Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Транскрипт

1 4. UČENIK UME DA IZRAČUNA POVRŠINU I ZAPREMINU PRIZME I PIRAMIDE U SLUČAJEVIMA KADA NEOPODNI ELEMENTI NISU DATI KOCKA D= d = P= 6 V= mrež kocke Kock im 1 ivic dužine. Ml dijgonl ( dijgonl onove) je d =. Velik ( telen) dijgonl je D= d = dijgonlni preek Površin dijgonlnog preek e rčun po formuli: P = DP 1

2 KVADAR c b b c= D= + b + c d = + b b c= d c b c c b c dijgonlni preek P= ( b+ c+ bc) V = bc mrež kvdr Ml dijgonl ( dijgonl onove) e rčun d = + b to jet d = + b Velik dijgonl e rčun D = + b +c to jet D= + b + c Dijgonlni preek je prvougonik površine PDP = d c Površin vke prizme e izržv formulom: P= B+ M Zpremin vke prizme e izrčunv formulom: V = B

3 PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PRIZMA mrež B= je površin onove(bze) 4 M = je površin omotč P= B+ M P= + 4 P= + V = B V = 4

4 PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA PRIZMA Površin bze i površin omotč u: B = = M 4 P= B+ M V = B P = + 4 = V D D d d = dijgonlni preek dijgonlni preek D = ( ) + Površin dijgonlnog preek e izrčunv: P= d P= 4

5 PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA PRIZMA Površin bze i omotč u: Površin i zpremin cele tkve prizme je: B= 6 = M = 6 4 P= B+ M V = B P= + 6 V = P 6 V = + = Što e tiče primene Pitgorine teoreme, immo ledeće itucije: 5

6 d BS d BS D D d BS D d1 = d = Bočn trn d BS = + d = 1 Veći dijgonlni preek d = Mnji dijgonlni preek Još mo d vm npomenemo d primen Pitgorine teoreme n bočnu trnu : d BS Bočn trn d BS = + vži kod vke od nvedeni prvilni prizmi! Četo e u zdcim jvljju prizme koje niu prvilne, odnono u onovi e ne nlzi prviln mnogougo. Evo nekoliko četi itucij: 6

7 Ako je u onovi romb d 1 d Ovde Pitgorinu teoremu primenjujemo u onovi: d1 d + = d1 d Površin bze je B= površin omotč je M = 4 Površin i zpremin ove prizme je: P= B+ M V = B d1 d d1 d P= + 4 P= d1 d+ 4 V = Ako je u onovi prvougli trougo b c b Površin bze je P= B+ M c b c B= ili B= c površin omotč: M = + b + c M = ( + b+ c) V = B b b P= + ( + b+ c) P= b+ ( + b+ c) V = Dlje, u zdcim prizmom četo e dju uglovi ( u onovi, izmedju dijgonle i onove itd.) od 0, 60 i 45 tepeni. Št rditi u ituciji kd je dt ugo od 0 ili 60 tepeni? Ond vršimo dopunu do jednkotrničnog trougl i tržimo vezu izmedju poznti i nepoznti podtk! 7

8 0 o 0 o 0 o o 60 o 60 o / / 60 o Ovo je itucij kd je dt ugo od 60 tepeni. o 60 o / 60 o 0 o 0 o / 60 o 0 o Ovo je itucij kd je dt ugo od 0 tepeni. Kd nm je dt ugo od 45 tepeni vršimo dopunu do punog kvdrt! 45 o 45 o 45 o 45 o 45 o 45 o SAVETI: 1. Nprvite modele ovi prizmi koriteći mreže koje mo vm ncrtli, tko ćete bolje uočvti vezu izmedju element.. Nemojte formule d učite npmet, nego koriteći model nučite njpre d ncrtte liku ztim d nje klopite trženu formulu. Ako vm je u zdtku dt B, M, V ili P, npišete formulu z to i tu zmenite ve što je dto. Dobićete novi podtk. 8

9 PRAVA PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA r o r u B= 4 omotč čine tri jednkokrk trougl M = U omotču e nlze tri jednkokrk trougl ( površin jednog od nji je omotču, to je: M = P bočne trne = ), kko i im u Formule z površinu i zpreminu će biti: P= B+ M P= V = B 1 V = 4 V = 1 = + / Ov Pitgorin teorem je im kod vke pirmide! r o r u = + r u to jet = + 6 E ov i ledeć u mo z trotrnu pirmidu ( prvu i prvilnu) 9

