Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. p
|
|
|
- Norma Urbanc
- пре 4 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Numerička matematika 11. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 1/46
2 Sadržaj predavanja dodatka Numerička integracija (dodatak): Asimptotski razvoj i Euler MacLaurinova formula. Richardsonova ekstrapolacija i Rombergov algoritam. Primjeri za Rombergov algoritam. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 2/46
3 Rombergov algoritam NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 3/46
4 Općenito o Rombergovom algoritmu Pri izvodu Rombergovog algoritma koristimo se sljedećim principima: udvostručavanjem broja podintervala u produljenoj trapeznoj metodi, eliminacijom vodećeg člana u asimptotskom razvoju greške, iz dvije susjedne produljene formule. Ponovljena primjena ovog principa zove se Richardsonova ekstrapolacija. Za početak, treba objasniti što je to asimptotski razvoj. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 4/46
5 Asimptotski razvoj Da bismo mogli približno izračunati sumu konvergentnog reda neke funkcije f u točki x, oblika f(x) = a n p n (x), n=0 red smo aproksimirali konačnom parcijalnom sumom N f N (x) = a n p n (x). n=0 Time smo podrazumijevali da ostatak reda teži prema nuli, i to po N, za fiksni x lim (f(x) f N(x)) = lim a n p n (x) = 0. N N n=n+1 NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 5/46
6 Precizna definicija asimptotskog niza Ako zamijenimo ulogu N i x u konvergenciji razvoja, dobivamo novi pojam asimptotskog razvoja. Pritom red uopće ne mora konvergirati. Precizna definicija asimptotskog razvoja u okolini neke točke bazirana je na definiciji asimptotskog niza u okolini te točke. Definicija. (Asimptotski niz) Neka je D R neka domena i c ClD neka točka iz zatvarača skupa D, s tim da c može biti i + ili. Nadalje, neka je ϕ n : D R, n N 0, niz funkcija za kojeg vrijedi ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) (x c u D), za svaki n N. Tada kažemo da je (ϕ n ) asimptotski niz kad x c u skupu D. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 6/46
7 Precizna definicija asimptotskog razvoja Podsjetnik. Oznaka ϕ n (x) = o(ϕ n 1 (x)) znači da svaka funkcija ϕ n raste bitno sporije od prethodne funkcije ϕ n 1 u okolini neke točke (kod nas c), u smislu da vrijedi lim x c x D ϕ n (x) ϕ n 1 (x) = 0, što uključuje i pretpostavku da je ϕ n 1 (x) 0 na nekoj okolini točke c gledano u skupu D, osim eventualno u samoj točki c. Definicija. (Asimptotski razvoj) Neka je (ϕ n ), n N 0, asimptotski niz kad x c u skupu D. Formalni red funkcija a n ϕ n n=0 NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 7/46
8 Precizna definicija asimptotskog razvoja je asimptotski razvoj funkcije f za x c u skupu D, oznaka f(x) a n ϕ n (x) (x c u D), n=0 ako za svaki N N vrijedi relacija asimptotskog ponašanja f(x) = N 1 n=0 a n ϕ n (x)+o(ϕ N (x)) (x c u D), tj. apsolutna greška izmedu f i (N 1)-e parcijalne sume reda raste najviše jednako brzo kao i N-ti član asimptotskog niza, u okolini točke c. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 8/46
9 Euler MacLaurinova formula Asimptotski razvoj pogreške za produljenu trapeznu metodu integracije daje Euler MacLaurinova formula. Teorem. (Euler MacLaurinova formula) Neka su m i n cijeli brojevi takvi da je m 0 i n 1. Definiramo ekvidistantnu mrežu s n podintervala na [a,b], tj. h = b a n, x k = a+kh, k = 0,...,n. Pretpostavimo da je f C (2m+2) [a,b]. Za pogrešku produljene trapezne metode vrijedi E n (f) = b a f(x)dx I T n(f) = m i=1 d 2i n 2i +F n,m, NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 9/46
10 Euler MacLaurinova formula gdje su koeficijenti a ostatak je d 2i = B 2i (2i)! (b a)2i( f (2i 1) (b) f (2i 1) (a) ), F n,m = (b a)2m+2 (2m+2)!n 2m+2 b Ovdje su B 2i Bernoullijevi brojevi, a ( ) x a B 2m+2 f (2m+2) (x)dx. h B i = 1 0 B i (x)dx, i 1, NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 10/46
