Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Транскрипт

1 Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih projekcija. Zamjena varijabli i integrali u cilindri nim koordinatama Sustav cilindri nih koordinata moºe se poistovjetiti s polarnim sustavom u ravnini uz jednu dodatnu kartezijevu os z. Prijelaz iz cilindri nih u kartezijeve koordinate zapisujemo jednadºbama: x = r cos ϕ Ψ 1 (r, ϕ, z) = r cos ϕ ( ) Ψ... y = r sin ϕ Ψ 2 (r, ϕ, z) = r sin ϕ z = z Ψ 3 (r, ϕ, z) = z DΨ = Ψ 1 r Ψ 2 r Ψ 3 r Ψ 1 ϕ Ψ 2 ϕ Ψ 3 ϕ Ψ 1 z Ψ 2 z Ψ 3 z = cos ϕ r sin ϕ sin ϕ r cos ϕ 1 = det (DΨ) = r Teorem o zamjeni varijabli: prijelaz sa integrala u kartezijevom koodrinatnom sustavu na integral u cilindri nim koordinatama treba uklju iti mnoºenje s lanom r, sli no kao prelazak sa integrala u kartezijevom sustavu na integral u polarnim koordinatama: f(x, y, z) dxdydz = f Ψ(r, ϕ, z) r drdϕdz X Ψ(X)

2 2 Primjer (1) Izra unati trostruki integral 2x x 2 Uvijek je dobro prvo vizualizirati podru je integracije i nacrtati prikladnu skicu. Jednadºba za gonju granicu integracije po dy glasi y = 2x x 2 á z x 2 + y 2 dzdydx prijelazom na cilindri ne koordinate. y = 2x x 2 y 2 2 nadopunimo do = 2x x = 1 (1 x)2 punog kvadrata Gornja granica po dy odgovara kruºnici: (x 1) 2 + y 2 = 1 Obzirom da je donja granica po dy nula zaklju ujemo da je u xy ravnini rije o polukruºnici. Granice integracije po dx odgovaraju slici desno. Da bi do kraja vizualizirali podru je integracije polegnemo xy ravninu i nadodamo z vertikalnu os. Budu i da x i y granice integracije u zapisu integrala ne ovise od varijable z zaklju ujemo da podru je integracije na svakoj visini z [, a] obuhva a isti oblik polukruga koji je ozna en sivom bojom u bazi (z = ). Dakle, integracijsko podru je je uzduºna polovica valjka u prostoru. U primjeru se traºi da napravimo prijelaz u cilindri ne koordinate. Odabiremo z kao uzduºnu os koja se ne mijenja u odnosu na kartezijeve koordinate. Dalje, xy ravninu transformiramo u polarne koordinate. Presudno je { ispravno transformirati granice integracije. x = r cos ϕ Uvrstimo. Granica y = zapisuje se ϕ =, a gornja granica integracije po dy uvr²tavanjem polarnih koordinata y = r sin ϕ postaje y = 2x x 2 r sin ϕ = 2r cos ϕ r 2 cos 2 ϕ = (2 r cos ϕ) r cos ϕ r 2 sin 2 ϕ = 2r cos ϕ r 2 cos 2 ϕ r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = 2r cos ϕ r 2 = 2r cos ϕ r = 2 cos ϕ Postavlja se pitanje, ako je gornja polukruºnica koja omežuje integracijsko podru je zadana jednadºbom u polarnim koordinatama r = 2 cos ϕ, kako postaviti meže na integraciju u smjeru dϕ? [ Temeljem slike na kojoj podru je integracije leºi u prvom kvadrantu name e se odabir ϕ, π ] 2 Utvrdimo redoslijed integracije 1. z [, a] (ni²ta ne ovisi o z, pa ga moºemo postaviti sasvim vani) 2. ϕ [ ], π 2 (budu i r ovisi o ϕ, ϕ treba biti vani i ksan) 3. r [, 2 cos ϕ] (r postavljen sasvim unutra moºe ovisiti o vanjskim varijablama) Na kraju, podintegralna funkcija f(x, y, z) = z x 2 + y 2 se nakon kompozicije sa Ψ zapisuje f Ψ(r, ϕ, z) = z r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = zr Dakle, prema teoremu o zamjeni varijabli ˆ2 2x x 2 ˆ ˆa z x 2 + y 2 dzdydx = ˆa π ˆ2 ˆ 2 cos ϕ zr r drdϕdz = ˆa z π ˆ2 ˆ 2 cos ϕ r 2 dr dϕdz =...

