(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)"

Транскрипт

1 . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak = = Znamenka na mjestu stotisućinki jednaka je 9, pa znamenku 7 na mjestu desettisućinki prigodom zaokruživanja moramo povećati za.. A. Koristeći formulu za kvadrat binoma, imamo redom: (3 x + ) = ( x 7) ( x + ) x, (3 x) + (3 x) + = 0 x 4 x + x 7 x, 9 x + x 0 x + 4 x x + x = 7 4 +, x = 6 / : 3. C. Primijenit ćemo formulu 6 3 x = = = p p R = U tu formulu uvrstimo p = +0 (jer imamo povećanje za 0%) i p = 30 (jer imamo sniženje za 30%). Konačno dobijemo: 0 30 R = = 00 ( + 0.) ( 0.3) 00 = = = Dakle, krajnja cijena je za 6% niža od početne, tj. obje navedene promjene rezultirale su smanjenjem početne cijene za 6%. 4. D. minuta ima 60 sekundi, pa x minuta ima 60 x sekundi. Dakle, vrijedi jednakost y = = 60 x.. B. Oduzimanjem druge jednadžbe zadanoga sustava od njegove prve jednadžbe dobijemo. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

2 = 3, odnosno =. Invertiranjem ove jednakosti (uzimanjem recipročne y y y vrijednosti svake strane jednadžbe) slijedi =. Množenjem ove jednakosti s dobijemo y =. 6. C. Označimo y = log. Tada primjenom pravila za logaritmiranje redom imamo: x b y =, b x b y ( ) =, b y = x /log y log b( b ) = log b ( x ), y = log x, y = log x. b x D. Količnici zadanih redova su redom q = = 3, q = =, q3 = = i q 4 = =. Njihove apsolutne vrijednosti su q = 3, q =, q3 = i q 4 =. Geometrijski red je konvergentan ako i samo ako je apsolutna vrijednost njegova b količnika strogo manja od. Brojevi 3, i 3 su strogo veći od, a broj 3 je strogo manji od. Stoga jedino četvrti red ima konačan zbroj i taj je zbroj jednak: S a 6. q = = = = = b 8. D. Prema pretpostavci je x < 0 i y > 0. Stoga je ( 6) y < 0, te x 6 y < 0. Dakle, broj čiju apsolutnu vrijednost odreñujemo je negativan, pa se ta apsolutna vrijednost dobiva promjenom njegova predznaka. Stoga je x 6 y = ( x 6 y) = x + 6 y. 9. B. Funkcija f je polinom. stupnja čija je slika skup R jer je riječ o bijekciji sa skupa R u skup R. Funkcija f je eksponencijalna funkcija čija je slika upravo interval 0, + jer mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

3 potenciranje broja 0 na bilo koju realnu vrijednost x uvijek daje strogo pozitivan realan broj. Funkcija f 3 je logaritamska funkcija čija je slika skup R budući da je bilo koja logaritamska funkcija bijekcija sa skupa 0, + u skup R. Naposljetku, funkcija f 4 poprima isključivo vrijednosti iz segmenta [, ], pa je njezina slika upravo taj segment. 0. B. Odmah imamo: ( ) [ ] očitamo da je g( ) = 3 i f ( 3) =.. B. Riješimo svaku jednadžbu zasebno:. 7 h( ) = f g ( ) = f g( ) = f ( 3) = jer iz tablice lagano x +. = x =. A. x +. = x { 0.,. }; x +. = x =. uz pretpostavku (3 x ) (3 x+ ) 0 x x B. = ( x ) (3 x + ) = x (3 x ) 3 x 3 x + 6 x 3 x + x = 6 x x x = 0 x = x = C x = D uz pretpostavku x 0 x + x = x 7 x x x x x + 7 = 7 = 0 = 7 uz pretpostavku x+ 4> 0 0. log 3( x + 4) = 0 x + 4 = 3 x + 4 = x = 4 3 x = 3 x = Dakle, jedini kandidat za traženo cjelobrojno rješenje je x =. Za x = je (3 x ) (3 x + ) = [3 ( ) ] [3 ( ) + ] = ( 3 ) ( 3 + ) = ( 4) ( ) = 8 0, pa je taj broj rješenje jednadžbe B. Sva ostala rješenja su racionalni brojevi koji nisu cijeli.. B. Imamo redom: sin(3 x) + = 0 sin(3 x) = sin(3 x) = 7 7 π + k π, k Z π k π, k 6 + Z x = x = π + l π, l Z π + l π, l Z Iz uvjeta x [0, π] dalje slijedi: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3

