Microsoft PowerPoint - STABILNOST KONSTRUKCIJA 2_18 [Compatibility Mode]

Транскрипт

1 6. STABILNOST KONSTRUKCIJA II čas Marija Nefovska-Danilović 3. Stabilnost konstrukcija 1

2 6.2 Osnovne jednačine štapa Linearna teorija štapa Važe pretpostavke o geometrijskoj (1), statičkoj (2) i fizičkoj (3) linearnosti: 1) Deformacije su male ( ) 2) Pomeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila su mala u odnosu na dimenzije štapa (uslovi ravnoteže na nedeformisanom štapu) 3) Linearna veza (Hukov zakon) Linearne jednačine, jednoznačna rešenja, važi superpozicija uticaja 3. Stabilnost konstrukcija 2

3 Osnovne jednačine linearne teorije štapa za t =0 du... (1) dv... (2) dn dt px 0... (3) p 0... (4) y dm T 0... (5) 0... (6) t d M t t EI h N tt EF... (7)... (8) (A I ) 3. Stabilnost konstrukcija 3

4 6.2.2 Teorija konačnih deformacija Teorija konačnih deformacija pretpostavlja da važi Hookov zakon (pr. o fizičkoj linearnosti), a da ne važe pretpostavke o malim deformacijama, (pr. o geometrijskoj linearnosti) i malim pomeranjima (pr. o statičkoj linearnosti). Reč je o GEOMETRIJSKOJ NELINEARNOSTI. 3. Stabilnost konstrukcija 4

5 Teorija konačnih deformacija Veze deformacija i pomeranja: 3. Stabilnost konstrukcija 5

6 Teorija konačnih deformacija Uslovi ravnoteže elementa štapa 3. Stabilnost konstrukcija 6

7 Teorija konačnih deformacija Hukov zakon. Veze između deformacija i presečnih sila, temperature: d N EF 0 T M EI t t t t h 1 EF ( H cos V sin) t t *uticaj T-sila na deformaciju se zanemaruje 3. Stabilnost konstrukcija 7

8 Teorija konačnih deformacija. Osnovne jednačine: Veze deformacija-pomeranja: du (1 ) cos dv (1 ) sin Uslovi ravnoteže: dh dv p p x y 0 (3) 0 (4) dm V ( du) Hdv 0 Hukov zakon (1) (2) (5) (A) d M t t EI h (6) N 1 tt ( H cos V sin ) tt EF EF (7) 3. Stabilnost konstrukcija 8

9 Teorija konačnih deformacija Jednačine štapa (A) po teoriji konačnih deformacija predstavljaju sistem od 7 jednačina sa 7 nepoznatih: uv,,,, M, NT, Jednačine su nelinearne. U njima se javljaju proizvodi nepoznatih veličina. Složene su za rešavanje. 3. Stabilnost konstrukcija 9

10 6.2.3 Teorija drugog reda Ako uvedemo pretpostavku o malim deformacijama: 0 sin, cos a zadržimo i dalje pretpostavku da su pomeranja velika i da se uslovi ravnoteže posmatraju na deformisanom štapu, onda se jednačine uprošćavaju, a teorija u kojoj važe dodatne pretpostavke se naziva Teorija drugog reda. 3. Stabilnost konstrukcija 10

11 Teorija drugog reda Iz jednačina (A) se dobija sistem od 7 jednačina štapa po Teoriji II reda (A II ) sa 7 du dv dh px (3) (A II ) nepoznatih dv py (4),, M, HV,, dm V (1 ) H 0 (5) uv, 1 o ( H V) t t (6) EF d M t t (7) EI h (1) (2) 3. Stabilnost konstrukcija 11

12 Teorija drugog reda Jednačine predstavljaju sistem od 7 jednačina sa sedam nepoznatih. Sistem je nelinearan, jer se u uslovu ravnoteže (5) javlja proizvod statičkih i deformacijskih veličina. 3. Stabilnost konstrukcija 12

