Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

Транскрипт

1 TEORIJA IZ SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA SUKLADNOST TROKUTA SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA PROPORCIONALNOST DUŽINA SLIČNOST TROKUTA

2 6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA Sukldnost dužin Sukldnost kutov 6.2. SUKLADNOST TROKUTA Općenito o sukldnosti trokut Prv konstrukcij S-S-S Drug konstrukcij S-K-S Treć konstrukcij K-S-K Četvrt konstrukcij S-S-K 6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA Simetrl dužine Konstrukcij simetrle dužine Okomic n zdni prvc iz zdne točke Simetrl kut Konstrukcij simetrle kut Svojstv srednjice trokut 6.4. ČETIRI KARAKTERISTIČNE TOČKE TROKUTA Središte opisne kružnice Središte upisne kružnice Ortocentr Težište trokut Heronov formul z površinu trokut

3 6.5. PROPORCIONALNOST DUŽINA. TALESOV TEOREM Omjeri i rzmjeri Dijeljenje dužine u zdnom omjeru Tlesov teorem 6.6. SLIČNOST TROKUTA Općenito o sličnosti trokut Kriterij z sličnost trokut Opsezi i površine sličnih trokut Euklidov poučk

4 6.1. SUKLADNOST DUŽINA I KUTOVA Sukldnost dužin Dvije dužine i su sukldne ko su jednke duljine jednkostrničn trokut - sukldne sve strnice b b sukldne - suprotne strnice prlelogrm

5 c b b jednkokrčn trpez - sukldni krci Sukldnost kutov Dv su kut sukldn ko imju istu mjeru. Mjer kut izržv se: stupnjevim rdijnim (mjer kut u rdijnim je duljin pripdjućeg luk jedinične kružnice s središtem u vrhu kut). uni kut se dijeli n 36 jednkih dijelov svki od tih dijelov iznosi 1 jedn stupnj. Stupnj se dijeli n minute 1 6 i sekunde 1 6. uni kut im mjeru 36, ispruženi kut 18 prvi kut. Puni kut im mjeru u rdijnim 2π, ispruženi kut π, prvi kut.

6 jednkostrničn trokut - sukldn dv kut uz osnovicu b b sukldni - suprotni kutovi u prlelogrmu

7 c b b jednkokrčn trpez - sukldni kutovi uz osnovicu Kutovi s prlelnim krcim Kd su krci kutov prlelni kutovi su: sukldni ili suplementrni (zbroj mjer kutov jednk je 1 ) sukldni kutovi

8 suplementrni kutovi Poučk o vršnim kutovim Dv prvc se sijeku i određuju dv pr međusobno sukldnih kutov. C B sukldni kutovi 1 V AVB i CVD D A BVC i DVA

9 Poučk o kutovim uz presječnicu (trnsverzlu) p i q su prlelni prvci, prvc t presječnic ili trnsverzl) ih siječe. Prvc t (trnsverzl) s prlelnim prvcim p i q određuje sukldne kutove. E B D q A C EAC EBD p t presječnic ili trnsverzl Možemo li sukldne kutove oznčiti CAB i DBE? Kutovi s okomitim krcim Kutovi s okomitim krcim su: sukldni ili sumplementrni 1 1 z roj mjer kutov jednk je 18

10 sukldni kutovi suplementrni kutovi 6.2. SUKLADNOST TROKUTA Izometrij rvnine Izometrij rvnine je preslikvnje koje čuv udljenost točk. Mor biti ispunjen uvjet d su i ilo koje dvije točke u rvnini i su slike tih točk, td je

11 Sukldnost likov Kd izometrij preslikv lik n lik td je lik L sukldn. Svk dv krug jednkog polumjer su sukldn. Svk dv kvdrt su sukldn Sukldnost složenih likov nije uvijek lko utvrditi Općenito o sukldnosti trokut Trokuti su sukldni ko su im odgovrjuće strnice sukldne i odgovrjući kutovi. Oznk z sukldnost. oučci ili teoremi o sukldnosti trokut su minimlno dovoljni z sukldnost trokut Prv konstrukcij S-S-S S-S-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne sve tri strnice. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic, b i c? D i konstrukcij il moguć duljin njdulje strnice mor iti mnj od zbroj duljin preostlih dviju (nejednkost trokut).

12 1. Prenesimo šestrom duljinu odbrne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Iz ru nih točk konstruirne strnice zsijecimo kružni luk duljine i kružni luk duljine. 3. Sjecište kružnih lukov je vrh C Drug konstrukcij S-K-S S-K-S teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut među njim. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine dviju strnic b, c i kut α među njim? 1. Prenesimo šestrom duljinu od rne strnice n prvc (proizvoljno ncrtn). 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. N drugom krku konstruirnog kut nnosimo strnicu duljine b s i tko je određen vrh C.

