Analiticka geometrija
|
|
|
- Илда Кнежевић
- пре 5 година
- Прикази:
Транскрипт
1 Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15
2 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
3 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
4 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
5 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
6 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
7 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
8 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
9 Ekscentricitet konusnih preseka Posmatrajmo elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b > 0 (odnosno, x osa je fokalna osa); b2 fokusi su dati sa F 1,2 (±c, 0), c = a 2 b 2, a > c > 0; temena su T 1,2 (±a, 0) c a (0, 1) Ako je c = 0, odnosno F 1 = F 2, onda je a = b i dobijamo kružnicu c a = 0 Ako c a, odnosno F i T i, i = 1, 2 onda b 0, te elipsa teži ka duži T 1 T 2 c a 1 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 2 / 15
10 Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
11 Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
12 Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
13 Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
14 Ekscentricitet elipse Ekscentricitet elipse je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data elipsa x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = a2 b 2 Kod elipse je 0 < c < a, te je ekscentricitet 0 < e < 1 Ako je e = 0, onda je c = 0, odnosno a = b, pa dobijamo kružnicu Kada e 1, odnosno b 0, elipsa se sve više izdužuje ka duži T 1 T 2 Primer 4.1 Odrediti ekscentricitet putanje Halejeve komete ako se zna da se kreće po putanji oblika elipse 36,18 astronomskih jedinica dužine i 9,12 astronomski jedinica širine a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 3 / 15
15 Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), odnosno d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
16 Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
17 Ekscentricitet elipse Direktrise elipse su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu (veliku) osu elipse takve da za svaku tačku P sa elipse važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi elipse, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.2 Pokazati da su za elipsu x 2 a 2 + y 2 = 1, a > b odgovarajuće b2 direktrise prave oblika x = ± a e = ±a2 c = ± a 2 a2 b 2 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 4 / 15
18 Ekscentricitet elipse odnosi fokusa, temena i direktrisa elipse Desmos... elipsa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 5 / 15
19 Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
20 Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
21 Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
22 Ekscentricitet hiperbole Ekscentricitet hiperbole je broj e koji se dobija kao količnik udaljenosti fokusa i udaljenosti temena, odnosno ako je data hiperbola x 2 a 2 y 2 = 1 onda je b2 Napomena: e= udaljenost fokusa udaljenost temena = 2c 2a = c a = Kod hiperbole je c > a, te je ekscentricitet e > 1 a2 + b 2 kada e, onda c, odnosno b, pa hiperbola teži ka dve paralelne prave x = ±a kada e 1, onda c a, odnosno b 0, pa hiperbola teži ka dve poluprave "pp(, T 1 )" i "pp(t 2, )" a Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 6 / 15
23 Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), odnosno d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
24 Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
25 Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
26 Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
27 Ekscentricitet hiperbole Direktrise hiperbole su prave d 1 i d 2 normalne na fokalnu osu hiperbole takve da za svaku tačku P sa hiperbole važi d(p, F 1 ) = e d(p, D 1 ), d(p, F 2 ) = e d(p, D 2 ), odnosno gde su F 1, F 2 fokusi hiperbole, a D 1, D 2 projekcije tačke P na direktrise d 1 i d 2, redom Primer 4.3 Pokazati da su za hiperbolu x 2 y 2 = 1 direktrise prave x = ± a a 2 b 2 e Primer 4.4 Odrediti temena konusnog preseka čiji je ekscentricitet 0,8 a fokusi mu leže u tačkama (0, ±7) Primer 4.5 Odrediti jednačinu centriranog konusnog preseka čiji je jedan fokus (3, 0) a prava x = 1 mu je odgovarajuća direktrisa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 7 / 15
28 Ekscentricitet hiperbole odnosi fokusa, temena i direktrisa hiperbole Desmos... hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 8 / 15
29 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
30 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
31 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
32 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
33 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
34 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
35 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
