Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23

Транскрипт

1

2 i polja Mate Kosor / 23

3 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23

4 Danas vrlo brzi ritam! knjiga prof. Uglešića: str možete pogledati web sadržaje na podsjetnik i priprema za ono što slijedi... Sadržaj: 3 / 23

5 Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral 4 / 23

6 Vektorska funkcija Vektorska funkcija je općenito Vektorska funkcija f : X R m R n. Skalarna funkcija Neprekidnost Primjer. Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral g : R 2 R 4 [ g(x,y) = (x,y,e x x,sin(x+y)) g( y ] ) = x y e x sin(x+y) 5 / 23

7 Skalarna funkcija Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Izraz skalarna funkcija odnosi se na f : X R m R, tako da se vrlo često iz pojma vektorska funkcija izuzimaju skalarne, dakle vektorska funkcija u užem smislu podrazumijevan 2. možemo razumijeti kao vektor skalarnih funkcija. Primjer Integral g : R 2 R 4, g(x,y) = (x,y,e x,sin(x+y)) g(x,y) = g 1 (x,y) g 2 (x,y) g 3 (x,y) g 4 (x,y), g 1 : R 2 R, g 2 : R 2 R, g 3 : R 2 R, g 4 : R 2 R, g 1 (x,y) = x, g 2 (x,y) = y, g 3 (x,y) = e x, g 4 (x,y) = sin(x+y) 6 / 23

8 Neprekidnost Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral Neke pojmove dovoljno je definirati na skalarnim funkcijama: > isti pojam na vektorsku funkciju prenosi se po elementima (koordinatama). Primjer: Neprekidnost. f(x,y) = sin(x+y) x y 5 Dovoljno je ispitati neprekidnost za svaku skalarnu funkciju posebno: 1. f 1 (x,y) = sin(x+y)... neprekidna 2. f 2 (x,y) = x y f 3 (x,y) = 5... nije potrebno ispitivati = f nije neprekidna jer nisu neprekidne sve njene komponente. 7 / 23

9 Diferencijal skalarne Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral Definirati za skalarnu f, zatim na vektorsku f po koordinatama. Za skalarnu funkcijuf : X R m R diferencijal je funkcija [ ] df =.... x 1 x m Primjer. Izračunati diferencijal skalarne f(x,y) = y x... ( y df = d = x) [ x ] = ( y x x ) ( y x) = [ y ] 1 x 2 x Napomena: često se diferencijal označava sa velikim slovom Df df. 8 / 23

10 Diferencijal vektorske Za vektorsku funkcijuf : X R m R n takvu da jef = f 1. Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral diferencijal je funkcija u obliku matrice df = df 1. df n = Primjer. Izračunati diferencijal od f(x, y) = 1 x 1.. n x 1 1 x m. n x m. sin(2x+y) e xy 5 f n... df = d(sin(2x+y)) d(e xy ) d(5) = 2cos(2x+y) cos(2x+y) ye xy xe xy / 23

11 Diferencijal (zadatak) Vektorska funkcija Zadatak. Izračunati diferencijal od f(x, y) = [ cos(xy) x y ]... Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral 10 / 23

12 Integral Vektorska funkcija Skalarna funkcija Neprekidnost Diferencijal skalarne Diferencijal vektorske Diferencijal (zadatak) Integral Definirati za skalarnu f, zatim na vektorsku f po komponenatama. 1. Skalarna funkcija: f =... jednostruki ili višestruki integral 2. Za vektorsku funkciju f = komponentama f 1. f n f = integral se može definirati po f1. fn. Primjer. f(x,y) = [ cos(xy) x y ] fdx = [ cos(xy)dx x y dx ] = sin(xy) y x 2 2y 11 / 23

13 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje 12 / 23

14 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje su poseban slučaj skalarnih i vektorskih funkcija. Skalarno polje: f : X R 3 R Vektorsko polje: f : X R 3 R 3 (n=3,m=1) (n=3,m=3) Podrazumijevamo euklidski prostor u kojem je definiran pravokutni koordinatni sustav sa koordinatnim vektorimai,jik. Koordinate su uobičajenox,y iz. Često pišemo f(x,y,z) = f x (x,y,z)i+f y (x,y,z)j+f z (x,y,z)k f x (x,y,z) = f y (x,y,z) f z (x,y,z) 13 / 23

