Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Транскрипт

1 INTEGRALI ZADAI ( II DEO) INTEGRAIJA POMOĆU SMENE Ako uvedemo smenu = g( ) ond je d= g`( ) i počeni inegrl f ( ) d posje: f ( ) d= f ( g( )) g`( ) Z poček evo jednog sve: z smenu biri izrz čiji je izvod uz d. Smen usvri, proso rečeno, znči d u dom inegrlu nešo (recimo Ω )izberemo d je. Od og ndjemo izvod i Ω= o zmenimo u počeni inegrl, koji je sd sve '' po ''.. Ω `d = Primeri: d + Vidimo d uz d immo izrz. Rzmišljmo od čeg je izvod Znmo d je ( )` = i o ćemo izbri ko smenu. Još je pmenije d uzmemo ceo izrz + d nm bude smen jer je izvod od konsne 0. [ ( )` + = ] d + = = = = ln + = kd rešimo inegrl 'po ', + d= ond vrimo smenu i dobijmo rešenje 'po ' = ln + + d + I ovde slično rzmišljmo, izvod od + je i o je pogodno z smenu, l š ćemo s onom rojkom Ne brinie, znmo d konsn uvek može d ide ispred inegrl po prvilu A f ( ) d= A f ( ) d koje smo objsnili u prehodnom delu ( inegrli zdci I deo). + = = = = = + = d= d= d ln ln

2 5 d = + Ovj inegrl liči n blični uzei z smenu : d= ln + li umeso u imeniocu immo + 5. Zo je pmeno bš j izrz + 5= d= = = ln + = ln d= Vezno z ovkve inegrle možemo izvesi jedn zključk: d= ln ± + ± 4 ( + 5) d Ovj inegrl je sličn prehodnom, li pzie jer u imeniocu je sepen izrz p on ne ide u ln = d= = = = + = + = + ( + 5) d= + ( + 5) 5 sin cos d= Uz d immo cos, kko znmo d je izvod od (sin)`=cos, jsno je d će o i bii smen. sin = sin sin cos d= = = + = + cos d= 6 d e = d d e d= = e = e = e + = e + = =

3 7 cgd Ovde njpre mormo uporebii idenie cos cg=, p ek ond uzei smenu: sin cos sin = cgd= d= = = ln + = ln sin + sin cos d= 8 rcgy dy + y Vidie i smi d se bez znnj izvod eško može rzumei meod smene, zo vm sveujemo d prvo njih dobro obnovie p ek ond d se probe s inegrlim ( fjlovi izvodi zdci I,II III deo) rcgy= rcgy ( rcgy) dy= = = + = + + y dy= + y 9 d Ovde uz d immo imenilc d bi dobili I znmo d je izvod od ( )`= u imeniocu nemmo = d d = = 6 = = + 4 ( ) + 4 d= d= Zo ćemo mi mlo preprvii Ovde ćemo uporebii blični inegrl d= rcg + li mormo njpre odredii. + = = = rcg + = rcg

4 Kd smo već uporebili ovj blični inegrl, ko se seće, mi smo pomenuli d ne dozvoljvju svi profesori d se on korisi. P d vidimo kko smo mi njeg rešili meodom smene: 0 d= rcg + TABLIČNI + Dokz: = d= d= d= = = + [ + ( ) ] [ + ( ) ] d [ + ] = d= = rcg+ = rcg + [ + ] = [ + ] 5+ d= Ovde je dkle smo problem odredii vrednos z. d= d= [ovde je dkle =5] = rcg Sličn siucij je i s : d= + TABLIČNI Dokz: rcsin d= d= d d d = = [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) = = = = d = = rcsin + = rcsin + = d= 4

5 5 d= Ope se rži vrednos z. Ovde je mlo eže jer 5 nije kvdr nekog broj, li mi uporebimo rikče: d= d= [dkle = 5 p je] = rcsin + 5 ( 5) 5 4 sin d gde je konsn, o jes bilo koji broj. = sin d= = sin = sin = ( cos ) + = cos + d= d= Vezno z ovkve inegrle, gde umeso -s immo, možemo reći d se rde uvek s smenom =, odnosno rdimo g ko blični, ispred inegrl dodmo konsnu. N primer: cos d= sin + e d= e + id. 5 sin d Ovde nm reb rigonomerijsk formulic z sin ( pogledj prehodni fjl : inegrli zdci I deo) cos sin d= d= [ d cos d] = [ sin ] + = sin + 4 Ovde smo u rdu iskorisili zključk iz prehodnog zdk cos d= sin. 5

6 6 cos d Ope mor rigonomerij cos = + cos + cos cos d= d= [+ cos ] d= = [ cos ] [ sin ] sin d+ d = + + = d sin = Ovj zdk možemo rešii n više nčin. Uporebićemo rikče : d sin sin sin = d = d= sin sin sin sin cos d Sd već immo očiglednu smenu... cos = sin d= sin d= = = sin d= cos d Ovo je blični inegrl = ln + p je + cos = ln + = ln + + cos + Rešenje može osi i ovkvo, li ćemo g mi nmerno mlo preprvii jer se ovj inegrl može elegnnije rešii preko rigonomerijskih smen, mo će rešenje izgledi bš ko... cos cos cos ln ln ln + = + = + = ln g + cos + cos + cos + 6

7 8 + d d= d= ovde je rik izvršii rcionlizciju = d= Sd ćemo ovj inegrl rsvii n dv... = d d prvi je blični drugi ćemo rešii smenom( n = srnu) = d= ( ) d= = ( ) = + = + = Vrimo se u dosdšnje rešenje i immo: = d d= rcsin ( ) + = rcsin + + 7