Petar Stipanovid :: Rješenja 2. pismenog ispita iz MMF1 2010/ I2-1 Ako su Φ = r sin πφ + θ ; F = r 2 sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log 2

Слични документи
Stokesov teorem i primjene Stokesov teorem - iskaz pogledati u predavanjima (Teorem 21.7.) Zadatak 1 Izračunajte ukupni fluks funkcije F kroz plohu D,

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - EKSTREMUMI FUNKCIJA VI\212E PROMENLJIVIH _ii deo_.doc)

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Microsoft Word - integrali IV deo.doc

Problem površine - odredeni integral Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI.doc

Slide 1

Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zlatko Trstenjak Određeni integral i primjene

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI- zadaci _ I deo_.doc)

Microsoft Word - INTEGRALI ZADACI - v deo

Microsoft Word - 26ms281

IV 3. Prostor matrica datog tipa nad poljem. Neka je dato polje (F, +, ) i neka su m, n N. Pravougaona šema mn skalara iz polja F, koja se sastoji od

2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

Microsoft Word - Integrali III deo.doc

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

Microsoft Word - VALJAK.doc

1. Realni brojevi

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja)

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Valentina Zemlić LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA Diplomski rad Voditelj rada: do

9. : , ( )

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

Microsoft Word - MATRICE ZADACI ii deo

Microsoft Word - Andrea Gelemanovic i Martina Hrkovac - Dvodimenzionalna valna jednadzba.doc

Microsoft Word - predavanje8

1

(Microsoft Word - VI\212ESTRUKI INTEGRALI zadaci III deo)

Nastavno pismo 3

Jednadžbe - ponavljanje

Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor

MATEMATIKA - MATERIJALI Sadržaj Matematika 1 3 Kolokviji drugi kolokvij,

Ortogonalni, Hermiteovi i Jacobijevi polinomi Safet Penjić Naučno-istraživački rad* koji je razvijen kao parcijalno ispunjenje obav

Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

Microsoft Word - KRIVOLINIJSKI INTEGRALI zadaci _I deo_.doc

Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL

Microsoft Word - GEOMETRIJA 3.4..doc

Zadatak 1 U jednodimenzionalnoj kutiji, širine a, nalazi se 1000 neutrona. U t = 0, stanje svake čestice je ψ(x, 0) = Ax(x a). a) Normirajte valnu fun

PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Sveučilišni studij VEKTORSKA FUNKCIJ

Microsoft Word - BROJNI REDOVI zadaci _II deo_.doc

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Slide 1

Nastavna cjelina: 6. Sukladnost i sličnost Nastavne jedinice: -SUKLADNOST DUŽIN I KUTOVA -SUKLADNOST TROKUTA -SIMETRALA DUŽINE, KUTA I SREDNJICA TROKU

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

Microsoft Word - 26ms441

Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn

Microsoft Word - Kvalif_Zadaci_Rjesenja_TOI.docx

Seminar 13 (Tok funkcije) Obavezna priprema za seminar nalazi se na drugoj stranici ovog materijala. Ove materijale obražujemo na seminarima do kraja

LOKALNI EKSTREMUMI FUNKCIJE TRI PROMENLjIVE Rexeni primeri i zadaci za veжbu Dragan ori Funkcije tri promenljive Funkcija f : X R, gde je X R 3 otvoren

Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +

Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g.

Microsoft Word - 11ms201

1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu

vjezbe-difrfv.dvi

Microsoft Word - INTEGRALI.doc

MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Uvod u nejednakosti Nejednakosti su područje koje je u velikoj mjeri zastupljeno na matematički

Microsoft Word - PRIMENA INTEGRALA.doc

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematika 2 za kemi are drugi kolokvij, 26. svibnja Napomene. Dopu²tena pomagala za rje²avanje kolokvija su: kalkulator, tiskane ili rukom pisa

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

Microsoft Word - Dopunski_zadaci_iz_MFII_uz_III_kolokvij.doc

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

Mate_Izvodi [Compatibility Mode]

Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST

Analiticka geometrija

Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p

T E O R I J A G R A F O V A Do sada smo koristili grafove za predstavljanje relacija. Međutim, teorija grafova je samostalni i važan deo matematike. G

Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Ime i prezime: Matični broj: Grupa: Datum:

Matematika 2

Microsoft Word - MATRICE.doc

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

Microsoft Word - 16ms321

3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Sveučilište J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Karolina Novaković Derivacija funkcije i prim

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Kristijan Kilassa Kvaternik THURSTONOVE GEOMETRIJE Diplomski rad Voditelj

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14

INDUSTRIJSKO INŽENJERSTVO ISPIT IZ Matematike u industrijskom inženjerstvu, Diskutovati po a, b R i rešiti sistem linearnih jednačina a

ТЕСТ ИЗ ФИЗИКЕ ИМЕ И ПРЕЗИМЕ 1. У основне величине у физици, по Међународном систему јединица, спадају и следеће три величине : а) маса, температура,

SFERNA I HIPERBOLIČKA TRIGONOMETRIJA IVA KAVČIĆ1 I VEDRAN KRČADINAC2 1. Uvod Osnovna zadaća trigonometrije je odredivanje nepoznatih veličina trokuta

Microsoft Word - 12ms121

PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste

Транскрипт:

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / I - Ako su Φ = r sin φ + θ ; F = r sin θ r + r cos φ θ + cos θ φ; M = log sin x y+z ; E = ρ z ρ gdje su (r, θ, φ) Krtezijeve koordinte, (r, θ, φ) sferne koordinte, (ρ, φ, z) cilindrične, odredite u pripdnom koordintnom sustvu () Φ ; (b) F ; (c) E ; (d) rot M. U ortogonlnim koordintnim sustvim dni su opdi izrzi z grdijent, divergenciju, rotciju i lplsijn Φ = i i= Φ q i q i F = i(j,k) q i j k F i q q q F = q q q F F F gdje su h i Lmeovi koeficijenti koji iznose z Krtezijev koordintni sustv = = = = cilindrični koordintni sustv = = r = r sin θ i(j,k) q i j k i q i sferni koordintni sustv = = ρ = Grdijent u sfernom Φ = Φ q q + Φ q q + Φ q q Φ = Φ r r + r Φ θ θ + r sin θ Φ φ φ Φ = sin φ + θ r + r cos φ + θ θ + r cos φ + θ φ r r sin θ Φ = sin φ + θ r + cos φ + θ θ + cos φ + θ φ sin θ Divergencij u sfernom F = F = r sin θ F = q F + r r sin θ r sin θ + θ r sin θ 4r sin θ + r cos θ cos φ + F = 4r sin θ + ctg θ cos φ q F + q F r sin θ r cos φ + φ r cos θ

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / Rotcij u cilindričnom q q q E = q q q F F F ρ ρ φ z ρ ρφ z E = ρ ρ φ z = ρ ρ ρ φ z ρ ρ z z E = ρ ρ φ z + φ ρ z z E = ρ ρ + φ ρ z + z ρ E = ρ z φ ρ + z ρ ρ φ ρ z rot M = Identitet Φ =

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / I - Odredite rd sile (koordinte su izržene u metrim) xi + yj F = x + y Nm n putu od točke (,)m do točke (e,)m po krivulji r t = e t cos t i + e t sin t j Rd sile duž krivulje C iznosi Prmetrizcij Kko je putnj ved zdn prmetrizirn zključujemo Prem tome sil je F = W = F dr = F dxi + dyj C C r = xi + yj r t = e t cos t i + e t sin t j x = e t cos t dx = e t cos t e t sin t dt y = e t sin t dy = e t sin t + e t cos t dt e t cos t i + e t sin t j e t cos t + e t sin t = et cos t i + e t sin t j e t N Grnice integrcije Kko demo integrirti po t, potrebno je odrediti i njegove grnične vrijednosti: Početn točk A(,) Krjnj točk B(e,) x = e t cos t = y = e t sin t = ------------------------------------ t = ln(/ cos t) RJ cos k = ± ------------------------------------ t A = /() tg t = t = k k Z Arg ln > t = ln = x = e t cos t = e y = e t sin t = ------------------------------------ /() tg t = t = k k Z t = ln(e / cos t) Arg ln > t = ln e RJ cos k = ± ------------------------------------ t B =

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 4 Prem tome rd iznosi W = F dxi + dyj C = t B t A e t cos t i + e t sin t j e t e t cos t e t sin t dti + e t sin t + e t cos t dtj W = W = W = W = e t cos t e t cos t e t sin t + e t sin t e t sin t + e t cos t e t e t cos t e t sin t cos t + e t sin t + e t sin t cos t e t dt e t cos t + sin t e t dt e t dt = e t d t W = e t φ= φ= = e + e W = e W = e e J dt

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 5 - I - Odredite msu tijel u obliku polovice kugle (koordinte su izržene u metrim) x + y + z m iznd xy rvnine, ko im promjenjivu gustodu ρ = 77 kgm + 6z kgm 4. Ms tijel iznosi Grnice integrcije M = ρd Integrirmo po kuglinoj x + y + z r polovici iznd xy rvnine z p je njlkše integrciju vršiti u sfernom koordintnom sustvu. koordinte: element volumen: zdn kuglin polovic: x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ d = r sin θ drdθdφ r θ / φ M = ρd = ρr sin θ drdθdφ = 77 + 6r cos θ r sin θ drdθdφ = M + M M = 77 dθ dφ r sin θ dr + 6 dθ dφ r sin θ cos θ dr = M + M M = 77 dθ M = 54 dφ r r sin θ dr = 77 sin θ dθ dφ sin θ dθ = 54 cos θ θ= θ= = 54 r= r= = 77 + = 54 kg φ= sin θ dθ φ φ=

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 6 M = 6 dθ dφ r sin θ cos θ dr = 6 M = 8 sin θ dθ 4 = 8 sin θ d θ sin θ θ= M = cos θ θ= = = 4 kg M = M + M = 54 kg + 4 kg = M = 5 5 kg 5 5 kg dθ φ φ= r 4 r= φ= 4 r= = 8 d θ sin θ

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 7 - I 4 Od svih mogudih kvdr, definirnih nejedndžbm x, y b, z, odredite onj z koji je ukupni tok polj F = x 4xy i 6yzj + zk prem vni kroz svih 6 površin njvedi. Koliko iznosi njvedi tok? olumen kvdr ztvoreno je područje u prostoru čiji je rub orjentbiln po dijelovim gltk ploh S, koj ne presjec smu sebe, F = x 4xy i 6yzj + zk vektorsko polje klse C () p možemo primijeniti Gussov teorem o divergenciji F ds = F d S Divergencij polj F F = F x x + F y y + F z = x 4y 6z + z Grnice integrcije Kko su grnične plohe rvnine, njjednostvnije je rčunti s Krtezijevim koordintm (x, y, z). Grnice integrcije zdne su definicijom kvdr x y b z Sd immo sve potrebne elemente z integrirnje p možemo izrčunti ukupni tok polj b F ds = F d = dx dy x 4y 6z + dz = S b = dx dy xz 4yz z z= + z z= b = dx dy x 4y + = = dx xy y y=b + 9y y= = dx xb b + 9b = = x b b x + 9bx x= x= = b b + 9b = f, b Dkle, trženi je tok funkcij dviju vrijbli (duljin strnic kvdr, b) p demo kvdr z koji je tok mksimln odrediti tržedi mksimum te funkcije. NUŽNI UJETI Ekstreme funkcije f(x,, x n ) ispitujemo u točkm x = (x,, x n ) u kojim nije definirn df i onim koje dobijemo rješvjudi sustv f x i x = i =,, n

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 8 Nđemo sve prcijlne derivcije prvog red i izjednčimo s nulom f = b b + 9b = b b + 9 = () f b = 4b + 9 = + 4b 9 = () Iz () i () immo 4 mogudnosti iz kojih nlzimo 4 kndidt z točke ekstrem = b = = b = = b + 9 = = b = 4.5 + 4b 9 = b = = 9 b = + 4b = 9 + b = 9 = b =.5 K (, ) K (, 4. 5) K (9, ) K 4 (,. 5) DOOLJNI UJETI Odredimo determinnte z funkciju f(x, x,, x n ): r r = ; r n ; ij = f r x rr i x j x Funkcij f u točki x : im MINIMUM, ko je r > r im MAKSIMUM, ko je r > r = k r < r = k NEMA EKSTREMA, ko je r NEMA ODLUKE, ko r = p su potrebn dodtn ispitivnj (df) Kko bismo provjerili, rdi li se o ekstremim, mormo odrediti druge prcijlne derivcije f = b f = 4b + 9 b p immo = b = b koje u dobivenim točkm iznose = f = 4b + 9 b f b = 4 b 4b + 9 4b + 9 4 = 8b + 4b 9 (K ) = K = 8 K = 9 K = 8 (K ) = K = 8 K 4 = K 4 = 7 nem odluke nem ekstrem nem odluke mksimum Kko je f K = f K = < f K 4 =.5, nm treb mksimlni tok, ne trebmo dodtno ispitivti. Znči, z kvdr (=, b=.5, c=) immo mksimlni tok koji iznosi f K 4 =.5

Petr Stipnovid :: Rješenj. pismenog ispit iz MMF / 9 ) - I - 5 Dokžite: ) Tenzor rng može se npisti ko zbroj simetričnog i ntisimetričnog tenzor. b) Ako je rng tenzor A i B nznčen brojem indeks u relcij K ijkl A ij = B kl, koj vrijedi u svim (zrotirnim) Krtezijevim sustvim, td je K tenzor rng 4. Kko su dokzi z kovrijntne, kontrvrijntne i miješne tenzore slični, dokzt demo z kontrvrijntni: T ij = Tij + Tij Dodmo li i oduzmemo T ji / nedemo promijeniti tenzor T ij = Tij + T ji + Tij T ji Zmjen indeks odgovr trnsponirnju mtrične reprezentcije vektor p ko trnsponirmo prvi sumnd T ij + T ji τ = Tij τ ji τ + T = Tji + T ij = Tij + T ji dobijemo isto, što znči T ij + T ji simetrični je tenor. Trnsponirnjem drugog dobijemo T ij T ji τ = Tij τ ji τ T = Tji T ij = Tij T ji što znči T ij + T ji ntisimetrični je tenzor p tenzor rng možemo npisti ko zbroj simetričnog i ntisimetričnog tenzor. b) Dn relcij vrijedi u vrijedi u svim (zrotirnim) Krtezijevim sustvim p demo je npisti u crtknome K ijkl A ij = B kl = m k n l B mn = // B trnsformirmo u necrtkni sustv = m k n l K opmn A op = // Primijenimo kvocijentno prvilo = m k n l K opmn o i p j A ij = // A trnsformirmo u crtkni = o i p j m k n l K opmn A ij K ijkl A ij = o i p j m k n l K opmn A ij //Izjednčimo početk i krj jednkosti K ijkl o i p j m k n l K opmn A ij = // A opdenit p je izrz u zgrdi K ijkl = o i p j m k n l K opmn // Nčin trnsformcije tenzor 4. rng