Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Транскрипт

1 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) : b) : : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b a +b a+ d) a+ ) : + y a +b ab :.) ] : 5 :.65.8 :.8) :. : ba+b) a 9b y y z ++ z ) ) : a b a b ) a a+ a+ a+.. Ispitati tačnost jednakosti: a) ) b) = ) a+ a =.. Ispitati kada su obe strane izraza definisane, a potom dokazati da u tim slučajevima važe identiteti: a) + + b) a +a+ a +a a a c) a) + ) d) y y y : ) a a a a a a ) : + a + a a a a a + ) a a y y + y) + y) e) y y y + ) ) y y y.5. Rastaviti na proste činioce faktore) polinome: a) P ) = b) P ) = + ) + ) + 5) + 7) + 5 c) P ) = +.6. Za koje vrednosti parametara a i b je polinom P ) = + a b deljiv: a) binomom + b) trinomom +

2 .7. Rešiti sisteme linearnih jednačina: a) + y + = y = b) y + = + 6y = c) + y = 6y = d) 5 8y = + y = 6y =.8. Rešiti jednačine: a) 7 = b) y y = c) 5 = d) + =.9. Uprostiti izraze: a) b) 6 9 / 6 / + 6 / c) ln + ) ln ) + ln 5) d) log 5) + log 6.. Izračunati: sin π 7π, cos, cos 7π + 5π Kompleksni brojevi.. Predstaviti kompleksan broj u algebarskom zapisu: ), sin π π 5π ), sin + cos 6π a) z = i) + i) i) + 7 c) z = +i)5 i) ) b) z = i 5 + i 5 + d) z = +i +5i.. Odrediti realni i imaginarni deo kompleksnog broja: a) z = i b) z = i+ c) z = +i i d) z = + i).. Predstaviti kompleksan broj u trigonometrijskom zapisu: a) z = b) z = i c) z = + i d) z = + i.. Odrediti moduo i argument kompleksnog broja: a) + i) b) + cos π 7 + i sin π 7.5. Predstaviti kompleksan broj u algebarskom zapisu: a) z = + i )6 b) z = i ) ) c) z = +i i d) z = i) 7 ) e) z = i +i f) z = e + 5πi 6 g) z = e 5+ πi h) z = e 77πi.6. Izračunati:

3 a) b) i c) i d) e) + i rešiti jednačine a) z = i b) z = + cos π 5 + sin π 5 c) z + i =.8. Predstaviti kompleksan broj u Ojlerovom zapisu: a) +5i 7i b) i 5 i+i c) + i d) + i Matematička indukcija.. Dokazati da za sve prirodne brojeve n važe sledeći iskazi a) n = nn+) b) n = nn+)n+) 6 c) n = n n+) d) + + nn+) = n n+.. Koristeći matematičku indukciju dokazati da je a) 7 n+ + n b) 5 n + n+ c) 6 n+ + n 7 Krive drugog reda.. Naći poluose, žiže i ekscentricitet elipse a) 9 + y = b) ) + y+) = c) 6 + y = d) + y ) =.. Naći poluose, žiže, ekscentricitet i asimptote hiperbole a) 6 y = b) ) 5 y+) = c) y = d) ) 6 y ) 9 =.. Odrediti tangentu na krivu iz date tačke a) + y 5 =, A, 7). b) + y =, A 6, ). c) 6 + y =, A, ). d) + y = 8, A6, ). e) y =, A, )... Naći žižu, teme i prametar p parabole. a) y = b) y = 6 c) y = d) y = Naći jednačine tangenti na parabolu y = u presečnim tačkama sa pravom p : y+ =..6. Odrediti hiperbolu ako je prava t : 5 6y 8 = njena tangenta, a prave a, : y = ± su njene asimptote..7. Formulisati i dokazati optička svojstva elipse, hiperbole i parabole. Nacrtati sliku.