3 Jednadºbe nekih ploha drugog reda znatno se pojednostavljuju u cilindri nim koordinatama. Valjak Valjak moºemo promatrati kao skup kruºnica radijusa R uzduº jedne osi (kanonski z os). U polarnim koordinatama isto zapisujemo kao skup to aka koje su na udaljenosti R od uzduºne osi. Veza izmežu zapisa je preko jednadºbi opisanih funkcijom Ψ. Sfera x 2 + y 2 = R 2 r 2 = R 2 r = R Sferu moºemo promatrati kao skup to aka koje su udaljene od ishodi²ta za udaljenost R. Na drugi na in to je skup kruºnica uzduº zosi iji se radijus mijenja ovisno od z koordinate tako da je kvadrat radijusa R 2 (z) = R 2 z 2. U polarnim koordinatama isto zapisujemo kao skup to aka koje su na udaljenosti R 2 z 2 od uzduºne osi. Takožer, zapis u cilindri nim koordinatama daje za pravo da moºemo promatrati sferu kao polukruºnicu r 2 + z 2 = R 2, r rotiranu preko punog 2π kruga u smjeru polarne ϕosi. x 2 + y 2 + z 2 = R 2 r 2 = R 2 z 2 x 2 + y 2 = R 2 z 2 r = R 2 z 2 Stoºac Stoºac moºemo promatrati kao skup kruºnica uzduº zosi kojima je radijus jednak zkoordinati. Jednadºba u polarnim koordinatama name e shva anje sto²ca kao pravca nagnutog od zosi i rotiranog preko punog 2π kruga u smjeru polarne ϕosi. x 2 + y 2 = z 2 r 2 = z 2 Elipti ni paraboloid r = z Elipti ni paraboloid moºemo promatrati kao skup kruºnica uzduº zosi kojima je radijus jednak z. Jednadºba u polarnim koordinatama name e shva anje elipti nog paraboloida kao desnog kraka parabole z = r 2 rotiranog preko punog 2π kruga u smjeru polarne ϕosi. x 2 + y 2 = z r 2 = z z = r 2 Primjer (2) Prijelazom na cilindri ne koordinate izra unati volumen dijela kugle x 2 + y 2 + z 2 = 9 za koji vrijedi z 2.

4 Primjer (3) Izra unati volumen podru ja izmežu pla²ta sto²ca x 2 +y 2 = z 2 i pla²ta paraboloida x 2 +y 2 = 2z. Primjer (4) Izra unati volumen tijela omeženog valjkom x 2 + 4y 2 = 4 i ravninama z = y i z = 2.

5 Primjer (5) Izra unati volumen tijela omeženog plohama: z = x 2 + y 2, y = x 2, z = 1. Zadaci za samostalnu vjeºbu: 1. Prijelazom na cilindri ne koordinate izra unati volumen dijela kugle x 2 + y 2 + z 2 = 4 za koji vrijedi z Izra unati volumen tijela omeženog plohama: z = x 2 + y 2, z = Izra unati volumen podru ja izmežu pla²ta sto²ca x 2 + y 2 = z 2 i pla²ta paraboloida x 2 + y 2 = 3z 4. Integracijom u cilindri nim koordinatama izra unati volumen sto²ca x 2 + y 2 = 2 z 2 u dijelu prostora izmežu z = i z = 2. ˆ 5. Zadan je dio sto²ca (oznaka Y ) omežen plohama x 2 + y 2 = z 2, z = 1 i z = 2. Izra unati z dxdydz prijelazom na cilindri ne koordinate. 6. Izra unati volumen tijela omeženog valjkom x 2 + y 2 = 4 i ravninama z = y i z = x Izra unati volumen tijela omeženog valjkom x 2 + 4y 2 = 4 i ravninama z = i z = x Izra unati volumen tijela omeženog valjkom x 2 + 4y 2 = 4 i ravninama z = y i z = x Izra unati volumen tijela omeženog plohama: z = x 2 + y 2, x = y 2, z = 2. Y

6 Prostorni integrali u kartezijevim koordinatama Ovi esto zahtijevaju malo vi²e prakse i iskustva u skiciranju. Mogu pomo i dvodimenzionalne skice presjeka na temelju kojih se crta 3D skica itavog tijela. Primjer (6) Izra unaj volumen prostora omeženog plohama x =, y =, z = i x + y + z = 1. Primjer (7) Izra unati integral funkcije f(x, y, z) = x u dijelu prostora omeženog plohama z = x 2, z = x, y = 2 i y = 2.

7 Primjer (8) Izra unaj volumen prostora omeženog plohama x = z 2, x = 4, y = 1 i y = 5 + x. Zadaci za samostalnu vjeºbu: 1. Izra unaj integral funkcije f(x, y, z) = x u dijelu prostora omeženog plohama x = z 2, x = 4, y = 1 i y = 4 + x. 2. Izra unati integral funkcije f(x, y, z) = x u dijelu prostora omeženog plohama z = x 2, z = x, y = 1 i y = Izra unaj volumen prostora omeženog plohama y = z 2, y = 4, x = i x = 8 + y. 4. Izra unati integral funkcije f(x, y, z) = x u dijelu prostora omeženog plohama x = z 2, z = x, y = 1 i y = Izra unaj volumen prostora omeženog plohama x =, y =, z = i x + y + z = 2.