Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Транскрипт

1 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog regularnosti: Pretpostavimo da je x ' s 0 ili ekvivalentno: x ' s 0 x '' s 0, tj s 0 za svaki 0, L s, L 0 Podsjetimo se, ako pretpostavimo da nijedna točka T x s, y s, z s (po prirodnom s za svaki s 0, L na krivulji C nije točka izravnavanja (vidi komentar na str 58 i definiiju 5), onda se u svakoj točki T krivulje C može T s, N s,b s postaviti trobrid pratio, tj ortonormirani skup U nastavku ćemo odrediti derivaije vektorskih funkija T s dt s dn s dbs Uočimo da je T ' s, N ' s, B' s ds ds ds Teorem 6 (Frenet-Serret) Neka je regularna krivulja C u prostoru je s 0 za svaki s 0, L Tada je:, Ns i Bs za svaki s 0, L parametrizirana prirodnim parametrom s takva da T' s s Ns N ' s s T s s B s B' s s N s Uočimo da formula (55) direktno proizlazi iz definiije jediničnog vektora glavne normale i T ' s definiije prve zakrivljenosti Dakle, iz Ns proizlazi: T' s s Ns s Dokažimo formulu (57) Uočimo da je Bs, stoga primjenom leme 4 proizlazi: Bs B' s 0, odnosno Bs B' s na osnovu čega zaključujemo da B' s može biti kolinearan sa bilo kojim vektorom koji leži u oskulaionoj ravnini ili speijalno sa jediničnim vektorom tangente T s ili jediničnim vektorom glavne normale Ns (55) (56) (57) 59

2 B' s T s Provjerimo najprije u kojem su odnosu i B s T s B s T s 0 Primijetimo: povlači: Primjenom leme 4 i prve Frenet-Serret-ove formule (koju smo prethodno dokazali) dobivamo: B' sts Bs T ' s Bs s N s s Bs Ns 0 0 B' s T s B' s T s i B' s Bs proizlazi: B' s Ns Jasno, B' s Ts i B' s Bs podrazumijeva da je B' s ortogonalan na bilo koji vektor iz rektifikaione ravnine (vidi str 50), što ima za posljediu da su B' s i N s B' s s N s s s odakle proizlazi da je: Sada se lako vidi da iz kolinearani, tj Treba još dokazati da je Iz definiije 5 imamo da je: s B' s Ns, odakle dobivamo: s N s B' s N s N s Podsjetimo se da za skalarni produkt vektora općenito ne vrijedi svojstvo asoijativnosti a b a b a S druge strane imamo: i su kolinearni vektori Primjenom navedenog i dokazane činjenie da su što povlači da je: odnosno: B' s s N s B' s i N s B' s N s N s B' s N s N s kolinearani imamo: s N s B' s N s N s B' s N s Time je dokazana formula (57) Dokažimo sada formulu (56) Deriviranjem identiteta Ns BsT s dobivamo: N ' s B' s T s BsT ' s odakle primjenom (dokazanih) formula (55) i (57) proizlazi: N ' s s N s T s Bs s N s s N s T s s Bs N s odnosno N ' s st s s Bs Pritom smo koristili da je trobrid pratio T s, N s,bs B s Ts desno orijentiran za svaki s 0, L 60

3 Komentar 6 Formule (55), (56) i (57) zajedničkim imenom zovemo Frenet-Serret-ovim formulama, koje u matričnom obliku prikazujemo sljedećom matričnom jednadžbom: T ' s 0 s 0 T s N ' s s 0 s Ns (58) B' s 0 s 0 Bs Matria s 0 0 s 0 0 s 0 s je koso simetrična, gdje je: s 0, s s 0, L Lema 6 C x x s regularna krivulja u prostoru Neka je parametrom s ) i neka je s 0 za svaki 0, L Jedinični vektor binormale Bs samo ako je s 0 za svaki 0, L Pretpostavimo da je s (parametrizirana prirodnim je konstantan vektor u svakoj točki regularne krivulje C ako i s Bs B (konstantan vektor) za svaki s 0, L Tada je: svaki s 0, L, stoga iz treće Frenet-Serret-ove formule B' s s N s da je s 0 za svaki s 0, L Uočimo da uvjet s 0 povlači N s 0 s 0 s N s 0 proizlazi: s 0 s Obrat: neka je s 0 za svaki s 0, L B' s 0 s, što povlači da je Bs B konstantan vektor za svaki 0, L Teorem 64 Neka je C x x s regularna krivulja u prostoru B' s 0 za direktno proizlazi, stoga iz Tada iz treće Frenet-Serret-ove formule proizlazi s s 0, L Krivulja C je ravninska ako i samo ako je s 0 za svaki 0, L Ako je regularna krivulja krivulja C leži u bilo kojoj ravnini prostora takva da je s 0 s za svaki N s C x xs ravninska, tj ako regularna T s, onda je binormala konstantna u svakoj točki te krivulje C, stoga primjenom leme 6 proizlazi da je s 0 za svaki 0, L s C 6