36 Ekscentricitet parabole. Klasifikacija u odnosu na e Ekscentricitet parabole je broj 1 Naime, parabolu smo bas i definisali kao skup tačaka P takvih da im je udaljenost od fokusa F jednaka udaljenosti od direktrise d d(p, F) = 1 d(p, D), gde je D projekcija tačke P na direktrisu d * primetimo da kod parabole postoji samo jedan par (F, d) Klasifikacija konusnih preseka u odnosu na ekscentricitet e, e 0: *odnos udaljenosti tačke od fokusa i direktrise: d(p, F) = e d(p, D)* e < 1 elipsa (specijalno, e = 0 kružnica nema direktrisu) e = 1 parabola e > 1 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 9 / 15
37 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
38 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
39 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
40 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
41 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
42 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
43 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
44 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
45 Kvadratne krive Kvadratne krive u ravni su rešenja (x, y) (beskonačan skup rešenja) kvadratne jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, gde A, B, C nisu svi jednaki 0 svi konusni preseci imaju kanonske jednačine ovog oblika * parabola... y = 1 4c x 2, odnosno x 2 4cy = 0 x * elipsa y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 x * hiperbola... 2 y 2 = 1, odnosno b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2 = 0 a 2 b 2 linearni član Dx + Ey + F se formira translacijom * npr, kružnica sa centrom u C(h, k) : (x h) 2 + (y k) 2 = r 2 postaje x 2 + y 2 2hx 2ky + h 2 + k 2 r 2 = 0 novina je mešoviti član Bxy Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 10 / 15
46 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
47 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
48 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
49 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
50 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
51 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
52 Mešoviti član Bxy Primer 4.6 Odrediti jednačinu hiperbole sa fokusima F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3), ako je razlika udaljenosti tačke od fokusa 2a = 6 Iz definicije, za tačku P(x, y) sa hiperbole važi d(p, F 1 ) d(p, F 2 ) = ±6 odnosno, (x + 3) 2 + (y + 3) 2 (x 3) 2 + (y 3) 2 = ±6, što posle sre divanja izraza postaje 2xy = 9 fokusi su F 1 ( 3, 3) i F 2 (3, 3) dakle, fokalna osa je x = y (pod uglom π/4 u odnosu na x osu) temena su T 1 ( 3 2 2, ) i T 2( 3 2 2, ) asimptote su x i y osa Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 11 / 15
53 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
54 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
55 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
56 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
57 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
58 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Tačka P prvo ima koordinate P(x, y) nakon rotacije k.s. za α postaje P(x, y ) x = OM = OP cos(α + φ) = OP cos φ cos α OP sin φ sin α y = MP = OP sin(α + φ) = OP cos φ sin α + OP sin φ cos α ako koristimo dodatno i x = OM = OP cos φ y = PM = OP sin φ dobijamo formule za prelazak iz jednog koordinatnog sistema u drugi x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α Primer 4.7 Odrediti jednačinu hiperbole 2xy = 9 u koordinatnom sistemu x y, koji nastaje rotiranjem prvobitnog xy koordinatnog sistema za ugao π 4 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 12 / 15
59 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
60 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
61 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
62 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
63 Rotacija pravouglog koordinatnog sistema Nakon rotacije xy koordinatnog sistema za ugao α u novodobijenom k.s. x y, početna kvadratna jednačina je opet oblika A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0, gde je A = A cos 2 α + B cos α sin α + C sin 2 α B = B cos 2α + (C A) sin 2α C = A sin 2 α B sin α cos α + C cos 2 α D = D cos α + E sin α E = D sin α + E cos α F = F Dakle, da bi nestao mešoviti član B x y potrebno je rotirati xy koordinatni sistem za ugao α tako da B = B cos 2α + (C A) sin 2α = 0, odnosno tg 2α = B A C ili ctg 2α = A C B Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 13 / 15
64 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
65 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
66 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
67 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
68 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
69 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
70 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