4 5 Analitička geometrija u prostoru 5.. Izračunati intenzitet vektora a b ako je a =, b = 9 i a + b =. 5.. Ako je a + b ) 7 a 5 b ) i a b ) 7 a b ), odrediti ugao koji zaklapaju vektori a i b. 5.. Dati su vektori a = p i + q j k i b = i + k. Odrediti realne parametre p i q tako da vektori a i b budu ortogonalni, a vektor a zaklapa ugao π sa pozitivnim delom -ose. 5.. Odrediti parametar p R takav da vektor a = p i + j + p) k zaklapa jednake uglove sa vektorima b = i + j i c = 5 i j + 8 k Odrediti parametar p R takav da vektori a = i + j + 5 k, b = p i + j + k i c = 9 i + j + 6 k budu koplanarni Ispitati da li su vektori a = i + j k, b = i + j k i c = i + j k koplanarni. Ako jesu, izraziti vektor c kao linearnu kombinaciju vektora a i b Neka su dati vektori a =,, 5), b =, 8, ) i c =,, ). Izračunati: a) b c b) a b c) < a c, a > d) < a b, c > e) pr b a c ) 5.8. Dati su vektori a = i + j k, b = i j k i c = i + j + k. Odrediti realne paramete α, β i γ tako da važi c = α a + β b + γ a b ) Date su tačke A,, ), B,, ) i D,, 5). Odrediti koordinate tačke C tako da četvorougao ABCD bude paralelogram, a zatim izračunati njegovu površinu. 5.. Da li su tačke A,, ), B,, ), C,, 5) i D,, ) koplanarne? Kolika je zapremina tetraedra ABCD? 5.. Odrediti tačku prodora prave p : + = y+ = z 5 kroz ravan α : + y z + 5 =. 5.. U kakvom položaju stoje prave p i q? a) p : = + t, y = t, z = 5 + t, q : = + s, y = + s, z = s, t, s R b) p : = y+ = z, q : 7 = y = z + 5y + z = + c) p :, q : z + = 5 = y = z Odrediti rastojanje izmedju mimoilaznih pravih p : = y = z i q : = + t, y = t, z =, t R. 5.. Odrediti jednačinu zajedničke normale mimoilaznih pravih a : y+ = z = y = z 5.5. Odrediti jednačinu ravni koja sadrži tačku P 5,, ) i normalna je na pravu q : + z Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku P 5,, ) i paralelna je pravoj q : Odrediti jednačinu ravni koja sadrži pravu l : α : y + z + 5 =. = y+ = z i b : = = y+ = = y = z+. i normalna je na ravan 5.8. Odrediti jednačinu ravni koja sa ravni α : y 8z + = obrazuje ugao π i sadrži pravu p : + y + z =, z + =.

5 6 Nizovi 6.. Dokazati po definiciji a) b) n n = + ) n n = c) d) )n log + n + ) = 6.. ispitati koji od sledećih nizova su ograničeni. a) a n = n+ n+ b) b n = n n + c) c n = ma{n, 5} d) d n = n n! 6.. Ispitati koji od navedenih nizova su monotoni a) a n = n n+ b) b n = n 8n Izračunati a) b) c) n n + n n n + n + n n + 5 n + n d) e) n n + + n n + n n n+ + n Odrediti granične vrednosti a) + ) n n b) c) n + n + n + n + n ) n + n + ) n 6.6. Dokazati da važe sledeće jednakosti a) nqn =, q < b) nk q n =, q <, k N c) n a =, a > d) e) n n = ne n ) =, 6.7. Izračunati primenom teoreme o policajcima a) b) c) n sin n! n + cos n n + )) n n + + n n + n ) 6.8. Izračunati primenom Štolcove teoreme 5

6 a) b) p + p n p, p N n p n n n 7 Limesi funkcija i neprekidnost 7.. Dokazati po definiciji a) + b) + = + = c) ) = + d) ln ) = Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački a) f) = sgn, = b) g) =, = c) h) = [], = d) f) = + 5, = e) g) = + 5, = 5 f) h) = [ ], = 7.. Važni esi a) sin = b) + + ) = e + ) = e c) + ) = e a d) = ln a e = + ) α e) = α log f) a + ) ln + ) = 7.. Izračunati sledeće ese = log a e a + a a) a a b) 8 c) + d) sin a sin b sin e) + cos f) tg g) sin h) tg i) cos sin 7.5. Izračunati granične vrednosti 6

7 a) + + ) a a b) a a e e c) ) d) + ) + e) ) f) tg sin g) ) tg π h) cos ) 7.6. Izračunati granične vrednosti + a) ln b) e sin cos π c) d) π 6 sin + sin sin sin + + e) 6 + f) g) ) ) ) 7.7. Ispitati neprekidnost funkcije u tački = a) f) = sin b) f) = sgn c) f) = d) f) = sin 7.8. Ispitati neprekidnost i odrediti tip prekida funkcije { e +, / {,, } a) f) = d) f) =,, =, {,, } { ln+) { e) f) =,, = b) f) =, {, = cos +, < f) f) = +) cos,, < { c) f) =, <, g) f) = + 5, e, > 7.9. Odrediti A R tako da je funkcija g) = a) f) = +) b) f) = e e c) f) = ln+) ln ) { f), A, = neprekidna 7.. Odrediti konstante a i b tako da funkcije budu neprekidne { + a, < sin, π a) f) = +, >= c) f) = a sin + b, π { < < π +, cos, π b) f) = a, > 8 Izvod funkcije 8.. Izračunati izvod funkcije tablični izvodi) 7