4 π + k π π, 0 + k, 0 k, π + l π π, 0 + l, 0 l, k, k, k, l, l, 7. l Budući da k i l moraju biti cijeli brojevi, iz prve jednadžbe slijedi k = 0, a iz druge l = Stoga polazna jednadžba u segmentu [0, π] ima točno dva različita rješenja, i to su x = x =. 8 i 3. A. Izračunajmo najprije površinu osnovke prizme: V 40 3 B = = = 4 3 cm. h 0 Osnovka prizme je šesterokut. Označimo li s a duljinu osnovice toga šesterokuta, onda je njegova površina šest puta veća od površine jednakostraničnoga trokuta s istom duljinom osnovice. Budući da je površina jednakostraničnoga trokuta čija stranica ima duljinu a 3 jednaka P = a 4, slijedi da je površina šesterokuta 3 3 B = 6 a = 3 a.tako 4 dobivamo jednadžbu: odnosno 3 3 a = 4 3, 3 a = 4. Odatle je a = 36, odnosno a = 6 cm. Oplošje prizme dobijemo kao zbroj dviju površina meñusobno sukladnih šesterokuta (koji su osnovke prizme) i šest površina meñusobno sukladnih pravokutnika kojima su stranice a = 6 cm i h = 0 cm. Stoga je traženo oplošje jednako: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

5 O = B + 6 P = = cm. 4. C. Budući da je α + γ = 80, te α + TAD = 80, zaključujemo da je TAD = γ. Analogno iz β + δ = 80 i δ + TDA = 80 slijedi TDA = β. Primjenom sinusova poučka na trokut TAD dobijemo: TD TA 6 3 sin β 3 sin β. sin TAD = sin TDA sinγ = sin β sinγ = 6 sinγ = Preostaje primijeniti sinusov poučak na trokut TBC. Označimo li x = AB, slijedi: TB TC sin β TC x = = = = = 3 + x = 0 sinγ sin β sinγ TB TA + AB 3+ x 0 Odatle je x = 7. Dakle, duljina stranice AB iznosi 7 cm.. B. Primijenit ćemo binomni poučak. Član koji sadrži x u binomnom razvoju (3 x + ) 7 7 jednak je 7 (3 x ) = 7 3 x 6 = 64 x = 344 x, a slobodni član u istom razvoju 7 = 8. Analogno, član koji sadrži x u binomnom razvoju (x ) 7 jednak je 7 7 x ( ) = 7 x ( ) 6 = 7 x, a slobodni član u tom razvoju ( ) 7 =. Član koji sadrži x u umnošku potencija tih binoma dobijemo kao zbroj umnoška člana koji sadrži x u prvom razvoju i slobodnoga člana u drugom razvoju i umnoška člana koji sadrži x u drugom razvoju i slobodnoga člana u prvom razvoju. Dakle, imamo: 344 x ( ) + 7 x 8 = 344 x x = 448 x. Odatle slijedi da je traženi koeficijent jednak Zapravo tražimo najmanji zajednički višekratnik brojeva 60 i 68. Rastavimo te brojeve na proste faktore: 60 = 30 = = 3 = 3 ; 68 = 84 = 4 = = 3 7 = Odatle slijedi NZV(60, 68) = = = Koristeći jednakost π rad = 80 dobivamo: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