10 r o r u = + r o to jet = + PRAVA PRAVILNA ČETVOROSTRANA PIRAMIDA omotč čine četiri jednkokrk trougl M = 4 = B= Površine bze i omotč u dkle: = i M = 4 odnono M = B A površin i zpremin cele pirmide u: 1 V = B P= B+ M 1 P= + V = Pitgorin teorem e primenjuje: 10

11 / = + Ovo je on što vži z vku pirmidu. Sledeće dve u mo z prvu prvilnu četvorotrnu: / = + d/ d = + = + = + od n on o to jet Četo e u zdcim dje i dijgonlni preek: d dijgonlni preek Površin dijgonlnog preek( trougo ) je: P P DP DP d = = odnono 11

12 PRAVA PRAVILNA ŠESTOSTRANA PIRAMIDA B= 6 4 omotč čine šet jednkokrk trougl M = 6 = Površine bze i omotč u dkle: B= = M = 6 = 6 4 A površin i zpremin cele pirmide u: P= B+ M P= + 1 V = B V = 1 V = Pitgorin teorem e primenjuje n tri trougl ( ko i kod pretodne dve pirmide) / = + Ov vži kod vke. 1

13 = + = + Kod šetotrne pirmide rzlikujemo dv dijgonln preek: Veći dijgonlni preek: veći dijgonlni preek P ovog dijgonlnog preek je : P vdp = to jet Pvdp = Mnji dijgonlni preek: preek mnji dijgonlni preek P ovog dijgonlnog preek je : P mdp = preek SAVET: Pre nego što krenete proučvnjem zdtk, nučite formule i d ncrtte pirmidu! Ali, ko formule učite npmet, one otnu u glvi dv - tri dn i ipre... Zto nučite d formule klpte čitjući like! Recimo, kžu u zdtku d e rdi o prvoj prvilnoj jednkoivičnoj trotrnoj pirmidi. Kko će izgledti formule z površinu i zpreminu? 1

14 mrež Ko što vidimo, njen površin e toji iz 4 jednkotrničn trougl p je: P= 4 4 P= Z zpreminu će nm trebti i viin izržen preko onovne ivice. Primenjujemo Pitgorinu teoremu: r o r = 0 + r = o + = = 9 = = 9 9 = = = I d je lko nći i zpreminu. Četo e u zdcim dje ugo od 0, 60 ili 45 tepeni. D objnimo o kom uglu e rdi! Ako u tektu zdtk piše d je to ugo BOČNE IVICE PREMA RAVNI OSNOVE ond e rdi o uglu: 14

15 15 r r o u dti ugo dti ugo dti ugo Ako u tektu zdtk piše d je to ugo BOČNE STRANE PREMA RAVNI OSNOVE ond e rdi o uglu: r r o u / dti ugo dti ugo dti ugo Evo d urdjeni primer iz zbirke z pripremu mle mture 01. godine:

16 Rešenje: Iz obim velikog krug lopte ćemo izrčunti poluprečnik lopte: O= rπ 15, 6= r,14 15,6= 6, 8r Pogledjmo liku: r= 15,6 6, 8 r= 0cm r= Vidimo d je poluprečnik lopte jednk polovini trnice kocke. Ond je = r, p je = 40cm. Odgovor n potvljeno pitnje je pod: б) kutij ivice 40cm. 16

17 Rešenje: S 45 o A 45 o d/ O Trougo AOS je tkodje jednkokrko prvougli, p je : d = = Podjimo d od formule z zpreminu, jer nm je on dt. 1 = zmenimo d je = V 1 V = V = 6 6 = =6 6 = = 6 6 6= 6 = 6cm Dužin onovne ivice je 6cm. 17

18 Rešenje: Krećemo od formule z površinu prizme: P= B+ M P= + 4 P= = = = = 56 4 = 4 = 4 4 = cm Viin ove prizme je cm. 18

19 Rešenje: b:c=:5 c b = 7cm b : c= : 5 b= k i c=5k V = 40cm P=? V = bc 40= 7 k 5k 40= 105k b= = 6cm k = k = k = b= k c= 5 = 10cm P= ( b+ c+ bc) P= ( ) P= ( ) P= 17 P= 44cm 4 vrtimo u i c=5k =7cm Površin kvdr je 44cm. 19

20 Rešenje: Primenom Pitgorine teoreme n oznčeni trougo ćemo nći dužinu viine pirmide. = 10cm = 1cm V =? + = 10 + = = cm 1 V = B 1 = 1 V V = + = = = = V = V = 400cm Zpremin pirmide je 400cm. 0