11 Euler MacLaurinova formula a B i je periodičko proširenje običnih Bernoullijevih polinoma { B i (x), za 0 x 1, B i (x) = B i (x 1), za x 1. Dokaz je u klasičnim udžebnicima numeričke analize. U koeficijentima d 2i javljaju se Bernoullijevi brojevi. Osim B 1 = 1, svi ostali neparni Bernoullijevi brojevi su 0, a prvih 2 nekoliko parnih je: B 0 = 1, B 2 = 1 6, B 4 = 1 30, B 6 = 1 42, B 8 = 1 30, B 10 = 5 66, B 12 = , B 14 = 7 6, B 16 = Nadalje, brojevi B 2i vrlo brzo rastu po apsolutnoj vrijednosti, tako da je B NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 11/46
12 Eliminacija člana greške Red u n 2, koji se javlja u asimptotskoj ocjeni pogreške za produljenu trapeznu metodu b m E n (f) = f(x)dx In(f) T d 2i = n +F n,m, 2i a i=1 ne konvergira kad glatkoća m raste u, jer koeficijenti d 2i ne teže prema nuli. Naravno, znamo da E n (f) 0, kad broj podintervala n. Ideja: Ako je funkcija f dovoljno glatka, eliminirati član po član u sumi za grešku, na osnovu izračunatih vrijednosti integrala s n/2 i n podintervala, odnosno, s duljinama koraka 2h i h. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 12/46
13 Izvod Rombergovog algoritma Neka je I (0) n trapezna formula n podintervala. Iz Euler MacLaurinove formule, (ako je funkcija f dovoljno glatka i n paran), za asimptotski razvoj greške imamo I I (0) I I (0) n = d(0) 2 n/2 = 4d(0) 2 n + d(0) 4 2 n d(0) 2m n 2m +F n,m + 16d(0) m d (0) 2m n 2 n 4 n 2m +F n/2,m. Želimo eliminirati prvi član greške s n 2, pa prvi razvoj pomnožimo s 4 i oduzmemo mu drugi razvoj. Dobivamo 12d(0) 4(I I n (0) ) (I I (0) n/2 ) = 4 n 4 60d(0) 6 +. n 6 NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 13/46
14 Izvod Rombergovog algoritma Premješanjem članova koji imaju I na lijevu stranu, a zatim dijeljenjem, dobivamo I = 4I(0) n I (0) n/2 4d(0) 4 20d(0) n 4 n 6 Prvi član zdesna uzimamo kao bolju, popravljenu aproksimaciju integrala. Označimo tu aproksimaciju s I n (1) = 4I(0) n I (0) n/2, n paran, n 2. 3 Sada u formuli za grešku, da bismo lakše računali, definiramo d (1) 4 = 4d (0) 4, d (1) 6 = 20d (0) 6,... NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 14/46
15 Izvod Rombergovog algoritma Time smo dobili novi integracijski niz I (1) 2,I (1) 4,I (1) 8,... Njegova je greška I I (1) n = d(1) 4 n + d(1) 6 4 n +. 6 Sličan argument kao i prije možemo upotrijebiti i dalje. Eliminirajmo prvi član pogreške iz I n (1) i I (1) n/2, I I (1) n/2 = 16d(1) 4 n d(1) 6 +, n 6 uz uvjet da je funkcija dovoljno glatka i da je n djeljiv s 4. Tada je 16(I I n (1) ) (I I (1) n/2 ) = 48d(1) 6 +, n 6 NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 15/46
16 Izvod Rombergovog algoritma odnosno I = 16I(1) n I (1) n/ d(1) n 6 Ponovno, prvi član s desne strane proglasimo za novu aproksimaciju integrala I n (2) = 16I(1) n I (1) n/2 15, n djeljiv s 4, n 4. Induktivno, nastavljanjem postupka, dobivamo Richardsonovu ekstrapolaciju n = 4k I n (k 1) 4 k 1 I (k) I (k 1) n/2, n 2 k. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 16/46
17 Izvod Rombergovog algoritma Pritom je greška jednaka E (k) n = I I (k) n = d(k) 2k+2 + 2k+2 n = β k (b a)h 2k+2 f (2k+2) (ξ), a ξ b. Sada možemo složiti Rombergovu tablicu I (0) 1 I (0) 2 I (1) 2 I (0) 4 I (1) 4 I (2) NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 17/46
18 Poredak računanja Poredak računanja u tablici je sljedeći: Iz ocjene greške možemo izvesti omjere grešaka u stupcu Rombergove tablice, uz pretpostavku dovoljne glatkoće funkcije f. Dobivamo E (k) n E (k) 2n 2 2k+2, NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 18/46
19 Omjeri grešaka u Rombergovoj tablici tj. omjeri pogrešaka u stupcu se moraju ponašati kao Puno ilustrativnije od omjera grešaka E n (k) /E (k) 2n 2 2k+2 je promatranje eksponenta omjera grešaka 2k + 2, NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 19/46
20 Primjeri za Rombergov algoritam NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 20/46
21 Omjeri grešaka u Rombergovoj tablici Pokažimo na primjeru da prethodni omjeri pogrešaka u stupcu vrijede samo ako je funkcija dovoljno glatka. Primjer. Rombergovim algoritmom s točnošću nadite vrijednosti integrala 1 e x dx, 1 x 3/2 dx, 1 xdx i pokažite kako se ponašaju omjeri pogrešaka i eksponenti omjera pogrešaka u stupcima. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 21/46
