic/ Sadržaj Sup realnih brojeva
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)
VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( III EO) Izčunvnje povšine u vni pimenom dvostukog integl Povšin olsti u vni O može se nći po fomuli: P = dd Pime. Izčunj povšinu ogničenu sledećim linijm: =, =, i =. Njpe
Microsoft Word - 4.Ee1.AC-DC_pretvaraci.10
AC-DC ПРЕТВАРАЧИ (ИСПРАВЉАЧИ) Задатак 1. Једнофазни исправљач са повратном диодом, са слике 1, прикључен на напон 1 V, 5 Hz напаја потрошач велике индуктивности струјом од 1 А. Нацртати таласне облике
Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna
1. zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne snage osnovnog harmonika. Induktivnost prigušnice jednaka je L = 10 mh, frekvencija mrežnog
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _2.deo_
IZVODI ZADACI ( II deo U ovom del ćemo pokšati da vam objasnimo traženje izvoda složenih fnkcija. Prvo da razjasnimo koja je fnkcija složena? Pa, najprostije rečeno, to je svaka fnkcija koje nema tablici
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
I Jednadžbe magnetostatike Odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi II Energija polja TDM relacije #5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžb
#5 Makroskopska magnetostatika I Makroskopske jednadžbe magnetostatike II Termodinamički potencijali predavanja 20** Jednadžbe magnetostatike Magnetske odzivne funkcije Rješavanje jednadžbi magnetostatike
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori
1. (ukuno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Poravni isit 7. rujna 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni airi i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (4 boda) Neka je nerazan sku. Precizno definirajte ojam σ-rstena
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 24 uzoraka seruma (µmol/l):
Zadatak 1 U tablici se nalaze podaci dobiveni odredivanjem bilirubina u 4 uzoraka seruma (µmol/l): 1.8 13.8 15.9 14.7 13.7 14.7 13.5 1.4 13 14.4 15 13.1 13. 15.1 13.3 14.4 1.4 15.3 13.4 15.7 15.1 14.5
LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren
LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Reeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren skup, ima u taqki (a, b, c) X lokalni minimum (maksimum)
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _4. deo_
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a
INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matmatik u industrijskom inžnjrstvu, 6.9... Diskutovati po a, b R i ršiti sistm linarnih jdnačina b + by = a. Za linarnu funkciju f(,, 3 = 3 3 izračunati minimum i tačku
Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala analiza Irfan Glogić, Harun Šiljak When guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral,
Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs
Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy
Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.
Besselove funkcije y(x) = m=0 a m x m+σ, x 2 y + xy + (x 2 ν 2 )y = 0 σ 2 = ν 2 (1 ± 2ν)a 1 = 0; n(n ± 2ν)a n + a n 2 = 0 za n 2. J ν (x) = n=0 Besselove funkcije prve vrste reda ν. ( 1) n ( x ) ν+2n n!γ(ν
Microsoft Word - 12ms101
Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +
Електротехнички факултет Универзитета у Београду Катедра за рачунарску технику и информатику Kолоквијум из Интелигентних система Колоквију
Електротехнички факултет Универзитета у Београду 19.11.017. Катедра за рачунарску технику и информатику Kолоквијум из Интелигентних система Колоквијум траје h. Напуштање сале дозвољено је након 1h. Употреба
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da
(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)
VIŠESTRUKI INTEGRALI - ZAACI ( I EO) vostruki integrli-odredjivnje grnic integrcije Prv stvr s kojom se susrećemo kod dvojnih integrl je odredjivnje grnice integrcije. Z skoro svki zdtk mormo crtti sliku
Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc
INTEGRALI ZADAI ( II DEO) INTEGRAIJA POMOĆU SMENE Ako uvedemo smenu = g( ) ond je d= g`( ) i počeni inegrl f ( ) d posje: f ( ) d= f ( g( )) g`( ) Z poček evo jednog sve: z smenu biri izrz čiji je izvod
Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979
Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc
KRIVOLINIJSKI INTEGRALI ZADACI ( I DEO) Krivolinijski inegrli prve vrse. Izrčuni krivolinijski inegrl ds ko je deo prve = izmeñu čk (, ) i (,). D se podseimo: b Ako je kriv d u obliku : =() b d je: f (,
MatematikaRS_2.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: drugi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Teme: 1. Trigonometrija trougla (18) 2. Stepeni
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
3. КРИВОЛИНИЈСКИ ИНТЕГРАЛ
УНИВЕРЗИТЕТ У БАЊОЈ ЛУЦИ МАШИНСКИ ФАКУЛТЕТ МАТЕМАТИКА 3- ПРЕДАВАЊА Aкадемска 207/208 6. ИНТЕГРАЦИЈА ФУНКЦИЈА КОМПЛЕКСНЕ ПРОМЈЕНЉИВЕ 6.. Интеграл функције комплексне промјенљиве 6.2. Кошијева интегрална
Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2
Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / I - Ako su Φ = r sin φ + θ ; F = r sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log sin x y+z ; E = ρ z ρ gdje su (r, θ, φ) Krtezijeve koordinte, (r, θ, φ) sferne
Microsoft Word - Integrali III deo.doc
INTEGRALI ZADACI (III-DEO) PARCIJALNA INTEGRACIJA Ako su u i diferencijbilne funkcije od, ond je : ud= u du O meod, prcijln inegrcij, po prilu je n počeku proučnj slbo rzumlji. Mi ćemo pokuši, koliko o
Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx
Univerzitet u Tuzli ZBIRKA zdtk s prijemnih ispit iz Mtemtike n Fkultetu elektrotehnike u periodu od 0-0 godine (z studijski progrm "Tehnički odgoj i informtik") Tuzl, mj 08 TEHNIČKI ODGOJ I INFORMATIKA
Microsoft Word - SVODJENJE NA I KVADRAT.doc
SVODJENJE NA I KVADRAT Ka št sm videli d sada, trignmetrijske funkcije uglva I kvadranta izračunavaju se na isti način ka trignmetrijske funkcije štrih uglva pravuglg trugla. Pkazaćem da se prek frmula,
Slide 1
OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vu
Matematički fakultet Univerzitet u Beogradu Elementarne funkcije i preslikavanja u analizi Master rad Mentor: dr Miodrag Mateljević Student: Marija Vujičić 1045/2015 Beograd, 2018. Sadržaj 1 Uvod 2 2 Stepena
M-2-Kvadratna jednadžba 2. KVADRATNE JEDNADŽBE 2.1. Kvadratna jednadžba Primjeri: 1 Matematika 2 kvadratna jednadžba kompletno riješ
2. KVADRATNE JEDNADŽBE 2.1. Kvadratna jednadžba Primjeri: www.mim-sraga.com 1 Matematika 2 kvadratna jednadžba kompletno riješeni zadaci po školskoj zbirci zadatke riješio Mladen Sraga U ovom dokumentu
Kontinuirani sustavi
Signali i sstavi Aditorn vjžb 8. Kontinirani sstavi Zadatak. Kontinirani sstav zadan j modlom na slici. Odrdit difrncijaln jdnadžb koja opisj ovaj sstav i izračnajt odziv na pobd: (t) U cos(ω t) - x x
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
4.1 The Concepts of Force and Mass
UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne
( )
Заштита животне средине Основе механике (кратак преглед предмета) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj 1. Информациjе о предмету
Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23
i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas
4.1 The Concepts of Force and Mass
Kinematika u dvije dimenzije FIZIKA PSS-GRAD 11. listopada 017. PRAVOKUTNI KOORDINATNI SUSTAV U RAVNINI I PROSTORU y Z (,3) 3 ( 3,1) 1 (0,0) 3 1 1 (x,y,z) x 3 1 O ( 1.5,.5) 3 x y z Y X PITANJA ZA PONAVLJANJE
Microsoft Word - Drugi dio teorije iz matematike 2
rugi dio eorije i eie Одређени интеграли појам интегралне суме Дефиниција Криволинијски трапез представља фигуру ограничену осом O линијом с којом праве које су паралелне са осом O могу да се секу највише
Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Problem površine - odredeni integrl Mtemtik 2 Ern Begović Kovč, 2019. Litertur: I. Gusić, Lekcije iz Mtemtike 2 http://mtemtik.fkit.hr Uvod Formule z površinu geometrijskih likov omedenih dužinm (rvnim
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić
MATEMATIKA Preddiplomski studij molekularne biologije Damir Bakić i Predgovor Ovo je nastavni materijal za kolegij Matematika namijenjen studentima preddiplomskog studija biologije, smjer Molekularna biologija.
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte