LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENǈIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenǉive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

Величина: px

Почињати приказ од странице:

Download "LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENǈIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenǉive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren"

Zlata Miletić
пре 4 година
Прикази:

1 LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENǈIVE Reeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenǉive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren skup, ima u taqki (a, b, c) X lokalni minimum (maksimum) ako postoji okolina U taqke (a, b, c) takva da vaжi f(, y, z) f(a, b, c) (f(, y, z) f(a, b, c)) za svako (, y, z) U. Neophodan uslov za lokalni ekstremum Ako u taqki (a, b, c) X postoji gradijent funkcije f i ako funkcija u toj taqki ima lokalni ekstremum, tada je f(a, b, c) = 0. Dovoǉan uslov za lokalni ekstremum Neka je (a, b, c) stacionarna taqka funkcije f. Ako je d f(a, b, c) > 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni minimum. Ako je d f(a, b, c) < 0 za d + dy + dz 0, tada funkcija f u taqki (a, b, c) ima lokalni maksimum. Ako d f(a, b, c) za d + dy + dz 0 meǌa znak, tada funkcija f u taqki a nema lokalni ekstremum. Navedeni uslovi nisu i neophodni. U ostalim sluqajevima, kao i u sluqaju kritiqne taqke koja nije stacionarna, postojaǌe lokalnog ekstremuma se proverava na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Silvesterov kriterijum za n = 3 Neka je A( 0, y 0, z 0 ) stacionarna taqka funkcije f i neka su m 1, m, m 3 glavni minori Heseove matrice f (A) f y(a) f z(a) H f (A) = f y(a) f y (A) f yz(a). f z(a) f zy(a) f z (A) Tada vaжe slede a tvrđeǌa. Ako je m 1 > 0, m > 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni minimum. Ako je m 1 < 0, m > 0, m 3 < 0, tada funkcija f u taqki A ima lokalni maksimum. 1

2 Ako je m < 0 ili m 1 > 0, m 3 < 0 ili m 1 < 0, m 3 > 0, tada funkcija f u taqki A nema lokalni ekstremum. U ostalim sluqajevima (na primer, m 1 > 0, m > 0, m 3 = 0) postojaǌe lokalnog ekstremuma u taqki A treba proveriti na osnovu definicije lokalnog ekstremuma. Reeni primeri Za datu funkciju tri promenǉive odrediti sve lokalne ekstremume (ako postoje). 1. f(, y, z) = + y + z yz. Zadatak je reen u [1].. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u [5]. 3. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u [5]. 4z + z 4. f(, y, z) = e y (yz z ), y 0. Zadatak je reen u []. 5. f(, y, z) = + yz + y y. Zadatak je reen u []. 6. f(, y, z) = e z/ ( z + + y 3z 6 ). Zadatak je reen u []. 7. f(, y, z) = + y + + 4y + z + z. z Zadatak je reen u []. 8. f(, y, z) = e / ( y + z z ). Zadatak je reen u []. 9. f(, y, z) = + y 4 + z + z Zadatak je reen u []. ( ) 10. f(, y, z) = e +y + y + z z. Zadatak je reen u []. 11. f(, y, z) = + y + 3z + z yz. Zadatak je reen u []. 1. f(, y, z) = + y + + y + z. z

3 Zadatak je reen u []. 13. f(, y, z) = + y + z + y 4z. Zadatak je reen u []. 14. f(, y, z) = + y Zadatak je reen u []. 15. f(, y, z) = y Zadatak je reen u []. 4z + z + y z 4 + z. 16. f(, y, z) = yz(1 y z),, y, z > 0. Zadatak je reen u []. 17. f(, y, z) = y z + y + yz. Zadatak je reen u []. 18. f(, y, z) = ( 1) + y 3 + 6y + z + z. Zadatak je reen u [6]. 19. f(, y, z) = y + z y + y 3 + z. Zadatak je reen u [6]. 0. f(, y, z) = + y + z y + 4z. Zadatak je reen u [6]. 1. f(, y, z) = + y + z + (4 y z). Zadatak je reen u [6].. f(, y, z) = yz(1 y z). Zadatak je reen u [6]. 3. f(, y, z) = y z 3 (1 y 3z), > 0, y > 0, z > 0. Zadatak je reen u [6]. 4. f(, y, z) = y Zadatak je reen u [6]. + y z 4 + z. 5. f(, y, z) = + y 4 + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 6. f(, y, z) = + y + z y + z. Zadatak je reen u [6]. 3

4 7. f(, y, z) = 3 ln + ln y + 5 ln z + ln( y z). Zadatak je reen u [6]. 8. f(, y, z) = ( + y + z)e ( +y +z ). Zadatak je reen u [6]. Zadaci za samostalan rad 9. f(, y, z) = + y + z + + 4y 6z. 30. f(, y, z) = + y z 4 + 6y z. 31. f(, y, z) = y z 6 + 4y z f(, y, z) = + y + z + zy + y z. 33. f(, y, z) = 6 + z + y yz + z + y + 4z f(, y, z) = + y + (z + 1) y f(, y, z) = + y + z + yz. 36. f(, y, z) = yz y z. 37. f(, y, z) = y + + z 4y z. 38. f(, y, z) = z z + y y. 39. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 40. f(, y, z) = 3 + y + z + 6y 4z. 41. f(, y, z) = 3 + y + z + 1y + z. 4. f(, y, z) = y z y + z y. 43. f(, y, z) = z y 3z. 44. f(, y, z) = y + z + 6y z f(, y, z) = 3 + y 3 z + 5y + z. 46. f(, y, z) = 3 + z 3 + y + y + yz. 47. f(, y, z) = 3 + y + z y + z yz + 3z. 48. f(, y, z) = 3 + y + z 3z y + z. 49. f(, y, z) = y + z + 1y y + 4z f(, y, z) = 4 y 4 z 4 + 4yz. 51. f(, y, z) = ( + y ) + z y. 5. f(, y, z) = yz(16 y z). 53. f(, y, z) = 3 yz y z. 4

5 54. f(, y, z) = y z 3 (49 y 3z). 55. f(, y, z) = y + 1 z + yz. 56. f(, y, z) = 1 z + z y + y f(, y, z) = yz + y z + z 58. f(, y, z) = 56 + y + y z + z. 59. f(, y, z) = + y + ln(1 + z ). 60. f(, y, z) = ( + 7z)e y z. 61. f(, y, z) = (3 + y + z)e y z. 6. f(, y, z) = sin + sin y + sin z sin( + y + z),, y, z (0, π). Literatura [1] Stojanovi, M., Mihi, O., Matematika, FON, Beograd, 013. [] ori, D., Matematika - reeni primeri sa ispita i kolokvijuma, FON, Beograd, 014. [3] Todorqevi, V., ami, D., Mladenovi, N., Nikoli, N., Matematika - zbirka zadataka, FON, Beograd, 016. [4] ori, D., Lazovi, R., Jovanov.,., Matematika - zbirka zadataka i primeri kolokvijuma, FON, Beograd, 009. [Stara zbirka] [5] ori, Reeni primeri prvog kolokvijuma - primera prvog kolokvijuma sa kompletnim reeǌima zadataka, [6] ori, Zadaci stari, reeǌa nova - reeǌa zadataka 6. teme iz Stare zbirke (zbirke [4]), 5

Слични документи

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln