Microsoft PowerPoint - IS_G_predavanja_ [Compatibility Mode]

Транскрипт

1 Dva pristupa u analiziranu kretana materiala: 1. Statistički pristup material se tretira kao skup molekula makroskopski fenomeni se obašnavau kao posledica molekularne aktivnosti računane primenom zakona mehanike i verovatnoće 2. Fenomenološki pristup Koncept kontinuuma: zanemarue se diskretna struktura materie. Material ispunava prostor kontinuirano. Mehanika se bavi proučavanem sila koe deluu na tiela i nastalog kretana i deformacia. Zasnovana e na konceptima vremena, prostora, materie, sile i energie. Dieli se (u širem smislu): 1. Klasična mehanika čestice i mehanika krutog tiela 2. Mehanika kontinuuma obuhvata mehaniku čvrstog tiela i mehaniku fluida IS 18/19 -simulacie 14

2 Osnovne pretpostavke (u pogledu materie) Neprekidnost material ispunava prostor kontinuirano bez prisustva pora i šuplina i osobine se mogu opisati ednoznačnom neprekidnom funkciom Homogenost osobine materiala su iste u svim tačkama Izotropnost osobine materiala su iste u svim pravcima Matematske osnove Karakteristike kontinuuma (npr. gustina, brzina, napon,...) se izražavau kao neprekidne funkcie prostora i vremena Razvo matematske discipline teorie pola (radi primene u mehanici kontinuuma) skalarna, vektorska, tenzorska invariantnost geometriskih i fizičkih veličina odabir koordinatnog sistema operacie s polima (algebarske, diferencialne, integralne teoreme) IS 18/19 -simulacie 15

3 Proizvod skalara s i vektora v e vektor svsv i ( sv, sv, sv ) i i x y z Proizvod skalara s i tenzora Te tenzor st st st xx xy xz iiii yx yy yz st st st st st st st st zx zy zz Zbor dva tenzora S i Te tenzor Zbir dva vektora a i b e vektor a b( a b) i ( a b, a b, a b ) i i i x x y y z z S T S T S T ST( S T ) i i S T S T S T S T S T S T xx xx xy xy xz xz i i i yx yx yy yy yz yz zx zx zy zy zz zz IS 18/19 -simulacie 16

4 Skalarni proizvod dva vektora e skalar ab ab a b a b ab i i x x y y z z Vektorski proizvod dva vektora e vektor i k abe abi a a a ik i i i x y z b b b x y z e ( i i ) i ik i k (Levi-Civita permutaciski simbol) Tenzorski (diadski) proizvod dva vektora e tenzor (diada) abii abiabik ab ab ab x x x y x z x x x y x z ab abi i abi ababk ab ab ab i i y x y y y z y x y y y z abki abk abkk ab ab ab z x z y z z z x z y z z IS 18/19 -simulacie 17

5 Skalarni proizvod vektora v i tenzora T e vektor ( vt vt vt ) i vt vt vt x xx y yx z zx x xx y yx z zx vt vti ( vt vt vt ) vt vt vt i i x xy y yy z zy x xy y yy z zy ( vt vt vt ) k vt vt vt x xz y yz z zz x xz y yz z zz Skalarni proizvod vektora v i diade ab e vektor v( ab) vab i i i Vektorski proizvod vektora v i tenzora T e tenzor v T e vt i i ik i l k l IS 18/19 -simulacie 18

6 Skalarni proizvod dva tenzora e skalar S: T S T S T S T xx xx xy yx xz zx ST S T S T S T i i yx xy yy yy yz zy S T S T S T zx xz zy yz zz zz Vektorski proizvod dva tenzora e vektor S T e S T i ik l lk i Skalarni proizvod dva tenzora e tenzor ST ST ii ik k i IS 18/19 -simulacie 19

7 Jedinični tenzor, nula tenzor, Kronecker delta, trag tenzora (tr), determinanta tenzora (det), simetrični i antisimetrični tenzor, sferni i deviatorski tenzor Gradient skalarnog pola (vektor) grad s s s s s s i i k x x y z Divergencia (skalar), rotor (vektor) i gradient (tenzor) vektorskog pola div rot v v v v v x x y z v x y i k vk v v eik ii x x y z v v v z x y z grad v v v v x y vz x x x v v v x y z y y y vx vy v z z z z IS 18/19 -simulacie 20

8 Divergencia tenzorskog pola (vektor) div T T xx yx T zx i x y z Ti Txy Tyy Tzy TT ii x x y z T T xz yz T zz k x y z Nabla (Hamiltonov) operator 1 (...) lim (...)ds V 0 V n (...) (...) (...) (...) (...) i i k S x x y z IS 18/19 -simulacie 21

9 Fluks ili protok vektorskog pola kroz površinu V vn ds vds S Cirkulacia vektorskog pola duž zatvorene krive C v d x C Gaussova teorema za protok vektorskog pola S vn ds div vdv V S Stokesova teorema za cirkulaciu vektorskog pola C vdx rot vnds S IS 18/19 -simulacie 22

10 Tipovi pola Nestacionarno, stacionarno Dvodimenzionalno. ednodimenzionalno,... Vektorsko uniformno Vektorsko potencialno (v=grad s) s e potencial pola v Potencialno pole e i nevrtložno [rot v = rot (grad s)= ( s)=0] Bezizvorno ili solenoidno (div v = 0) Bezizvorno i potencialno e Laplaceovo (harmonisko) v=grad s 2 div div(grad s) ( s) s 0 v IS 18/19 -simulacie 23