6 8..). Imamo redom: 3 3 π rad = 80 = 3 0 = x 6 = / : 8 x 6 = 8, x 6 =, 36 x 6 =, 6 x 6 = (6 ), x ( ) 6 6, = x 6 6, a odavde usporedom eksponenata slijedi x =. = 3.) x, 3], +. Prisjetimo se da je umnožak dvaju realnih brojeva nenegativan ako i samo ako su oba faktora istodobno ili nenegativni realni brojevi ili nepozitivni realni brojevi. Stoga razlikujemo dva podslučaja: 3 x 3 0 x 3 x 3 3 I. x x, + x 3 0 x 3 + x 3 3 x 3 0 x 3 x II. x 3 x, 3 x x 3 x 3 Skup svih rješenja polazne nejednadžbe je unija skupova dobivenih u ovim dvama 3 podslučajevima. Dakle, x, 3], +. ] mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

7 9..) 0. Koristit ćemo osnovno pravilo za rješavanje razmjera, tj. da umnožak vanjskih članova razmjera treba biti jednak umnošku unutrašnjih članova razmjera. Tako iz razmjera c : d = : slijedi c = d, a odatle dijeljenjem s dobivamo d = c. Preostaje uvrstiti dobivenu jednakost u drugu od dviju zadanih jednakosti i riješiti pripadnu linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom: c = c + 0 / c = 4 c + 0, c 4 c = 0, c = 0..). Četvrti član geometrijskoga niza kojemu je prvi član a, a količnik q, računa se prema formuli a 4 = a q 3. Stoga iz zadanih podataka slijedi: a = 3 a q = Dijeljenjem druge jednadžbe s prvom dobivamo q 3 = 7, a odatle je q = 3 (kompleksna rješenja zanemarujemo jer promatramo niz realnih brojeva). Stoga je drugi član promatranoga niza jednak a = a q = 3 = ) 4.3. Primjenom pravila za logaritmiranje imamo: ph = log(4.7 0 ) = [log(4.7) + log(0 )] = log(4.7) ( ) = log(4.7) 0.67 = Zaokruživanjem dobivanoga rezultata na jednu decimalu dobivamo ph = 4.3..) Treba riješiti logaritamsku jednadžbu odnosno logaritamsku jednadžbu Odavde antilogaritmiranjem dobivamo log C = 7., log C = 7.. C = 0 7. = = mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

8 ..) 7. Zapišimo zadani kompleksan broj u standardnom algebarskom zapisu: 6 + b i (6 + b i) (+ i) 6+ b i+ i+ b i 6 + ( b ) i+ b ( ) z = = = = = i ( i) ( + i) ( i) 4 i 6 b + ( b ) i 6 b + ( b ) i 6 b + ( b ) i 6 b b = = = = + i 4 ( ) b Realni dio ovoga kompleksnoga broja je Re( z) =. Prema zahtjevu zadatka, taj broj treba biti jednak 4, pa dobivamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom: Množenjem s dobivamo jednadžbu 6 b = 4. 6 b = 0, odnosno Odatle dijeljenjem s ( ) dobivamo b = 7. b = 0 6, b = 4. π π π.) cis = cos + i sin. Zadanom kompleksnom broju pripada točka Z = (, ) u Gaussovoj ravnini, pa zaključujemo da se ta točka nalazi u prvom kvadrantu Gaussove ravnine, odnosno da je argument zadanoga kompleksnoga broja neki kut iz π intervala 0,. Tako dobivamo: z = z + z = + = = = = (Re ) (Im ), Im z π Arg z = arctg = arctg = arctg =. Re z 4 Stoga je traženi trigonometrijski oblik zadanoga kompleksnoga broja jednak π π π z = cis = cos + i sin mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