71 Klasifikacija kvadratnih krivih Neka je xy koordinatni sistem postavljen tako da kvadratna jednačina nema mesoviti člana Bxy, odnosno da je oblika Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Tada znamo da je odgovarajuća kvadratna kriva (imajući u vidu i eventualne translacije u ravni) A = C 0 kružnica (spec. tačka ili prazan skup) A = 0 D 0 ili C = 0 E 0 parabola AC > 0 elipsa (spec. kružnica, tačka ili prazan skup) AC < 0 hiperbola (spec. dve prave koje se seku) A = C = 0 i D, E 0 prava ako možemo da faktorišemo kvadratni polinom kao proizvod dva linearna polinoma, onda dobijamo dve prave (ili jednu ako se poklapaju) npr. (x + ay + b)(x ay + c) = x 2 a 2 y 2 + (b + c)x + a(c b)y + bc = 0 Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 14 / 15
72 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
73 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
74 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
75 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
76 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
77 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
78 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
79 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
80 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
81 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
82 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
83 Klasifikacija kvadratnih krivih Primer 4.8 Pokazati da važi B 2 4AC = B 2 4A C Koristeći ovu činjenicu dobijamo test diskriminante za opšti oblik jednačine Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 parabola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C = 0 elipsa: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C < 0 hiperbola: B 2 4AC = B 2 4A C = 4A C > 0 naravno, mogući su i svi spominjani specijalni slučajevi Primer 4.9 Odrediti koji konusni preseci su dati narednim jednačinama 3x 2 6xy + 3y 2 + 2x 7 = 0 parabola x 2 + xy + y 2 1 = 0 elipsa xy y 2 5y + 1 = 0 hiperbola Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 15 / 15
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 3 Konusni preseci (krive drugog reda, kvadratne krive) Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 3 1 / 22 Ime s obzirom na karakteristike
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan
1 Konusni preseci (drugim rečima: kružnica, elipsa, hiperbola i parabola) Definicija 0.1 Algebarska kriva drugog reda u ravni jeste skup tačaka opisan jednačinom oblika: a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2
Analiticka geometrija
Analitička geometrija Predavanje 8 Vektori u prostoru. Skalarni proizvod vektora Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 8 1 / 11 Vektori u prostoru i pravougli koordinatni
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА
ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)
Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3
Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar Teorijska pitanja
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Srdjan Vukmirović, Tijana Šukilovic, Marijana Babić januar 5. Teorijska pitanja definicija vektora, kolinearni i komplanarni vektori, definicija
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто
![СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто](/thumbs/102/155791469.jpg "СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за векто")
СТРАХИЊА РАДИЋ КЛАСИФИКАЦИJА ИЗОМЕТРИJА И СЛИЧНОСТИ Према књизи [1], свака изометриjа σ се може представити ком позици - jом неке транслациjе за вектор a (коjи може бити и дужине нула) и неке изометриjе
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 19. decembar Teorijska pitanja 1. V
Pitanja iz geometrije za pismeni i usmeni (I smer, druga godina) Tijana Šukilović, Miloš Antić, Nenad Lazić 9. decembar 6 Teorijska pitanja. Vektori: Definicija vektora, kolinearni i koplanarni vektori,
Microsoft Word - Domacii zadatak Vektori i analiticka geometrija OK.doc
задатак. Вектор написати као линеарну комбинацију вектора.. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } 9}. }. } } }. }. } } }. }. } } } 9 8. }. } } } 9. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. } } }. }. }
1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1
1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)
Geometrija I–smer - deo 4: Krive u ravni
UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Geometrija I{smer deo 4: Krive u ravni Tijana Xukilovi 3. decembar 2018 Konus Neka su i i s dve prave u prostoru koje se seku u taqki T. Kruni konus sa temenom
RG_V_05_Transformacije 3D
Računarska grafika - vežbe 5 Transformacije u 3D grafici Transformacije u 3D grafici Slično kao i u D grafici, uz razlike: matrice su 4x4 postoji posebna matrica projekcije Konvencije: desni pravougli
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti
PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.