13 6.2.4 Treć konstrukcij K-S-K K-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne jedn strnic i dv kut uz tu strnicu. Kko konstruirti trokut kojemu su zdn duljin strnice c i kutovi α i β uz tu strnicu? 1. Prenesimo šestrom duljinu strnice 2. Uz vrh A konstruirjmo kut α. 3. Uz vrh B konstruirjmo kut β. 4. U točki gdje se sijeku krkovi kutov α i β je vrh C.

14 6.2.5 Četvrt konstrukcij S-S-K S-S-K teorem o sukldnosti: Dv trokut su sukldn ko su im sukldne dvije strnice i kut nsuprot većoj strnici. Kko konstruirti trokut kojemu su zdne duljine strnic i c te kut? 1. renesimo šestrom duljinu krče strnice 2. Uz vrh C konstruirjmo kut. 3. Iz vrh B nnosimo dulju strnicu. 4. U sjecištu krk kut i dulje strnice (nnijeli u vrh B) je vrh A.

15

16 6.3. SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKUTA Simetrl dužine Simetrl dužine je prvc okomit n dužinu i prolzi polovištem. Npomen: U softveru Sketchpd ne može se simetrl ncrtti ko točk-crt. simetrl dužine A P polovište B AP = BP možemo pisti AP = PB

17 Poučk ili teorem o simetrli dužine Svk točk simetrle dužine jednko je udljen od krjnjih točk dužine. N simetrli dužine uzeli smo ilo koju točku oznčili je s C i spojili točku C s krjevim dužine.

18 Grfički dokz d je točk C jednko udljen od krjnjih točk dužine. simetrl dužine C proizvoljno odbrn točk n simetrli-bilo koj točk rvnine A P B AC = BC AP = BP APC = BPC = 90 T dv kut su sukuti. Svki od njih iznosi 90. Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krjnjih točk zdne dužine, ond t točk uvijek pripd simetrli dužine.

19 Konstrukcij simetrle dužine je zdn dužin. Opisujemo kružnicu istog polumjer većeg od i. C i D su sjecišt tih kružnic. oko zdnih točk C i D leže n simetrli dužine, prvc CD je simetrl dužine Okomic n zdni prvc iz zdne točke slik 1 slik 2

20 Zdn je prvc p i točk. Kko konstruirti prvc koji prolzi točkom P i okomit je n zdni? Iz točke P zsiječemo prvc p u točkm i (slik 1). N slici 2 točk je polovište dužine odnosno jedn od točk simetrle dužine koj leži n prvcu p. Iz g rnj h z jučuje d konstrukcij okomice n zdni prvc ne ovisi tome d li je točk n prvcu ili izvn njeg. Kd točk ne leži n prvcu (slik 1) ond smo spustili okomicu iz zdne točke. Kd je točk točki. n prvcu (slik 2) ond smo podigli okomicu u Simetrl kut Prvc koji prolzi vrhom kut i dijeli kut u dv dijel nziv se simetrl kut. Poučk ili teorem o simetrli kut Svk točk leži n simetrli kut ko i smo ko je jednko udljen od njegovih krkov. Točk T leži n simetrli kut s vrhom u V. N 1 i N 2 su nožišt okomic koje su spuštene iz točke T.

21 Trokuti VN 1 C i VN 2 C su sukldni. dvju prvokutnih trokut. je zjedničk strnic tih CVN 1 CVN 2 to znči d je točk C n simetrli kut N2 C CVN1 CVN2= 90 V N1 CN1 = CN2 oznk z sukldnost Obrt poučk o simetrli dužine Nek točk rvnine jednko je udljen od krkov dnog kut, ond t točk pripd simetrli kut.

22 Konstrukcij simetrle kut PVK QVK VPK VQK VK simetrl kut V je vrh dnog kut. Oko vrh V opišemo ilo koju kružnicu koj sječe krkove dnog kut u točkm i Q. Oko točk i Q opišemo kružnicu istog polumjer većeg od. Točk K je jedno od sjecišt.

23 6.3.3 Svojstv srednjice trokut Srednjic je simetrl koj spj polovišt dviju strnic trokut. Poučk ili teorem o simetrli kut Srednjic trokut je dužin koj prolzi polovištem jedne strnice i prleln je s drugom strnicom. Dvostruko je krć od strnice s kojom je prleln odnosno njen duljin je jednk polovini duljini te strnice. A P je polovište strnice BC, MP je srednjic trokut presječn točk M N N je polovište strnice AC, MN srednjic trokut B P C oznk z prlelno AMN = MBP SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim i jednoj strnici AM MB MNP = CPN SUKLADNI TROKUTI - podudrju se u svim trim kutovim MN = BP = PC MN = BP = 1 2 BC