15 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje Svijet u kojem sudjelujemo ima tri prostorne dimenzije, polja su kojima je domena naš svijet. Primjer 1. -> skalarna polja temperatura u prostoru tlak zraka, mora... Primjer 2. -> vektorska polja brzina vjetra, morske struje, fluid koji pod pritiskom struji u nekom crijevu Uz prostorne dimenzije pridadaje se još vrijeme... o tome ćemo šutjeti 14 / 23

16 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje Za skalarno poljef : X R 3 R definiramo gradijent: Napomena: usporedi sa df = gradf = Primjer: gradijent za poljef = zy x : [ x 1... gradf = x z x m zy x 2 z x y x ] 15 / 23

17 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje zove se još derivacija u smjeru vektora. Za zadani vektor a, čija je duljina a saa 0 označimo jedinični vektora 0 = a a. Usmjerena derivacija poljaf : X R 3 R u smjeru vektoraaračuna se po formuli (gdje je skalarno množenje) a = a 0 gradf Primjer. Derivacija u smjeru vektoral = (4,4,2) poljaf (x,y,z) = zy x... l = = 6... l 0 = ( 2 3, 2 3, 1 3)...gradf = 2 a = 3 zy 2 z x x y = 2 ( zy )+ 2 z 3 x 2 3x +1 y 2yz +2xz +xy = 3x 3x 2 3 x 16 / 23

18 Divergenciju vektorskog poljag : X R 3 R 3,g = g x g y g z definiramo (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje divg = g x x + g y + g y z Primjer. Izračunaj divergenciju za g = 1 xyz x 2 y 2 z 2 : divg = (1) x + (xyz) = 0+xz +2x 2 y 2 z + ( x 2 y 2 z 2) z 17 / 23

19 (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje Rotaciju vektorskog poljag : X R 3 R 3,g = rotg = = g z g y z g x z g z = x g y x g x ( gz g ) y i+ z i j k x z g x g y g z ( gx z g ) z j+ x g x g y g z definiramo ( gy x g ) x k 18 / 23

20 (primjer) (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje rotg = ( gz g ) y i+ z ( gx z g ) z j+ x Primjer. Izračunaj rotaciju poljag = yzi+xzj+1k... 1 i j k xz z rotg = x z yz xz 1 = z z 1 x xz x z 0 x = y 0 = xi+yj z z ( gy x g ) x k 19 / 23

21 Hamiltonov diferencijalni operator ili nabla je formalni vektorski operator = x z = x i+ j+ z k. (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje Vrijedi f = x z = gradf g = g x x + g y + g y z = divg ( gz g = g ) ( y gx i+ z z g z x ) j+ ( gy x g ) x k = rotg Važno! Zapamtite nabla kao izraz i kako se koristi 20 / 23

22 Laplaceov diferencijalni operator ili delta je formalni skalarni operator = Primjer. Zaf = zy x ( ) 2 + x ( ) 2 + izračunaj... f = ( ) 2 = divgrad = 2 z zy x 2 z x y x (primjer) Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje f = 2 = f = = 2zy x 3 x z zy x 2 z x y x 21 / 23

23 (primjer) Vektorsko poljeg : X R 3 R 3,g = g x g y g z je potencijalno (ili konzervativno) ako postoji neko skalarno poljef : X R 3 R takvo da vrijedi g = gradf Napomena: u formuli predznak ( ) zaista nije bitan. Definicija je takva zbog ustaljenog značenja u fizici. Zadatak. Provjeri da li jeg = (y,x,0) potencijalno polje... Zadatak. Provjeri da li jeg = (x+y,x+y,1) potencijalno polje?... Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje Ovo je važno znati! 22 / 23

24 Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje (primjer) Promatramo vektorsko poljeg : X R 3 R 3. Kažemo da jeg: bezvrtložno ako jerotg = 0, vrtložno ako nije bezvrtložno, solenoidalno ako jedivg = 0. Lako zapamtiti formulu: bez vrloga = bez rotacije = rotacija nula. Zadatak. Provjeri zag = ( 2y,2x,0) gornja svojstva... Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje 23 / 23