(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Транскрипт

1 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 ) ako je: a) b) c) d) e) f) f ( ) =, T = (1, T f ( ) = + 1, T = ( T > 0, 5 f ( ) = +, T = ( T < 0, 1 3 f ( ) = + 1, T = (1, T 3 f ( ) = +, T = ( T 0, 0 3 f ( ) = +, T = ( T,16 g) f ( ) = e, T = (0, T h) f ( ) = e, T = (, e) T ( ) 1, (1, ) i) f = e T = T j) 1 1 f ( ) = e, T = T, e k) f ( ) = ln, T = (1, T l) f ( ) = ln, T = ( T,1 1 m) f ( ) = ln, T =, T e n) f ( ) = ln ( ), T = ( e, T o) π f ( ) = sin, T =, T p) 3 π f ( ) = cos, T =, T q) 5 π f ( ) = tg, T =, T 4 r) 7 π f ( ) = ctg, T =, T 4 s) f ( ) arcsin, T T, = = 6 t) π f ( ) = arccos, T = T, 3 mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 1

2 π u) f ( ) = arctg, T = T, 4 v) f ( ) arcctg, T T, π = = 4 w) f ( ) = arsh, T = (1, T ) f ( ) = arch, T = (, T 1 ) f ( ) = arth, T =, T z) f ( ) arcth, T ( 3, T ) = =.. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na krivulju K u točki T, pa izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 ) ako je: a) K... + = 100, T = ( 6, T > 0) b) K... + = 169, T = ( T < 0, 1) c) K , T ( T 0, ) d) , ( 8, 0) e) + + = = > K + + = T = T < K... = 9, T = ( T < 0, 4 f) K = 36, T =, T > g) K = 144, T =, T < h) K = 100, T = T > 0, 5 i) K = 676, T = ( T < 0, 5) j) k) l) m) 15 K... 4 = 5, T = (1, > 0 K = 0, T = ( 5, < 0 K = 13, T = ( > 0, 1 K... = 1, T = (, < 0 n) K , T ( 0, 8) o)... K e + e = 1, T = ( 1,0) + = = > mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 + p) K... e + ( ) e + e = 0, T = (0,1 q) r) s) K = 0, T =, 3 1 K... =, T =, < K... =, T =, > t) K... ( + ) = 4 ( ), T = (, ) u) K... ln + ln = 1, T = (1, e) v) K... e + e = e, T = (1,1 π w) K... sin + sin = 0, T =,0 π ) K... cos + cos = π, T = 0, 1 ) K... arcsin + arcsin = 0, T = 0, π z) K... arctg + arcctg =, T = ( 1,1). 3. Odredite kut između sljedećih ravninskih krivulja, pa ga najprije izrazite u radijanima, a potom u obliku 'z''ako je: a) =, = 3 b) =, = c) =, = d) = 3, = e) = sin, = cos f) = sin, = tg g) = sin, = ctg h) = cos, = tg i) = cos, = ctg j) = tg, = ctg k) = e, = 0 l) = e, = 1 m) = 1 e, = e mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3

4 n) = 1 e, = 1 o) = ln, = e p) = ln, = 0 q) = ln, = 1 r) = sin, = π s) = sin, = 1 t) = cos, = 0 u) = cos, = 0 v) = tg, = 4 π w) = tg, = 1 ) = ctg, = 3 π 4 ) = ctg, = 3 z) = 4, = Odredite sve točke ravninske krivulje = u kojima je tangenta povučena na tu krivulju usporedna s osi apscisa. Napišite jednadžbe tih tangenata i njima odgovarajućih normala. 5. Odredite sve točke ravninske krivulje = u kojima je tangenta povučena na tu krivulju usporedna s pravcem + 6 = 0. Napišite jednadžbe tih tangenata i njima odgovarajućih normala, pa izračunajte njihove duljine. 6. Odredite sve točke ravninske krivulje = u kojima je normala povučena na tu krivulju usporedna s pravcem = 0. Napišite jednadžbe tih normala i njima odgovarajućih tangenata, pa izračunajte njihove duljine. 7. U točki T = (, T ) ravninske krivulje = 16 povučena je tangenta na krivulju. Izračunajte površinu trokuta kojega ta tangenta zatvara s objema koordinatnim osima, pa pokažite da se središte tom trokutu opisane kružnice podudara s točkom T. 8. U točki T = (1, T > 0) ravninske krivulje = 4 povučena je tangenta na krivulju. Napišite jednadžbu te tangente u segmentnom obliku, pa izračunajte duljinu odsječka kojega ta tangenta odsijeca između obiju koordinatnih osi. 9. U točki T = ( T, ) ravninske krivulje = 16 povučena je tangenta na krivulju. Pokažite da je duljina te tangente jednaka udaljenosti točke T od ishodišta koordinatnoga sustava. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

5 10. U točki T = (10, T > 0) ravninske krivulje = 36 povučena je normala na krivulju. Pokažite da je točka T središte kružnice opisane trokutu kojega ta normala zatvara s objema koordinatnim osima. 11. U točki T = (3, T > 0) ravninske krivulje 3 = 0 povučena je tangenta na krivulju. Pokažite da je sjecište te tangente s osi ordinata ujedno i polovište dužine čiji su krajevi točka T i sjecište iste tangente s osi apscisa. 1. U točki T = (, T ) ravninske krivulje mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 5 = + 4 ln 4 povučena je + tangenta na krivulju. Neka je S sjecište te tangente i osi ordinata. Izračunajte duljinu dužine TS. 13. U točki T = ( T > 0, 4) ravninske krivulje zadane jednadžbom 1 = 0 povučena je normala na krivulju. Neka je S sjecište te normale i osi ordinata, a O ishodište koordinatnoga sustava. Pokažite da vrijedi jednakost OS = OT. 14. U točki T = (1, T ) ravninske krivulje = ln povučena je tangenta. Izračunajte duljinu odsječka kojega ta tangenta odsijeca na osi ordinata. 15. U točki T = (, T < 0) ravninske krivulje zadane jednadžbom + + = 0 povučena je tangenta na krivulju. Izračunajte duljinu odsječka kojega ta tangenta odsijeca na osi apscisa. 16. U točki T = ( 1, T > 0) ravninske krivulje zadane jednadžbom + + = 0 povučena je tangenta na krivulju. Izračunajte opseg trokuta kojega ta tangenta zatvara s koordinatnim osima. 17. U točki T = (, T ) ravninske krivulje zadane jednadžbom = + + povučena je tangenta na krivulju. Izračunajte zbroj duljina odsječaka koje ta tangenta odsijeca na objema koordinatnim osima. 18. U točki T = ( T > 0, 3) ravninske krivulje zadane jednadžbom + 6 = 0 povučena je tangenta na krivulju. Izračunajte duljinu te tangente. 19. U točki T = ( 1, T > 0) ravninske krivulje = 16 povučena je tangenta na krivulju. Pokažite da polovište odsječka kojega ta tangenta odsijeca između obiju koordinatnih osi pripada krivulji =. 0. U točki T = (, T < 0) ravninske krivulje = 8 4 povučene su tangenta i normala na krivulju. Odredite polovište odsječka kojega ta dva pravca odsijecaju na osi apscisa.