4 Obrat: neka je C x x s regularna krivulja u prostoru takva da je u svakoj njenoj točki torzija jednaka nuli Pritom se podrazumijeva da nijedna točka regularne krivulje C nije točka izravnavanja, što je posljedia uvjeta s 0 s 0, L za svaki Primjenom leme 6 imamo da iz pretpostavke s 0 za svaki 0, L Bs B konstantan vektor za svaki s 0, L s proizlazi da je Drugim riječima, u svakoj točki regularne krivulje C u prostoru imamo ortonormiranu bazu T s, N s, B, gdje je binormala u svakoj točki te krivulje neki konstantan fiksan vektor (određen svojim smjerom, duljinom i orijentaijom), što ima za posljediu da krivulja C mora ležati u nekoj ravnini prostora Time je C ravninska krivulja na koju je ortogonalna fiksna binormala B Komentar 65 Ako je torzija u svakoj točki regularne krivulje C jednaka nuli ili ekvivalentno ako je jedinični vektor binormale B s B konstantan vektor u svakoj točki krivulje C, onda krivulja C mora biti ravninska krivulja i ona ujedno leži u oskulainoj ravnini Podsjetimo se, vektor binormale je ortogonalan na oskulaionu ravninu krivulje C, koju razapinju vektori i T s Zaključujemo: Ns Ako je C regularna ravninska krivulja, onda je s 0 i B svaki s 0, L Propoziija 66 s B (konstantan vektor) za Time su Frenet-Serret-ove formule ravninske krivulje C dane sa: T' s s Ns, (59) N ' s s T s (60) Regularna ravninska krivulja C je kružnia ako i samo ako je fleksija u svakoj njenoj točki jednaka fiksiranom konstantnom strogo pozitivnom realnom broju Ako je regularna ravninska krivulja kružnia polumjera r 0, onda je fleksija u svakoj točki kružnie obrnuto proporionalna svom polumjeru r 0 (vidi primjer 54) Obrat: pretpostavimo da je C regularna ravninska krivulja, takva da je fleksija u svakoj njenoj točki jednaka nekom fiksiranom konstantnom strogo pozitivnom realnom broju, tj neka je: 6

5 takva da je s za svaki 0, L C x s x s i y s j, (6) s, gdje je 0 ( je fiksan realan broj) Tada primjenom Frenet-Serret-ovih formula (59) i (60) na danu ravninsku krivulju C imamo: T' s N s N ' s T s, y j O i x s N s T s t C s T s T x s, y s x Primijetimo: N s T s os s i sin s j T s, stoga imamo: (6) N s os s i sin s j odnosno: N s sin s i os s j Deriviranjem jediničnog vektora tangente (6) dobivamo: T ' s ' s sin s i ' s os s j ' s sin s i os s j odnosno Uzimajući u obzir da je T' s N s T' ' N s s s direktno proizlazi: ' s odakle je: s s k i s k j, s s k T os sin gdje je k bilo koji realan broj (konstanta) Nadalje, iz x ' s T s proizlazi: x s T s ds x s i os s k ds j sin s k ds odnosno Rješavanjem dobivenih integrala metodom supstituije proizlazi: os s k ds sin s k, sin s k ds os s k 6

6 odnosno xs sin s k i os s k j, (6) sin os gdje je: x s s k, y s s k Sada se lako vidi da vrijedi x s y s (64) Primijetimo da je sa (64) dana jednadžba kružnie polumjera 0 sa središtem u točki, Napomena: U speijalnom slučaju za 0 iz jednadžbe (6) dobivamo: xs sin s k i os s k j, sin os, odakle proizlazi: x s s k, y s s k čime se dobiva: xs ys jednadžba kružnie polumjera 0 sa središtem u ishodištu pravokutnog koordinatnog sustava Zaključak: Propoziijom 66 pokazali smo da je kružnia jedina ravninska krivulja za koju vrijedi da je u svakoj njezinoj točki fleksija jednaka nekom fiksnom strogo pozitivnom realnom broju Pritom je fleksija kružnie obrnuto proporionalna polumjeru te kružnie Propoziijom 56 pokazali smo da je prava jedina ravninska krivulja za koju vrijedi da je u svakoj njegovoj točki fleksija jednaka nuli 64