Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Транскрипт

1 PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nñmo ko šnj sistm jdnčin od dtih kivihnjihov psk - ponñmo odgovjuću fomulu - intgl j u njvćm oju slučj olj šiti z gnic,ko nodñni, j u slučju smn momo mnjti gnic.... Izčunti povšinu figu ogničn lukom kiv i pvom. Dt kiv j pol, ispitivnj tok i kko s ct njn gfik j dtljno ojšnjn u dlu kvdtn funkcij, li kko nm n t ispitivnj clog tok, vć smo nkoliko tčk, nći ćmo: i Gfik funkcij sč osu u tčkm gd j, to jst z i ii Nñmo pvi izvod: ` -, ` z to jst. Ovu vdnost zmnimo u počtnu funkciju: -, p j tčk, mksimum. iii Sd vć možmo skiciti gfik Mi tmo nći povšinu osnčnog dl, p j jsno d gnic intgl idu od do, pošto j do povšin koji tžimo iznd os, u intglu n momo uzimti psolutnu vdnost. Dkl: P d [ 8 ] Tžn povšin j dkl P

2 . Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm: i Tčk psk ov dv kiv,koj ćmo doiti švnjm sistm jdnčin, ć nm dti gnic intgl: 9 ± Dkl intgl id od do Dlj ispitmo nkoliko tčk d i skicili gfik: Očigldno ni jdn pol nm psk s osom, nñimo im tmn kstmn vdnosti ` `, j minimum, j minimum -osu sč u -osu sč u Nctjmo sd sliku:

3 9 - Tžn povšin j ovo osnčno izmñu pol, i nju ćmo nći kd od povšin ispod gonj kiv oduzmmo povšinu ispod donj kiv, odnosno u intglu oduzmmo donju od gonj pol Vžno: Pošto j gfik simtičn u odnosu n osu, odnosno pn su o funkcij, lkš nm j d izčunmo povšinu od do p d to pomnožimo s. P [ ] d odnosno,pmtnij j: P [ ] d 9 d Tžn povšin j dkl P 6. Odditi povšinu lik ogničnog lukom kiv 6 i osom O. U ovom zdtku nm j pmtnij d izzimo, d tžnu povšinu izčunmo po 6 ± Nñmo, p j -, ` - ` z - p j Tčk 6, j mksimum kd zmišljmo po to jst 6

4 6-6 6 Rdićmo intgl po, gd nm gnic očigldno idu od - do. P d Tžn povšin j 6 5. Izčunti povšinu figu koj j ogničn linijm, - i Ovd s di o gficim lmntnih funkcij. Ako nist upoznti s njim, npvit tlicu vdnosti, u kojoj ćt iti vdnosti z i izčunvti. 7 S slik j očigldno d osnčn povšin id po od do, d j donj kiv - gonj kiv P d Tžn povšin j

5 5. Odditi zpminu tl koj nstj otcijom oko os O dl povši ogničnog lukom kiv i osom O. Ispitjmo njp p tčk z polu i nctjmo sliku: p j ` - p j - z ond j Gnic intgl su i V d V d 6 8 d Zpminu tl j 5 5

6 6. Odditi zpminu tl nstlog otcijom kug oko O os > Iz nlitičk gomtij znmo d j jdnčin kug q p gd su p i q koodint cnt polupčnik kužnic. nm govoi d j p q, p ć slik izgldti: odvd momo izziti ± ± Ovd smo doili dv dl kužnic: gonji i donji Rotcij ovog kug ć nm dti tlo koj j pozntij ko TORUS, ili po nški gum

7 Zpminu tl ćmo doiti kd od zpmin tl koj nstj otcijom gonjg dl kužnicpun gum oduzmmo zpminu tl koj nstj otcijom donjg dl kužnicko fln,popunjn V d Ndjimo njp vdnost izz Jsno j d gnic intgl idu od do Ršimo njp nodñni intgl: d sint sin t costdt d costdt sin t costdt sin t costdt pošto j sin t cos t cost costdt cos tdt

8 cos t j konstnt p ć ići ispd intgl upotićmo i fomulu: cos t, p ć i ko konstnt ispd intgl. Dkl: cos t dt t sin t Št s dšv s gnicm ovog intgl? Smn j il : sint d costdt, z - j - sin t, to jst sint - p j t z j sin t, to jst sint p j t Nov gnic su dkl Vtimo s u intgl: i V d t sin t [ sin sin ] Dkl, posl mnogo npo, končno šnj j V 7. Izčunti dužinu luk kiv ln od tčk do tčk 8 Ovd nm slik nij nophodn!

9 Fomul z izčunvnj dužin luk kiv j L f ` d, ko dimo po ln ` p j f ` d d d d d uzimmo smnu t d tdt d tdt tdt d D vidimo št j s gnicm? t 8 t t tdt t dt Iz smn j t p j sd nš intgl t t dt ovd ćmo ko tik, go oduzti i dodti t dt t dt t t t ln ln - ln t ln končno šnj j L ln

10 8. Izčunti povšinu povši koj nstj otcijom luk pol oko os O n sgmntu [,] - - Fomul z izčunvnj povšin otcion povši j : S f f ` d, po [, ] Ovd su gnic očigldno i. p j odvd odnosno ` p j ` S f f ` d d d id ispd intgl kon sktimo d uzimmo smnu t t dt Tžn povšin otcion povši j dkl : S t udimo noddjni intgl d n mnjmo gnic d tdt

11 9. Cikloid C j dfinisn pmtskim jdnčinm: Izčunti: t sint i cost povšinu ogničnu jdnim lukom cikloid i osom O dužinu jdnog luk cikloid c zpminu tl nstlog otcijom jdnog luk cikloid oko O os Kko nstj i kko izgld t cikloid? Posmtjmo kužnicu koj s z kliznj okć po pvoj osi. Fiksijmo jdnu tčku n kužnici. Kiv koju opisuj t tčk zovmo cikloid. Posmtjmo ovj pvi luk cikloid koji j u intvlu [, ] Ako i koistili onu univzlnu fomulu z P, ilo i Pd Ovj intgl i išo od do, pošto j cost, ić : Znči intgl id od do po t. Kko j t sint to j d cost dt cost t cost t

12 P d cost cost dt cost dt Ršimo njp tžni intgl: cost dt cost cos t dt dt costdt cos t dt Vtimo s u fomulu: t sint t sin t t sint t sin t t sint sin t P cost dt t sint sin t Smo ml npomn d su sinusi od i 6 stpni jdnki. Dkl, P D izčunmo dužinu jdnog luk cikloid: Z luk immo gotovu fomulu: L ` t ` β α t dt Gnic intgl su i. Sdimo i ovu potkonu vličinu p ćmo ond švti intgl. t sint p j ` cost cost p j ` sint j j od jdinic izvod ` ` [ cost] [ sint] cost cos t sin cost cos t sin t cost cost t

13 Vtimo s u intgl: sin t sin t β ` t ` α t t t t t dt sin dt sin dt sin dt cos 8 Dužinu jdnog luk cikloid j L 8 c Izčunjmo i zpminu V d [ cost] cost dt cost dt konstnt id ispd intgl cost dt iskoistimo fomulu - cost cos t cos t dt Svki od ovih intgl ćmo švti posno, pv dv nisu polm j su tlični, šimo zto ov postl dv. cos t cos t dt cos t dt t sin t t sin t sint z cos tdt cost cos tdt cost sin t costdt cost sin tdt sint z dz costdt dz z sint sin t sint

14 Vtimo s u izčunvnj zpmin: V [ t sint Dkl V 5 sin t t sin t - sint ] kd sdimo 5