22 Eksponencijalna funkcija Eksponencijalna funkcija ima beskonačno mnogo neprekidnih derivacija na [0, 1], pa bi se računanje integrala moralo ponašati po predvidanju. Ako usporedujemo vrijednosti samo po dijagonali tablice, nakon 2 5 = 32 podintervala u trapeznoj formuli, dobivamo približnu vrijednost integrala I 5 takvu da je I 5 = I = e 1 = I I 5 = 0. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 22/46
23 Eksponencijalna funkcija Omjeri pogrešaka u stupcima su pa uz malo kreativnog vida vidimo da su omjeri prema predvidanju 4,16,64,256,1024,... NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 23/46
24 Eksponencijalna funkcija Eksponenti omjera pogrešaka su pa ponovno čitamo da su eksponenti omjera pogrešaka 2,4,6,8,10,... NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 24/46
25 Funkcija x 3/2 Funkcija f(x) = x 3/2 ima neograničenu drugu derivaciju u 0, pa bi zanimljivo ponašanje moralo početi već u drugom stupcu Rombergove tablice, jer za trapez je funkcija dovoljno glatka za ocjenu pogreške. Nakon 2 15 podintervala u trapeznoj formuli, dobivamo približnu vrijednost I 15 = I = 2/5 = I I 15 = Primijetite da je broj intervala poprilično velik! NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 25/46
26 Funkcija x 3/2 Što je s omjerima pogrešaka? Nakon prvog stupca omjeri pogrešaka su se stabilizirali. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 26/46
27 Funkcija x 3/2 Bit će nam mnogo lakše provjeriti što se dogada, ako napišemo samo eksponente omjera pogrešaka Eksponenti omjera pogrešaka od drugog stupca nadalje su za točno 1 veći od eksponenta same funkcije (integriramo!). NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 27/46
28 Funkcija x Situacija s funkcijom f(x) = x mora biti još gora, jer ona ima neograničenu prvu derivaciju u 0. Nakon 2 15 podintervala u trapeznoj formuli, ne dobivamo željenu točnost I 15 = I = 2/3 = I I 15 = NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 28/46
29 Funkcija x Omjeri pogrešaka u tablici su: NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 29/46
30 Funkcija x Pripadni eksponenti su Produljena trapezna formula još uvijek konvergira, ali konvergencija više nije O(h 2 ), već samo O(h 3/2 ). NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 30/46
31 Zadaci U posljednja dva primjera, Rombergovom algoritmu može se pomoći tako da supstitucijom u integralu dobijemo glatku funkciju. U oba slučaja, supstitucija je x = t 2. Provjerite što se dogada u Rombergovom algoritmu nakon ove supstitucije. Ako u posljednjem integralu promijenimo granice integracije 2 xdx što mislite kojoj će se funkciji iz prethodnih primjera najsličnije ponašati omjeri pogrešaka? 1 NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 31/46
32 Druge oznake U literaturi postoji i drugačija oznaka za aproksimacije integrala u Rombergovoj tablici T (k) Sama tablica ima oblik m = 4m T (k+1) m 1 T (k) m 1 4 m 1. T (0) 0 T (1) 0 T (0) 1 T (2) 0 T (1) 1 T (0) NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 32/46
33 Još malo o Rombergovoj tablici Tvrdnja. Drugi stupac Rombergove tablice odgovara produljenoj Simpsonovoj formuli redom, s 2,4,8,16,... podintervala. Nadimo eksplicitnu formulu za I (1) n. Ako trapezna formula ima n podintervala, onda je pripadni h = (b a)/n, n/2 podintervala, onda je pripadni h 1 = 2(b a)/n = 2h. Iz trapeznih formula za n i n/2 podintervala, I (0) n = h 2 (f 0 +2f 1 + 2f n 1 +f n ) I (0) n/2 = h 1 2 (f 0 +2f 2 + 2f n 2 +f n ), NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 33/46
34 Još malo o Rombergovoj tablici uvrštavanjem u I (1) n, dobivamo I n (1) = 4I(0) n I (0) n/2 3 = 4 3 h 2 (f 0 +2f f n 1 +f n ) 1 3 h1 2 (f 0 +2f f n 2 +f n ) = 2h 3 (f 0 +2f f n 1 +f n ) h 3 (f 0 +2f f n 2 +f n ) = h 3 (f 0 +4f 1 +2f f n 2 +4f n 1 +f n ), što je Simpsonova formula s n podintervala. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 34/46
35 Zadatak Odgovaraju li ostali stupci u Rombergovoj tablici sljedećim Newton Cotesovim formulama (Simpsonovoj formuli 3/8, Booleovoj formuli,...)? Na sreću, odgovor je ne! U protivnom, Rombergov algoritam ne bi konvergirao, recimo, za funkciju Runge. Za točnost 10 12, ako usporedujemo dijagonalni dio tablice, potrebno je 2 10 = 1024 podintervala, a dobiveni rezultat je I 10 = I = I I 10 = NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 35/46
36 Oprez s oscilirajućim funkcijama Primjer. Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 sin(17πx) dx tako da greška bude manja ili jednaka Podintegralna funkcija je relativno brzo oscilirajuća i ima 17 grba. Tablicu ispisujemo samo na prvih par decimala (a računamo u punoj točnosti tipa extended). NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 36/46
37 Oprez s oscilirajućim funkcijama Rombergova tablica: Rezultat (sa svim znamenkama): I 7 = I I 7 = I = NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 37/46
38 Oprez s oscilirajućim funkcijama Što je razlog stabilizacije oko jedne, pa oko druge vrijednosti? Nedovoljan broj podintervala u trapeznoj formuli, koji ne opisuje dobro ponašanje funkcije. Rješenje problema: u svaku grbu treba staviti barem nekoliko točaka. Sljedeće slike nam to zorno i pokazuju. Tek kad smo stavili 16 točaka u trapeznu formulu, stavili smo skoro jednu točku po grbi i trapezna formula je počela prepoznavati oblik podintegralne funkcije. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 38/46
39 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 2 podintervala. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 39/46
40 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 4 podintervala. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 40/46
41 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula s 8 podintervala. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 41/46
42 Oprez s oscilirajućim funkcijama y x Produljena trapezna formula sa 16 podintervala. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 42/46
43 Zadatak Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 sin(257πx) dx 0 tako da greška bude manja ili jednaka Oprez, ako u Rombergovom algoritmu ne zahtijevate stavljanje dovoljnog broja podintervala, dobiveni rezultat bit će pogrešan! NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 43/46
44 Trapez može biti brži od Romberga Primjer. Korištenjem Rombergovog algoritma izračunajte približnu vrijednost integrala 1 e cos(πx) cos(πx)dx 0 tako da greška bude manja ili jednaka U ovom primjeru dogada se zanimljiv fenomen: produljena trapezna formula može brže izračunati točan rezultat nego Rombergov algoritam. Razlog: Dobro ponašanje produljene trapezne formule za periodičke funkcije! NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 44/46
45 Trapez može biti brži od Romberga Početni dio Rombergove tablice: Crveno označeni brojevi imaju sve znamenke točne. Rombergov algoritam daje netočniju aproksimaciju I 5 = NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 45/46
46 Trapez može biti brži od Romberga Sporost Rombergovog algoritma posljedica je činjenice da trapezna formula s jednim podintervalom ima veliku grešku. Budući da ona ulazi u ekstrapolaciju rezultata na dijagonali, dijagonalni rezultati su dosta pogrešni. Stvarno, za produljenu trapeznu formulu ne vrijedi isti razvoj pogreške (puno je točnija zbog periodičnosti funkcije f, za koeficijente u Euler MacLaurinovoj formuli vrijedi d 2i = 0)! Rješenje problema: usporedimo susjedne rezultate u stupcima tablice i ako se oni slože na odgovarajuću točnost, uzmemo ih kao aproksimaciju. NumMat 2019, 11. predavanje dodatak p. 46/46
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (
MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija
Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs
Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy
Microsoft Word - predavanje8
DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).
