PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Транскрипт

1 PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t Rexiti sistem x = y = z + u = du xy Odrediti partikularno rexee jednaqine (2x 2 y 2 ) + 2xy = 0 koje zadovo ava uslov y(1) = Odrediti opxte rexee jednaqine y y + y + y = sin x + 3xe x. 6. Rexiti sistem x 2 z = y 2 z = x + y = du x + y.

2 60 Prvi kolokvijum Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine y 3y + 2y = 2xe x. 8. Dat je sistem diferencijalnih jednaqina u = v + 8t, v = 5u v. (1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema. (2) Odrediti opxte rexee sistema. 9. Odrediti rexee sistema diferencijalnih jednaqina x y = x z = koje zadovo ava uslov x(1) = 2, z(1) = z y 10. Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine y 2y + y = xe 2x. 11. Dat je sistem diferencijalnih jednaqina u = 2u 4v + 2, v = 5u 2v 8t. (1) Odrediti fundamentalnu matricu sistema. (2) Odrediti opxte rexee sistema. 12. Odrediti rexee sistema diferencijalnih jednaqina xz = z y = y + z koje zadovo ava uslov x(1) = 1, z(1) = Rexiti diferencijalnu jednaqinu y + x 1 x 2 y = x y.

3 Prvi kolokvijum Rexiti diferencijalnu jednaqinu u + u 2 = Odrediti partikularno rexee sistema x + y = 3x + 16te t x y = x + 4y + 16te t koje zadovo ava uslove x(0) = 0 i y(0) = Rexiti diferencijalnu jednaqinu z Rexiti diferencijalnu jednaqinu x 1 + x 2 z = x z. u u 2 = Odrediti partikularno rexee sistema y x = 3x 5y + t x + y = x + 3y koje zadovo ava uslove x(0) = 1 i y(0) = Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine y = y + 2 y 2x + tan x + 1 x Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine y + 6y + 9y = 6xe 3x + 18 koje zadovo ava uslove y(0) = 2 i y (0) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina xz = yz x = z 2.

4 62 Prvi kolokvijum Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine (y + 1) ln y + x x + 3 = y + x x Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine y 6y + 9y = 2e 3x + 27x koje zadovo ava uslove y(0) = 1 i y (0) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x 2 = xy 2z 2 = xz Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine 2x 3 + 5y y 3 y = 3x2 + y 2 y Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine y 4y 5y = 3xe x + 3e 2x koje zadovo ava uslove y(0) = 2 i y (0) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x = y xy 2 = xy Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine 2y x 3 x 3 y = 3y2 + 2x x 4.

5 Prvi kolokvijum Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine y 4y + 5y = e 2x + 5x 2 + x 2 koje zadovo ava uslove y(0) = 0 i y (0) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x y = 2(xy + 2y y) = x Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine (2y x + 1) + (2x 4y + 1) = 0 koje zadovo ava uslov y(2) = Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine y + y (y + 2e y/2 y ) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x = y + t, y = x Odrediti partikularno rexee diferencijalne jednaqine (4x 2y + 1) + (y 2x 3) = 0 koje zadovo ava uslov y(1) = Odrediti opxte rexee diferencijalne jednaqine y y = 2e x/2 y. 36. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x = 3x 2y + e t, y = 2x y.

6 64 Prvi kolokvijum Odrediti opxte rexee sistema diferencijalnih jednaqina x y = 2x + t 1 y + x = y. 38. Odrediti opxte rexee jednaqine y = (x + y + 1)ex e y (x + y + 1)e y e x. 39. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina xy = y2 1 = (x 2 z)y Odrediti opxte rexee sistema diferencijalnih jednaqina x + y = 2y y + 2x + 5x = t Odrediti partikularno rexee jednaqine yy = (y ) 2 (y ) 3 koje zadovo ava uslove y(1) = 1 i y (1) = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x + y xy 2 = x 2 y x y = y 2 x Odrediti rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = (1 + x 2 )y 4 y(1 + x 2 ) arctan x = 2xy

7 Prvi kolokvijum Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + y = 2x 2 + 4e x + 2 sin x. 45. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina dt = x2 y + tx, dt = xy2 ty Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina dt = x(y t) t(x y), dt = y(t x) t(x y). 47. Odrediti opxte rexee jednaqine y + 4y + 4y = e 2x ln x. 48. Odrediti rexee jednaqine koje zadovo ava uslov: y(2) = 1/ Odrediti rexee jednaqine (2xy + 3) y 2 = y = koje zadovo ava uslov: y(1/2) = 1. y x 2 ln y x 50. (1) Dokazati da su rexea y 1 (x) i y 2 (x) jednaqine y + p(x)y + q(x)y = 0, gde su p(x) i q(x) neprekidne funkcije, linearno nezavisna na (a, b) ako i samo ako je W (y 1 (x), y 2 (x)) 0 za x (a, b). (2) Ispitati da li je y(x) = C 1 x + C + 2/x 3 opxte rexee jednaqine x 2 y + 3xy p 3y = 0 za x (0, + ).