9 ..) 3 x sin x + x 3 cos x. Primjenom pravila za deriviranje umnoška dviju funkcija i identiteta (x 3 )' = 3 x, te (sin x)' = cos x dobivamo: f x x x x x x x x x '( ) = ( )' sin + (sin )' = 3 sin + cos..) d, l. Derivacija zadane funkcije je strogo pozitivna na svim otvorenim intervalima na kojima je zadana funkcija strogo rastuća. Sa slike se vidi da funkcija f strogo raste na otvorenom intervalu d, l, pa je na tom otvorenom intervalu i njezina derivacija strogo pozitivna. 3..) Vidjeti Sliku. Iz zadanih podataka zaključujemo da tražena točka pripada prvom kvadrantu jer su jedino za točke iz toga kvadranta funkcije cos i tg strogo pozitivne. Prema definiciji funkcije tangens, traženu točku dobit ćemo kao sjecište pravca povučenoga kroz točke (0, 0) i (, ) i nacrtane kružnice. Dobivena točka prikazana je na Slici. Slika..) 6.. Brzinu zrakoplova najprije izrazimo u m/s: m 3 0 m 7 v = 3 km/h = = = m/s = 87. m/s s 36 s U t = 8 sekundi zrakoplov prijeñe put s = v t = 87. m/s 8 s = 700 metara. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9

10 s = 700 m je duljina hipotenuze pravokutnoga trokuta kojemu je jedan šiljasti kut. Tražena visina jednaka je duljini katete koja se nalazi nasuprot uočenu šiljastom kutu. Tako odmah dobivamo: h = s sin = 700 sin m. 4..) 48 '3''. Najmanji kut trokuta nalazi se nasuprot najmanjoj stranici trokuta, a to je stranica čija je duljina 7 cm. Označimo li taj kut s α, primjenom kosinusova poučka dobivamo: cos α =, cos α =, cosα = = 44 3 Odatle slijedi α '3''..) Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je a = cm. Uz standardne oznake u trokutu, tada su kutovi uz navedenu stranicu β = 4 36' i γ =. Kut nasuprot stranici a jednak je α = 80 (β + γ) = 80 (4 36' + ) = ' = 00 4'. Za izračunavanje površine trokuta potrebna nam je duljina još jedne stranice trokuta (b ili c). Opredijelimo se npr. za izračun duljine stranice b. Primijenimo sinusov poučak: Stoga je tražena površina jednaka: a b sin β = b = a. sinα sin β sinα sin sin sin P a b a β a β = γ = γ = γ a sinα sinα sin sin. U tu formulu uvrstimo a =, α = 00 4' = 00.4, β = 4 36' = 4.6 i γ = : sin 4.6 sin P = = sin cm. Zaokružimo li ovaj rezultat na dvije decimale, dobijemo P 4.33 cm. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 0

11 ..) 7. Koristeći formulu za udaljenost točke od pravca dobivamo:: d( T, p) = = = = = = 7 + ( 4) jed..) 33 4'4'' ili radijana. Zapišimo jednadžbu zadanoga pravca u eksplicitnom obliku: x 3 y 7 = 0 3 y = x + 7 / : ( 3) 7 y = x. 3 3 Označimo mjeru traženoga kuta s ϕ. Tangens kuta ϕ jednak je koeficijentu smjera zadanoga pravca. Taj je koeficijent jednak, pa dobivamo trigonometrijsku jednadžbu: 3 tg ϕ =. 3 Ova jednadžba ima jedinstveno rješenje ϕ = arctg '4''. 3 Napomena: Mjeru kuta ϕ mogli smo iskazati i u radijanima. Tada se dobije ϕ radijana. Ovaj način rješavanja je korektniji s obzirom na definicije trigonometrijskih funkcija, odnosno kuta izmeñu dvaju pravaca. Naime, inverz π π funkcije tangens je funkcija čija je domena skup R, a slika interval,. Stoga je ϕ = arctg zapravo mjera kuta iskazana u radijanima koju naknadno možemo 3 iskazati u stupnjevima. 3.) (x + 3) + (y ) = 9 ili x + y + 6 x 4 y + 4 = 0. Iz podatka da zadana kružnica dira os y slijedi da je udaljenost njezina središta do osi y jednaka polumjeru kružnice. Udaljenost točke S = ( 3, ) do osi y jednaka je apsolutnoj vrijednosti prve koordinate te točke, tj. d(s, Oy) = 3 = 3. Zbog toga je polumjer kružnice jednak r = 3. Tako lagano dobijemo da opći oblik jednadžbe kružnice glasi: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