Programiranje 1 IEEE prikaz brojeva sažetak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, IEEE p
Programiranje IEEE prikaz brojeva sažetak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog 208, IEEE prikaz brojeva sažetak p. /4 Sadržaj predavanja IEEE standard
Newtonova metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe f(x)=0
za rješavanje nelinearne jednadžbe f (x) = 0 Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 Odjel za matematiku Sveučilište u Osijeku Seminarski rad iz Matematičkog praktikuma Ime Prezime 1, Ime Prezime 2 za rješavanje
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n
1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1.
MJERA I INTEGRAL završni ispit 6. srpnja 208. (Knjige bilježnice dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!). (8 bodova) Kao na predavanjima za d N sa P d : a b ] a d b d ] : a i b i R a i b i za i
Neodreeni integrali - Predavanje III
Neodredeni integrali Predavanje III Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Neodredeni integrali Neodredeni integral Tablični integrali Metoda supstitucije Metoda parcijalne
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
Programiranje 2 0. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 0. predavanje p. 1/4
Programiranje 2 0. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog2 2019, 0. predavanje p. 1/48 Sadržaj predavanja Ponavljanje onog dijela C-a koji
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivana Šore REKURZIVNOST REALNIH FUNKCIJA Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Zvonko Iljazović Zagreb, rujan, 2015. Ovaj diplomski
ALIP1_udzb_2019.indb
Razmislimo Kako u memoriji računala prikazujemo tekst, brojeve, slike? Gdje se spremaju svi ti podatci? Kako uopće izgleda memorija računala i koji ju elektronički sklopovi čine? Kako biste znali odgovoriti
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler
Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w)
Konstrukcija linearnih višekoračnih metodi Postoje tri važne familije višekoračnih metoda: Adamsovi metodi Adams-Bashfortovi metodi kod kojih je ρ(w) = w k w k 1 Adams-Moultonovi metodi kod kojih je ρ(w)
vjezbe-difrfv.dvi
Zadatak 5.1. Neka je L: R n R m linearni operator. Dokažite da je DL(X) = L, X R n. Preslikavanje L je linearno i za ostatak r(h) = L(X + H) L(X) L(H) = 0 vrijedi r(h) lim = 0. (5.1) H 0 Kako je R n je
18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f
8 DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadata. Nadite f (x) ao je (a) f(x) = ( + x ) arctg x (b) f(x) = e x cos x (a)
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D
Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.
Pripreme 2016 Indukcija Grgur Valentić lipanj Zadaci su skupljeni s dva predavanja na istu temu, za učenike od prvog do trećeg razreda i za MEMO
Pripreme 016 Indukcija Grgur Valentić lipanj 016. Zadaci su skupljeni s dva predavanja na istu temu, za učenike od prvog do trećeg razreda i za MEMO kandidate. Zato su zadaci podjeljeni u odlomka. U uvodu
ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI
ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)
1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, RAČUNARSTVA I INFORMACIJSKIH TEHNOLOGIJA Diplomski studij DESKTOP APLIKACIJA ZA RJEŠAVANJE ODREĐENIH INTEGRALA I IZRAČUNA DERIVACIJE
Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I
Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6
ZADACI ZA VJEŽBU 1. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). 2.
ZADACI ZA VJEŽBU. Dokažite da vrijedi: (a) (A \ B) (B \ A) = (A B) (A C B C ), (b) A \ (B \ C) = (A C) (A \ B), (c) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C).. Pomoću matematičke indukcije dokažite da za svaki n N vrijedi:
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
Primjena neodredenog integrala u inženjerstvu Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod Ako su dvije veličine x i y povezane relacijom
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8. siječnja 2010.