8 a) f) = 5 + b) f) = π + ln c) f) = 5 + d) f) = 7 e) f) = 5 sin + cos f) ft) = arcsin t Izračunati izvod funkcije izvod proizvoda i količnika) a) f) = ctg b) f) = e cos c) f) = sin ln d) f) = e) ft) = + t t f) f) = sin +cos sin cos g) ft) = t sin t t ) cos t h) ft) = t ln t i) f) = + ln ln j) fz) = z arctg z k) ft) = t+ t l) f) = 7 e 8.. Izračunati izvod funkcije izvod složene funkcije) a) f) = e + b) f) = e + + ln ) 5 c) f) = arctg d) f) = ln ln ln e) f) = tg f) f) = e + sin 8.. Izračunati izvod implicitno zadate funkcije y = y) a) + y = b) + y y = c) + y = d) e y sin + ln y cos = arctg 8.5. Izračunati izvod parametarske funkcije a) = t sin t), y = cos t) b) = + cos t, y = + sin t c) = 5e t + e t ), y = e t e t ) 8.6. Izračunati drugi izvod po ) parametarske funkcije a) = ln t, y = t b) = arctg t, y = ln + t ) c) = 5e t + e t ), y = e t e t ) 8.7. Razviti u Tejlorov red sledeće funkcije g) f) = ln + ) + h) f) = ctg arcsin i) f) = cos j) f) = k) f) = sin ) cos l) f) = a) f) = sin b) f) = cos c) f) = e d) f) = + a) n 8.8. Izračunati sledeći es i objasniti zašto ne može da se izračuna primenom Lopitalovog pravila 8.9. Izračunati primenom Lopitalovog pravila + sin + sin 8

9 ln a) ctg b) lnsin α) lnsin ) c) sin d) ln e) e ) f) g) h) e 6 ln ) + 6 arctg sin ) 8.. Izračunati primenom razvoja u Tejlorov red 8.. Odrediti minimum i maksimum funkcije f) na datom intervalu a) f) = + +, [, 5] b) f) = + +, [, ] c) f) =, [, ] d) f) = +, [ 5, 5] 8.. Odrediti lokalne ekstremume funkcije a) f) = ln b) f) = arctg c) f) = )8 ) d) f) = sin + sin 8.. Naći intervale zakrivljenosti i prevojne tačke funkcije a) f) = + ) b) f) = ln c) f) = arctg d) f) = + )e e) f) = Naći asimptote grafika funkcije a) f) = + ln b) f) = e + c) f) = +9 d) f) = e e) f) = f) f) = e Skicirati grafik funkcije a) f) = ln b) f) = c) f) = sin + cos d) f) = 6 e) f) = )e f) f) = g) f) = +e h) f) = ln i) f) = ln + j) f) = arcsin + k) f) = + ) ln + + l) f) = e 9 Neodred eni integral 9.. Izračunati integrale a) + ) + ) d b) ) d c) sin sin ) d d) e) f) ) d ) d + e ) d 9

10 9.. Izračunati integrale smena promenljive) d a) a d b) a) n d c) a d d) ± a e) f) g) h) d a + d a a + d 8 d 9.. Izračunati integrale smena promenljive) d a) + sin b) cos d c) a d d) e) d d + a ) 9.. Izračunati integrale parcijalna integracija) a) ln d b) ln d c) ln d d) ln + + ) d ln e) d f) g) h) i) j) sin d cos d e cos d arcsin d arctan d 9.5. Izračunati integrale parcijalna integracija) a) sin d b) cos d c) sin cos d d) + 5)e d e) f) g) h) e d sinln ) d sin e d d + a ) n 9.6. Izračunati integrale racionalne funkcije) a) d b) + d d c) + ) + ) + ) d d) Izračunati integrale trigonometrijske funkcije) e) f) g) h) d + d + ) d 5 + ) d + )

11 a) b) c) sin cos d sin cos d d + sin + cos d) e) + tg tg d cos sin d 9.8. Izračunati integrale neke iracionalne funkcije) a) + d d b) + c) d Odred eni integral i primene integrala.. Izračunati vrednost odredjenih integrala a) b) c) d) e) f) 8 e π + ) 5 d t dt t + + d d e d sin ln t dt g) h) i) j) k) l) π e + d d + d d + ) cos d ln d.. Izračunati površinu lika u ravni, ograničenog krivama a) y = sin, y = cos, =, = π b) y =, y = + 6 c) y =, y = d) y = cos, y = sin, = π, = π e) y =, y = + ) 7, = f) y =, y =, =, = g) + y =, y = + h) y =, y = i) y =, y = + j) y = e, y = e, = k) + y =, y = l) + y =, y =, y =.. Izračunati zapreminu tela dobijenog rotacijom krive a) y =, [, ] oko -ose b) y =, y = 8, = oko y-ose c) y =, y = oko -ose d) y =, y = oko prave y = e) y =, y = oko prave y = f) y =, y = oko -ose g) y =, y =, =, =, y-ose h) y =, y = oko y-ose oko Nesvojstveni integral.. Ispitati konvergenciju nesvojstvenih integrala

12 a) b) + + d d c) d) + e d d +.. Izračunati vrednost nesvojstvenih integrala a) + e d ln ) b) + e Redovi.. Odrediti sumu reda ) n a) 5 b) n= n= nn + ).. Ispitati konvergenciju redova sa pozitivnim članovima a) b) n= n= nn + ) n c) d) n! n n n= n= ) n.. Ispitati konvergenciju redova sa pozitivnim članovima a) b) c) n= n! n n n= n= n! n + n n + ) nn ) d) e) f) n k q n, < q <, k N n= n= n= n! + ) + )... + n) 9... n 5... n ).. Ispitati apsolutnu i uslovnu konvergenciju alternirajućih redova a) b) n= ) n n ) n+ n= n c) d) ) n n + nn + ) n + ) n n + n= n=