13 Teorija drugog reda Sistem se dalje može uprostiti ako uvedemo pretpostavku da se uticaj normalnih sila na deformaciju može zanemariti, zanemarimo dilataciju u trećem uslovu ravnoteže, tj. 0 Sistem se raspada na dva nezavisna sistema jednačina. Prvi sistem čine 2 jednačine za aksijalno naprezanje, a drugi 5 jednačina savijanja štapa: 3. Stabilnost konstrukcija 13

14 Teorija drugog reda. Osnovne jednačine Aksijalno naprezanje: du N EF 0 t o t 0 (1) (2) 3. Stabilnost konstrukcija 14

15 Teorija drugog reda. Osnovne jednačine Savijanje silama: Za štap sa zadatim graničnim uslovima, iz jednačine (B2) može da se direktno odredi H, tako da se sistem svodi na 4 jednačine savijanja po Teoriji II reda. U opštem sličaju sila H zavisi od ostalih sila, tj. pomeranja i obrtanja. dv dh px dv py (1) (2) (3) dm V H 0 (4) d M t t EI h (5) (B) 3. Stabilnost konstrukcija 15

16 6.2.4 Linearizovana teorija II reda Jednačine (B) su i dalje nelinearne. U praksi je dovoljno tačno ako se usvoji da je H=S, gde je S vrednost sile H određena po teoriji I reda. Na taj način sistem jednačina (B) postaje linearan, a teorija u kojoj važe načinjene pretpostavke naziva se Linearizovana teorija II reda. 3. Stabilnost konstrukcija 16

17 Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda Diferenciranjem jednačine (B4) dm V H dv d d M 2 / 2 dv d ( H dv ) uz korišćenje jednačina (B3) i (B5) dobija se: d 2 2 ( EI d 2 v 2 EI t t ) h p y d ( H dv ) / ( 1) 3. Stabilnost konstrukcija 17

18 Diferencijalna jednačina štapa po linearizovanoj teoriji II reda diferencijalna jednačina štapa po Linearizovanoj teoriji II reda: d d v d dv d t ( EI ) ( H ) p ( ) ( ) 2 2 y EI 2 t C h 3. Stabilnost konstrukcija 18

19 Prav prizmatičan štap Za prizmatičan štap EI=const, p y =p(x) i za t=0, jednačina (C) postaje: 4 2 dv 2 dv p k 4 2 EI S gde je: k, S=H EI ( x) (C ) gornji znak se odnosi na pritisak (-S), donji znak se odnosi na zatezanje (S) 3. Stabilnost konstrukcija 19

20 Rešenje diferencijalne jednačine Rešenje dif. jednačine (C ) je oblika: v( x) v ( x) v ( x) gde je: v h (x) - rešenje homogenog dela d.j. a v p (x) - partikularni integral h p 3. Stabilnost konstrukcija 20

21 Rešenje diferencijalne jednačine 1) Homogeno rešenje za pritisnut štap, S<0 v x e v x pe v x p e px I px II 2 px h( ) ( ), ( ), h III 3 px IV 4 px v ( x) p e, v ( x) p e h Karakteristična jednačina i rešenje: p ( p k ) 0 p1,2 0, p3,4 ik h h 3. Stabilnost konstrukcija 21

22 Rešenje diferencijalne jednačine v ( x) e kxe e e v ( x) kx sinkx coskx h h 0 0 ikx Euler-ove formule: ikx ikx e coskx isin kx e coskx isin kx Homogeno rešenje za pritisnut štap ikx 3. Stabilnost konstrukcija 22

23 Rešenje diferencijalne jednačine 2) Homogeno rešenje za zategnut štap, S>0 Karakteristična jednačina i rešenje: p ( p k ) 0 p1,2 0, p3,4 k v ( x) e kxe e e h 0 0 kx kx shkx e e e e, chkx 2 2 kx kx kx kx 3. Stabilnost konstrukcija 23

24 Rešenje diferencijalne jednačine Homogeno rešenje - zatezanje v ( h x ) 1 2kx 3sh kx 4ch kx, i i integracione konstante, koje se određuju iz graničnih uslova štapa 3. Stabilnost konstrukcija 24