1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako
Microsoft Word - 24ms221
Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka
Rokovi iz Matematike 1 za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi 1. Rexiti jednaqinu z 4 + i 1 i+1 = 0. MATEMATIKA 1 {
Rokovi iz Matematike za studente Fakulteta za fiziqku hemiju Ivan Dimitrijevi, Tijana Xukilovi Rexiti jednaqinu z 4 + i i+ = MATEMATIKA { septembar 5godine x Odrediti prodor prave p : = y = z kroz ravan
Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }
1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x +
Test iz Linearne algebre i Linearne algebre A qetvrti tok, 2122017 1 U zavisnosti od realnog parametra λ rexiti sistem jednaqina x + y + z = λ x + λy + λ 2 z = λ 2 x + λ 2 y + λ 4 z = λ 4 2 Odrediti inverz
Microsoft Word - TAcKA i PRAVA3.godina.doc
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje izmeñu dve tače Ao su nam date tače A( x, y i B( x, y, onda rastojanje izmeñu njih računamo po formuli d( A,
Microsoft Word - KVADRATNA FUNKCIJA.doc
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b+ c Gde je R, a i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b+ c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Microsoft Word - IZVODI ZADACI _I deo_.doc
. C =0 Tablica izvoda. `=. ( )`=. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`=. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0). (sin)`=cos (ovde je >0 i a >0). (cos)`= - sin π. (tg)`= + kπ cos. (ctg)`= kπ
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak
Zadaci iz Nacrtne geometrije za pripremu apsolvenata Srdjan Vukmirović 27. novembar 2005. 1 Projektivna geometrija 1.1 Koordinatni pristup 1. (Zadatak 2.1) Tačke A 1 (2 : 1), A 2 (3 : 1) i B(4 : 1) date
Mate_Izvodi [Compatibility Mode]
![Mate_Izvodi [Compatibility Mode]](/thumbs/102/155170958.jpg "Mate_Izvodi [Compatibility Mode]")
ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ Нека тачке Мо и М чине једну тетиву функције. Нека се тачка М почне приближавати тачки Мо, тј. нека Тачка М постаје тачка Мо, а тетива постаје тангента функције у тачки
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E
![VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E](/thumbs/102/155964078.jpg "VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, E")
VISOKA TEHNI^KA [KOLA STRUKOVNIH STUDIJA PO@AREVAC MILORADOVI] MIROLJUB M A T E M A T I K A NERE[ENI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT AGRONOMIJA, EKOLOGIJA, ELEKTROTEHNIKA, MA[INSTVO PO@AREVAC 007 OBAVEZNO PRO^ITATI!
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља www.
ТРОУГАО БРЗИНА и математичка неисправност Лоренцове трансформације у специјалној теорији релативности Александар Вукеља aleksandar@masstheory.org www.masstheory.org Август 2007 О ауторским правима: Дело
Microsoft Word - 24ms241
Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako
My_ST_FTNIspiti_Free
ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити
Ravno kretanje krutog tela
Ravno kretanje krutog tela Brzine tačaka tela u reprezentativnom preseku Ubrzanja tačaka u reprezentativnom preseku Primer određivanja brzina i ubrzanja kod ravnog mehanizma Ravno kretanje krutog tela
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (
Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)
MatematikaRS_2.pdf
GIMNAZIJA Informacijsko komunikacijskih tehnologija Razred: drugi NASTAVNI PROGRAM ZA PREDMET: MATEMATIKA; Sedmični broj časova: 3 Godišnji broj časova : 105 Teme: 1. Trigonometrija trougla (18) 2. Stepeni
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje (Vladimir Marinkov).nb 1 Kvadratna jednačina 1. Rešiti jednačine: a x 2 81 b 2 x 2 50 c 4 x d x 1
kvadratna jednačina - zadaci za vežbanje 0. (Vladimir Marinkov).nb Kvadratna jednačina. Rešiti jednačine: a x 8 b x 0 c x d x x x e x x x f x 8 x 6 x x 6 rešenje: a) x,, b x,, c x,,d x, 6, e x,, (f) x,.
