Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Транскрипт

1 Problem površine - odredeni integrl Mtemtik 2 Ern Begović Kovč, Litertur: I. Gusić, Lekcije iz Mtemtike 2

2 Uvod Formule z površinu geometrijskih likov omedenih dužinm (rvnim linijm) prondene su u dlekoj prošlosti (u strogrčkoj, indijskoj i rpskoj mtemtici). Puno je teže rčunti površinu likov omedenih zkrivljenim linijm. Z to ćemo koristiti integrle. 2 / 18

3 Površin ispod grf funkcije Nek je f pozitivn funkcij n segmentu [, b], tj. f (x) 0 z svki x [, b]. Problem: Treb odrediti površinu omedenu grfom funkcije f, osi x i vertiklnim prvcim x = i x = b. 3 / 18

4 Riemnnov sum Ovkvu površinu možemo približno rčunti n sljedeći nčin: Segment [, b] podijelimo n n dijelov širine x i. N svkom podsegmentu [x i 1, x i ], i = 1,..., n, odberemo točku xi (npr. uzmemo točku koj je n sredini podsegment). Vrijednost f (x i ) x i proksimir površinu nd [x i 1, x i ]. Sum S = n f (xi ) x i proksimir površinu nd [, b]. i=1 Zbroj S nzivmo Riemnnov sum. 4 / 18

5 Riemnnov sum Što su prvokutnici uži, Rimnnov sum bolje proksimir površinu pod grfom funkcije. Odredeni integrl je grnični slučj ovkvih sum, kd širin intervl teži u 0. 5 / 18

6 Odredeni integrl pozitivne funkcije Tržen površin dn je izrzom P = f (x)dx. Tj se izrz nziv odredeni integrl funkcije f n segmentu [, b]. Brojevi i b su grnice integrl, je donj grnic, b je gornj grnic. 6 / 18

7 Funkcij površine Funkcij površine P(x) z x b definirn se ko P(x) = površin ispod grf od do x. Vrijedi P() = 0, P(b) = P = f (x)dx. 7 / 18

8 Primjer 1 Odredite funkciju P(x) ko je f (x) = x, = 1. 8 / 18

9 Diferencijl površine Z prirst površine P(x) = P(x + x) P(x) vrijedi P(x) f (x) x. Iz tog slijedi formul z diferencijl površine dp(x) = f (x)dx. Ovu vezu možemo zpisti ko dp(x) dx = f (x), tj. P (x) = f (x). 9 / 18

10 Newton-Leibnitzov formul Nek je F nek primitivn funkcij funkcije f. Td je P(x) = F (x) + C. Vrijedi Stog je P = P(b) = P(b) 0 = P(b) P() = (F (b) C) (F () C) = F (b) F (). f (x)dx = F (b) F (), gdje je F bilo koj primitivn funkcij od f. (Rzlik F (b) F () ne ovisi o tome koji smo F izbrli.) Izrz F (b) F () često pišemo ko F (x) b p je f (x)dx = F (x) b. 10 / 18

11 Primjer 2 Odredite površinu ispod sinusoide (f (x) = sin x) z 0 x π. Primjer 3 Izrzite funkciju površine P u ovisnosti o bilo kojoj primitivnoj funkciji F od f. 11 / 18

12 Odredeni integrl negtivne funkcije Nek je f negtivn funkcij n segmentu [, b], tj. f (x) 0 z svki x [, b]. Ond definirmo f (x)dx = P. 12 / 18

13 Odredeni integrl opće funkcije Općenito, f (x)dx = P 1 P 2 + P 3 P 4 f (x)dx = (zbroj površin iznd osi x) (zbroj površin ispod osi x) 13 / 18

14 Svojstv odredenog integrl (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx αf (x)dx = α f (x)dx c f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx z c b c 14 / 18

15 Svojstv odredenog integrl f (x)dx = f (x)dx b f (x)dx = 0 Newton-Leibnitzov formul f (x)dx = F (b) F () vrijedi z svki odredeni integrl, bez obzir n funkciju f i grnice integrcije, i z svku primitivnu funkciju F od f. 15 / 18

16 Primjer 4 Geometrijski interpretirjte i izrčunjte (i) (ii) 2π π 2 3 sin xdx, (x 2 2)dx. 16 / 18

17 Zdtci 1. Geometrijski interpretirjte i izrčunjte π 0 cos xdx. 2. Objsnite zšto z bilo koju neprnu funkciju f i z bilo koji R vrijedi f (x)dx = Objsnite zšto z bilo koju prnu funkciju f i z bilo koji R vrijedi f (x)dx = 2 0 f (x)dx. 17 / 18

18 Zdtci 4. Geometrijski interpretirjte, procijenite i izrčunjte (i) (ii) (iii) (iv) (x 2 + 6x + 8)dx, (x 1) 3 dx, (x 1)(x + 1)(x 2)dx, x 3 dx. 5. Izrčunjte površinu lik omedenog prbolom y = 2x x 2 i prvcim x = 0, x = 2 i y = / 18