MATEMATIČKA ANALIZA I primjeri i zadaci Ante Mimica 8 siječnja 00 Sadržaj Funkcije 5 Nizovi 7 3 Infimum i supremum 9 4 Neprekidnost i es 39 3 4 SADRZ AJ Funkcije 5 6 FUNKCIJE Nizovi Definicija Niz je
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRAL
Sveučilište u Splitu Fakultet prirodoslovno-matematičkih znanosti i odgojnih područja Zavod za fiziku Pripremni tečaj za studente prve godine INTEGRALI Sastavio: Ante Bilušić Split, rujan 4. 1 Neodredeni
Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija math.e 1 of 15 Vol.25. math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih
1 of 15 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Metoda konačnih elemenata; teorija i praktična implementacija klavirska žica konačni elementi mehanika numerička matematika Andrej Novak Sveučilište
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj
knjiga.dvi
1. Vjerojatnost 1. lgebra dogadaja......................... 1 2. Vjerojatnost............................. 9 3. Klasični vjerojatnosni prostor................. 14 4. eskonačni vjerojatnosni prostor...............
Natjecanje 2016.
I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka
Matematika 1 - izborna
3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva
Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler
i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba
MAT KOL (Banja Luka) ISSN (p), ISSN (o) Vol. XX (2)(2014), PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORIN
MAT KOL (Banja Luka) ISSN 0354 6969 (p), ISSN 986 5228 (o) Vol. XX (2)(204), 59 68 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm PELLOVA JEDNAČINA I PITAGORINE TROJKE Amra Duraković Bernadin Ibrahimpašić 2, Sažetak
Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala math.e Vol math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod
1 math.e Hrvatski matematički elektronički časopis Diferenciranje i integriranje pod znakom integrala analiza Irfan Glogić, Harun Šiljak When guys at MIT or Princeton had trouble doing a certain integral,
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJA.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14
Neprekidnost Jelena Sedlar Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 1 / 14 Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost 2 / 14 Definicija. Jelena Sedlar (FGAG) Neprekidnost
Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2
vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f
JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Popravni ispit 7. rujna (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori
1. (ukuno 20 bodova) MJERA I INTEGRAL Poravni isit 7. rujna 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni airi i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (4 boda) Neka je nerazan sku. Precizno definirajte ojam σ-rstena
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
Znanstveno računanje 2 3. i 4. predavanje Saša Singer web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb ZR2 2009, 3. i 4. predavanje p.
Znanstveno računanje 2 3. i 4. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb ZR2 2009, 3. i 4. predavanje p.1/61 Sadržaj predavanja Primjer iz prakse (nastavak):
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni
2015_k2_z12.dvi
OBLIKOVANJE I ANALIZA ALGORITAMA 2. kolokvij 27. 1. 2016. Skice rješenja prva dva zadatka 1. (20) Zadano je n poslova. Svaki posao je zadan kao vremenski interval realnih brojeva, P i = [p i,k i ],zai
Numerička matematika 1. predavanje dodatak Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 1. pre
Numerička matematika 1. predavanje dodatak Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb NumMat 2019, 1. predavanje dodatak p. 1/102 Sadržaj predavanja dodatka
3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papir
3. Neprekinute funkcije U ovoj to ki deniramo neprekinute funkcije. Slikovito, graf neprekinute funkcije moºemo nacrtati a da ne diºemo olovku s papira. Neprekinute funkcije vaºne su u teoriji i primjenama.
Slide 1
0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT
Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja
Microsoft Word - ASIMPTOTE FUNKCIJE.doc
ASIMPTOTE FUNKCIJE (PONAŠANJE FUNKCIJE NA KRAJEVIMA OBLASTI DEFINISANOSTI) Ovo je jedna od najznačajnijih tačaka u ispitivanju toka funkcije. Neki profesori zahtevaju da se asimptote rade kao. tačka u
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi
Generalizirani trag i normalne forme za logiku interpretabilnosti Vedran Čačić PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu Dubrovnik radiona Sustavi dokazivanja 28. lipnja 2012. Zašto logika interpretabilnosti?