PRVI KOLOKVIJUM Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee
PRVI KOLOKVIJUM 1992. 1. Odrediti partikularno rexee jednaqine koje zadovo ava uslov y(0) = 0. y = x2 + y 2 + y 2xy + x + e y 2. Odrediti opxte rexee jednaqine y 2y + 5y = 2e t + 3t 1. 3. Rexiti sistem
Microsoft Word - vodic B - konacna
VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi
{ Rexe a Tipovi zadataka za drugi kratki test { 1. Odrediti normalizovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P (2, 1) i qiji je normalni vektor # «n p
{ Ree a Tipovi adataka a drugi kratki test { Odrediti normaliovanu jednaqinu prave p koja sadri taqku P, i qiji je normalni vektor # «n p =, 4 + 4 + = Odrediti jediniqni vektor pravca prave = i taqku te
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l
PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА 2 b ax bx c 0 x1 x2 2 D b 4ac a ( сви задаци су решени) c b D xx 1 2 x1/2 a 2a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реалн
ПРИРОДА И ЗНАК РЕШЕЊА ax x c 0 x x D 4ac a ( сви задаци су решени) c D xx x/ a a УСЛОВИ Решења реална и различита D>0 Решења реална D Двоструко решење (реална и једнака решења) D=0 Комплексна решења (нису
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate
My_P_Red_Bin_Zbir_Free
БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,
Microsoft Word - NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE.doc
NULE FUNKCIJE I ZNAK FUNKCIJE NULE FUNKCIJE su mesta gde grafik seče osu a dobijaju se kao rešenja jednačine y= 0 ( to jest f ( ) = 0 ) Mnogi profesori vole da se u okviru ove tačke nadje i presek sa y
Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]
![Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]](/thumbs/99/142687321.jpg "Microsoft PowerPoint - ravno kretanje [Compatibility Mode]")
КИНЕМАТИКА КРУТОГ ТЕЛ (наставак) 1. транслаторно кретање. обртање тела око непокретне осе 3. сферно кретање 4. опште кретање 5. раванско (равно) кретање 1 Opšte kretanje krutog tela = ( t) y = y( t) y
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S
MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)
ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у
Microsoft Word - 15ms261
Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik
untitled
ОСНА СИМЕТРИЈА 1. Заокружи слово испред цртежа на коме су приказане две фигуре које су осносиметричне у односу на одговарајућу праву. 2. Нацртај фигуре које су осносиметричне датим фигурама у односу на
Geometrija molekula
Geometrija molekula Oblik molekula predstavlja trodimenzionalni raspored atoma u okviru molekula. Geometrija molekula je veoma važan faktor koji određuje fizička i hemijska svojstva nekog jedinjenja, kao
9. : , ( )
9. Динамика тачке: Енергиjа, рад и снага (први део) др Ратко Маретић др Дамир Мађаревић Департман за Техничку механику, Факултет техничких наука Нови Сад Садржаj - Шта ћемо научити (1) 1. Преглед литературе
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu 3XB T + XA = B, pri qemu
1. GRUPA Pismeni ispit iz MATEMATIKE 1 0.0.01. Prezime i ime broj indeksa 1. (15 poena) Rexiti matriqnu jednaqinu XB T + XA = B, 1 4 pri qemu je A = 6 9 i B = 1 1 0 1 1. 4 4 4 8 1. Data je prava q : {
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa
Trougao Bilo koje tri nekolinearne tačke određuju tacno jednu zatvorenu izlomljenu liniju. Trougaona linija je zatvorena izlomljena linija određena sa tri nekolinearne tačke. Trougao je geometrijski objekat
MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29
MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri
kolokvijum_resenja.dvi
Геометриjа 2 колоквиjум 2019. Димитриjе Шпадиjер 25. jануар 2019. 1. Важи H(,;K,L) ако постоjи права p коjа не садржи тачку и сече праве,,k,l у неким тачкама X,Y,M,N таквим да важи H(X,Y;M,N). Права сече
ФАКУЛТЕТ ОРГАНИЗАЦИОНИХ НАУКА
Питања за усмени део испита из Математике 3 I. ДИФЕРЕНЦИЈАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ 1. Појам диференцијалне једначине. Пикарова теорема. - Написати општи и нормални облик диференцијалне једначине првог реда. - Дефинисати:
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekste
PRIRODNO MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA RAČUNARSKE NAUKE Utorak, 5.06.019. godine PRIJEMNI ISPIT IZ INFORMATIKE 1. Koja od navedenih ekstenzija se najčešće koristi za tekstualne datoteke? a)
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s
MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja
58. Federalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola
58. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 4.0.018. godine PRVI RAZRED Zadatak 1 Ako su, i realni brojevi takvi da je 0, dokazati da vrijedi
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica
Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: min c T x Ax = b x 0 x Z n Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije m n, b Z m, c Z n. Takođe, očekuje se da
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx
Kvadratna jednaqina i funkcija 1. Odrediti sve n N takve da jednaqina x3 + 7x 2 9x + 1 x 2 bar jedno celobrojno rexee. = n ima 2. Ako za j-nu ax 2 +bx+c = 0, a, b, c R, a 0, vai 5a+3b+3c = 0, tada jednaqina
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla
PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet
Математика напредни ниво 1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. О
1. Посматрај слике, па поред тачног тврђења стави слово Т, а поред нетачног Н. а) A B б) C D в) F E г) G F д) E F ђ) D C 2. Одреди број елемената скупова: а) A = {x x N и x < 5} A = { } n(a) = б) B = {x
MAT-KOL (Banja Luka) Matematički kolokvijum XIV(3)(2008), DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE Dr Šefket Arslanagić 1 i Alija Miminagić 2
T-KOL (anja Luka) atematički kolokvijum XIV()(008), 1-1 DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOETRIJE Dr Šefket rslanagić 1 i lija iminagić Samostalno rješavanje malog broja teških problema je, bez sumnje, od
(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)
. A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka
Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln
Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)
. B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom
PowerPoint Presentation
Nedjelja 6 - Lekcija Projiciranje Postupci projiciranja Projiciranje je postupak prikazivanja oblika nekog, u opštem slučaju trodimenzionalnog, predmeta dvodimenzionalnim crtežom. Postupci projiciranja
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apol
ACTA MATHEMATICA SPALATENSIA Series didactica Vol.2 (2019) 67 91 Generalizirani Apolonijev problem Antonija Guberina, Nikola Koceić Bilan Sažetak Apolonijev problem glasi: Konstruiraj kružnicu koja dodiruje
(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)
. B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 1.
Prvi razred A kategorija Za brojeve a, b, c, x, y i z vaжi {a, b, c} = {x, y, z} = {15, 3, 2014}. Da li broj a bc + x yz mora biti sloжen? (Za m, n, k N je sa m nk oznaqen broj m (nk).) Neka su a, b i
My_P_Trigo_Zbir_Free
Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/
Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ И ТЕХНОЛОШКОГ РАЗВОЈА ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА ТЕСТ МАТЕМАТИКА школска 2013/2014. година УПУТСТВО ЗА РАД Тест који треба да решиш
Microsoft PowerPoint - Teorija kretanja vozila-predavanje 3.1.ppt
ТЕОРИЈА КРЕТАЊА ВОЗИЛА Предавање. гусенична возила, површински притисак ослањања, гусеница на подлогу ослањања G=mg p p гусеница на подлогу ослањања G=mg средњи стварни p тврда подлога средњи стварни p
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,
ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)
. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza
ANALITIČKA GEOMETRIJA 275 ANALITIČKA GEOMETRIJA, grana geometrije u kojoj se geometrijski objekti istražuju metodama matematičke analize. Obično se po
ANALITIČKA GEOMETRIJA 275 ANALITIČKA GEOMETRIJA, grana geometrije u kojoj se geometrijski objekti istražuju metodama matematičke analize. Obično se pod analitičkom geometrijom razumijeva uže područje te
Microsoft Word - PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE.PERIODICNOST
PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE PERIODIČNOST FUNKCIJE PARNOST i NEPARNOST FUNKCIJE Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je parna i tada je grafik simetričan u odnosu na y osu Ako je f ( ) = f ( ) funkcija je neparna
Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје
1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX
Microsoft Word - 4.Ucenik razlikuje direktno i obrnuto proporcionalne velicine, zna linearnu funkciju i graficki interpretira n
4. UČENIK RAZLIKUJE DIREKTNO I OBRNUTO PROPORCIONALNE VELIČINE, ZNA LINEARNU FUNKCIJU I GRAFIČKI INTERPRETIRA NJENA SVOJSTVA U fajlu 4. iz srednjeg nivoa smo se upoznali sa postupkom rada kada je u pitanju