8 66 Prvi kolokvijum 51. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina y x = x + y + z = x y Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina 2x 3z = 5z 2y, 3y 5x = 5z 2y. 53. Rexiti jednaqinu x + y x2 + y + 2 x = y x (1) Metodom varijacije konstanti izvesti opxte rexee jednaqine y + p(x)y + q(x)y = f(x). (2) Rexiti jednaqinu y + y = sin x + 1 sin x. 55. Rexiti jednaqinu yy = 1 + y (1) Ako su parcijalni izvodi funkcija P : R 2 R i Q : R 2 R neprekidni, dokazati da je izraz P (x, y) + Q(x, y) totalni diferencijal ako i samo ako je P y = Q x. (2) Rexiti jednaqinu y (e y + x + sin x) + e x + y + y cos x = Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina z + u = u + y = du y + z = x Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina dt = x(y t) t(x + t), dt = t2 + xy t(x + t). 59. Rexiti jednaqinu y (y 2 x 2 2xy) + y 2 x 2 + 2xy = 0.

9 Prvi kolokvijum (1) Dokazati da je y(x) = C 1 y 1 (x) + C 2 y 2 (x) + y p (x) opxte rexee jednaqine y + a(x)y + b(x)y = c(x), gde su y 1 i y 2 dva linearno nezavisna rexea odgovarajue homogene jednaqine, y p partikularno rexee date jednaqine, a C 1 i C 2 proizvo ne realne konstante. (2) Rexiti jednaqinu y + y = π cos x Rexiti jednaqinu y + e y y = y (x + ye y ). 62. Rexiti jednaqinu y 4y + 13y = e 2x sin 3 x. 63. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x(z y) = y(y x) = y 2 xz. 64. Dokazati da je svako rexee sistema dx dt = A(t)X oblika X(t) = C 1 X 1 (t) + C 2 X 2 (t) + C n X n (t), gde su X 1, X 2,..., X n linearno nezavisna rexea Rexiti jednaqinu ( y 2 + x 2 + x)y = y. 66. Rexiti jednaqinu y y = 1 ch x. 67. Matriqnom metodom rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x = x + y + 2z, y = 3x + 2y + 3z, z = x y. 68. Odrediti opxte rexee jednaqine y + a(x)y = b(x) Rexiti jednaqinu 2(x y y cos 2 x) = x cos 2 x. 70. Rexiti jednaqinu y + 4y = cos 4 x.

10 68 Prvi kolokvijum 71. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x(y z) = z 2 + xy = z(x + z). 72. Metodom varijacije konstanti odrediti opxte rexee jednaqine y + a(x)y + b(x)y = c(x) ako je y h = C 1 y 1 + C 2 y 2 opxte rexee odgovarajue homogene jednaqine. 73. Rexiti jednaqinu y + cot y x ln x sin y = Rexiti jednaqinu y + 6y + 9y = e 3x ln x. 75. Matriqnom metodom rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x = x y + 2z, y = 3x + 2y 3z, z = 2x + y z. 76. Neka je data jednaqina P (x, y) + Q(x, y) = 0, pri qemu je P y Q x. Ako postoji funkcija λ(y) takva da je λ(y)p (x, y) + λ(y)q(x, y) = 0 jednaqina sa totalnim diferencijalom, dokazati da je tada λ λ = Q x P y. P ) ( x = x cos y x + y sin y ) y. x 77. Rexiti jednaqinu ( y sin y x x cos y x 78. Metodom neodreenih koeficijenata rexiti jednaqinu gde je a R. y + 2ay + a 2 y = xe x, 79. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x 2 + y 2 yz = xz x 2 y 2 = (x y)z.

11 Prvi kolokvijum Dokazati da je svako rexee sistema dx dt = A(t)X oblika X(t) = C 1 X 1 (t) + C 2 X 2 (t) + C n X n (t), gde su X 1, X 2,..., X n linearno nezavisna rexea Koristei integracioni faktor λ(y) rexiti jednaqinu (2x 1 + ln y)y = 2y. 82. Rexiti jednaqinu y + y 2 = 2e y. 83. Matriqnom metodom rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x + y = y x + tan 2 t + tan t 1, x y = x + y + tan 2 t tan t Odrediti opxte rexee jednaqine y + a(x)y = b(x) Koristei pogodnu smenu rexiti jednaqinu y cos y cos x sin 2 y = sin y. 86. Metodom neodreenih koeficijenata rexiti jednaqinu y 2y + 5y = e x cos 2 x. 87. Rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x 2 y 2 + zy = x 2 y 2 + zx = z(x y). 88. Metodom varijacije konstanti odrediti opxte rexee jednaqine y + a(x)y + b(x)y = c(x) ako je y h = C 1 y 1 + C 2 y 2 opxte rexee odgovarajue homogene jednaqine.

12 70 Prvi kolokvijum Rexiti jednaqinu (1 x y) = (x y). 90. Ispitati da li je y = sin x rexee jednaqine y sin 2 x y sin x cos x + y, a zatim odrediti eno opxte rexee. 91. Matriqnom metodom rexiti sistem diferencijalnih jednaqina x + y = 4y + e at, y x = 2x 2y + e at, (a > 0) 92. Neka je data jednaqina P (x, y) + Q(x, y) = 0, pri qemu je P y Q x. Ako postoji funkcija λ(y) takva da je λ(y)p (x, y) + λ(y)q(x, y) = 0 jednaqina sa totalnim diferencijalom, dokazati da je tada λ λ = Q x P y. P