Vektorske funkcije i polja Mate Kosor / 23
i polja Mate Kosor 9.12.2010. 1 / 23 Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti će dostupna na webu. Isti format vježbi očekujte do kraja semestra. 2 / 23 Danas
Microsoft Word - 12ms121
Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do
2.7 Taylorova formula Teorem 2.11 Neka funkcija f : D! R; D R m ; ima na nekoj "-kugli K(T 0 ; ; ") D; T 0 x 0 1; :::; x 0 m neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1) vog reda, n 0; onda za svaku tocku
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predava
Programiranje 1 3. predavanje prošireno Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb Prog1 2018, 3. predavanje prošireno p. 1/120 Sadržaj proširenog predavanja
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:
Toplinska i električna vodljivost metala
Električna vodljivost metala Cilj vježbe Određivanje koeficijenta električne vodljivosti bakra i aluminija U-I metodom. Teorijski dio Eksperimentalno je utvrđeno da otpor ne-ohmskog vodiča raste s porastom
Oblikovanje i analiza algoritama 5. predavanje Saša Singer web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 5. pr
Oblikovanje i analiza algoritama 5. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.pmf.unizg.hr/~singer PMF Matematički odsjek, Zagreb OAA 2017, 5. predavanje p. 1/68 Sadržaj predavanja Nehomogene rekurzije
Sadržaj 1 Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora Diskretan slučajan vektor
Sadržaj Diskretan slučajan vektor Definicija slučajnog vektora 2 Diskretan slučajan vektor Funkcija distribucije slučajnog vektora 2 4 Nezavisnost slučajnih vektora 2 5 Očekivanje slučajnog vektora 6 Kovarijanca
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (x) M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da
Algoritmi SŠ P1
Državno natjecanje iz informatike Srednja škola Prvi dan natjecanja 2. ožujka 219. ime zadatka BADMINTON SJEME MANIPULATOR vremensko ograničenje 1 sekunda 1 sekunda 3 sekunde memorijsko ograničenje 512
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)
PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne fun
Konstrukcija i analiza algoritama Nina Radojičić februar 2018. 1 Analiza algoritama, rekurentne relacije 1 Definicija: Neka su f i g dve pozitivne funkcije od argumenta n iz skupa N prirodnih brojeva.
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,
Optimizacija
Optimizacija 1 / 43 2 / 43 Uvod u optimizaciju Zadana funkcija Uvod u optimizaciju f : R n R Cilj: Naći x, točku minimuma funkcije f : - Problem je jednostavno opisati x = arg min x R n f (x). - Rješavanje
PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije
PROGRAMIRANJE Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Algoritam je postupak raščlanjivanja problema na jednostavnije korake. Uz dobro razrađen algoritam neku radnju ćemo
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
PowerPoint Presentation
Колоквијум # задатак подељен на 4 питања: теоријска практична пишу се програми, коначно решење се записује на папиру, кодови се архивирају преко сајта Инжењерски оптимизациони алгоритми /3 Проблем: NLP:
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Saže
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 57 66 Malo kompleksne analize i osnovni teorem algebre Ljiljana Arambašić, Maja Horvat Sažetak Cilj je ovog rada približiti neke osnovne pojmove
Interpretacija čuda pomoću teorije determinističkog kaosa (Jerko Kolovrat, KBF Split; Marija Todorić, PMF Zagreb) Postoje razne teme koje zaokupljaju
Interpretacija čuda pomoću teorije determinističkog kaosa (Jerko Kolovrat, KBF Split; Marija Todorić, PMF Zagreb) Postoje razne teme koje zaokupljaju ljudski um i tjeraju ga da prema njima zauzme stav
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)
1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,
Programiranje 2 popravni kolokvij, 15. lipnja Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanj
Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni šalabahter. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O
http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Slide 1
OSNOVNI POJMOVI Naredba je uputa računalu za obavljanje određene radnje. Program je niz naredbi razumljivih računalu koje rješavaju neki problem. Pisanje programa zovemo programiranje. Programski jezik
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7
Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013./ Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani
Grupiranje podataka: pristupi, metode i primjene, ljetni semestar 2013/2014 1 5 Standardizacija podataka Predavanja i vježbe 8 Ako su podaci zadani s više obilježja (atributa), ta se obilježja mogu međusobno
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8x 2 A) (f (
2. Globalna svojstva realnih funkcija Denicija 2.1 Za funkciju f : A kaemo da je:! R; A R ome dena odozgor ako postoji M 2 R takav da je (8 2 A) (f () M) ; ome dena odozdol ako postoji m 2 R takav da je
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj
Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o
Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti
Jednadžbe - ponavljanje
PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE
23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi
3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem
0255_Uvod.p65
1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc
Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Programiranje 1 drugi kolokvij, 2. veljače Ime i prezime: JMBAG: Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje,
Upute: Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i brisanje, te službeni podsjetnik. Kalkulatori, mobiteli, razne neslužbene tablice, papiri i sl., nisu dozvoljeni! Sva rješenja napišite
Microsoft Word - z4Ž2018a
4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00