Ministarstvo prosvete, nauke i tehnoloxkog razvoja Druxtvo matematiqara Srbije DRЖAVNO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE UQENIKA SREDNjIH XKOLA 10. mart Pr
Prvi razred A kategorija 1. Za prirodan broj n oznaqimo sa x n broj koji se dobije uzastopnim zapisivanjem svih prirodnih brojeva od 1 do n jedan iza drugog (npr. x 14 = 1234567891011121314). Neka je funkcija
(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)
1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ септембар 2005
ЕНЕРГЕТСКИ ПРЕТВАРАЧИ јануар 0. год.. Потрошач чија је привидна снага S =500kVA и фактор снаге cosφ=0.8 (индуктивно) прикључен је на мрежу 3x380V, 50Hz. У циљу компензације реактивне снаге, паралелно са
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe
6-8. ČAS Celobrojno programiranje Rešavamo sledeći poblem celobrojnog programiranja: Gde pretpostavljamo da je A celobrojna matrica dimenzije,. Takođe, očekuje se da su koordinate celobrojne. U slučaju
(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)
. D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,
C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b
C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil
(Microsoft Word doma\346a zada\346a)
1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )
Elementarna matematika 1 - Oblici matematickog mišljenja
Oblici matematičkog mišljenja 2007/2008 Mišljenje (psihološka definicija) = izdvajanje u čovjekovoj spoznaji odre denih strana i svojstava promatranog objekta i njihovo dovo denje u odgovarajuće veze s
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobn
Seminar peti i ²esti U sljede a dva seminara rije²avamo integrale postavljene u prosturu trostruke integrale. Studenti vjeºbom trebaju razviti sposobnost vizualizacije dijela prostora i skiciranja dvodimenzionalnih
(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)
I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji
Microsoft Word - 6ms001
Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према свој
М А Т Е М А Т И К А Први разред (180) Предмети у простору и односи међу њима (10; 4 + 6) Линија и област (14; 5 + 9) Класификација предмета према својствима (6; 2 + 4) Природни бројеви до 100 (144; 57
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су a и b две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да
Талесова 1 теорема и примене - неки задаци из збирке Дефинициjа 1: Нека су и две дужи чиjе су дужине изражене преко мерне jединице k > 0, тако да jе m k и n k, где су m, n > 0. Тада кажемо да су дужи и
(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)
Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019.
Konstruktivne metode u geometriji prema predavanjima profesora Vladimira Voleneca verzija: 12. lipnja 2019. Sadržaj 1 Euklidske konstrukcije 2 1.1 Povijest..................................... 2 1.2 Aksiomi
Microsoft PowerPoint - fizika2-kinematika2012
ФИЗИКА 1. Понедељак, 8. октобар, 1. Кинематика тачке у једној димензији Кинематикакретањаудведимензије 1 Кинематика кретање свејеустањукретања кретање промена положаја тела (уодносу на друга тела) три
Microsoft Word - IZVOD FUNKCIJE.doc
IZVOD FUNKCIJE Predpotavimo da je funkcija f( definiana u nekom intervalu (a,b i da je tačka iz intervala (a,b fikirana. Uočimo neku proizvoljnu tačku iz tog intervala (a,b. Ova tačka može da e pomera
Energetski pretvarači 1 Februar zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne sna
1. zadatak (18 poena) Kondenzator C priključen je paralelno faznom regulatoru u cilju kompenzacije reaktivne snage osnovnog harmonika. Induktivnost prigušnice jednaka je L = 10 mh, frekvencija mrežnog
Nastavno pismo 3
Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA
Programski paketi u nastavi matematike, Jelena Milošević Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata
Kreiranje dinamičkih konstrukcija Konstrukcije u GeoGebri se sastoje od matematičkih objekata različitih tipova koji mogu biti kreirani korišćenjem alata ili komandi. Objekti Imamo dva tipa objekata u
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka
NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСП
Шифра ученика: Укупан број бодова: Република Србија МИНИСТАРСТВО ПРОСВЕТЕ, НАУКЕ и технолошког РАзвоја ЗАВОД ЗА ВРЕДНОВАЊЕ КВАЛИТЕТА ОБРАЗОВАЊА И ВАСПИТАЊА школска 2018/2019. година СЕДМИ РАЗРЕД ТЕСТ СПОСОБНОСТИ