12 odnosno (x + 3) + (y ) = 3, (x + 3) + (y ) = 9. Ovu jednadžbu možemo zapisati i u razvijenom obliku. Kvadriranjem dobivamo: x + 6 x y 4 y + 4 = 9, odnosno, nakon reduciranja, x + y + 6 x 4 y + 4 = ) D f = R\{}. Zadana funkcija je neprava racionalna funkcija (brojnik i nazivnik su polinomi jednakoga (točnijem prvoga) stupnja). Prirodno područje definicije bilo koje racionalne funkcije dobije se tako da se iz skupa R izbace sve realne nultočke nazivnika te funkcije. Iz jednadžbe x = 0 lako slijedi x =, i to je jedina realna nultočka nazivnika zadane funkcije. Dakle, traženi skup dobit ćemo tako da iz skupa R izbacimo samo broj. To izbacivanje naznačavamo koristeći znak \. Stoga je konačno D f = R \{}. 3.) 3; 0; 0;. Sjecište grafa zadane funkcije s osi apscisa dobivamo tako da brojnik funkcije izjednačimo s nulom i riješimo pripadnu jednadžbu po nepoznanici x. Dobijemo li pritom rješenje x =, zanemarujemo ga jer po.) x = ne pripada prirodnu području definicije zadane funkcije. Odmah dobivamo: 3 + x = 0, a odatle je x = 3. Stoga je jedino sjecište grafa zadane funkcije s osi apscisa točka S = ( 3, 0). Sjecište grafa zadane funkcije s osi ordinata dobivamo tako da u funkciju (ako je to moguće) uvrstimo x = 0. Prema rješenju zadatka.) x = 0 pripada prirodnu području definicije zadane funkcije, pa možemo računati f (0): f (0) = = =. 0 3 Dakle, graf zadane funkcije siječe os ordinata u točki S = 0,. Za razliku od sjecišta mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

13 grafa s osi apscisa, ovo je sjecište uvijek jedinstveno (ako postoji, naravno). 3 Zaključimo: Tražene točke su S = ( 3, 0) i S = 0,. 7..) 6 π. Izračunajmo najprije duljinu visine stošca (h). Znamo da je r = 4 cm i s = cm, pa primjenom Pitagorina poučka nalazimo: h s r Stoga je traženi obujam stošca jednak = = 4 = 6 = 9 = 3 cm V = B h = r π h = π = π cm ) 8 π radijana ili 88. Razvijanjem plašta stošca u ravnini dobijemo kružni isječak čiji je polumjer r = s = cm, a duljina pripadnoga luka l = r π = 4 π = 8 π. Iz formule za duljinu kružnoga isječka l = r α, pri čemu je α središnji kut isječka (iskazan u radijanima), odmah dobivamo: l 8 α = = π radijana. r Iskažemo li dobivenu mjeru u stupnjevima, dobit ćemo: α = 8 80 = ) Vidjeti Sliku. Zadani skup točaka je pravac. Svaki pravac odreñen je bilo kojim svojim dvjema meñusobno različitim točkama. U ovom je slučaju podesno uzeti x = 0 i x =, pa izračunati pripadne vrijednosti varijable y: y = 3 0 = 0 =, y = 3 = 3 =. Dakle, zadani pravac prolazi točkama T = (0, ) i T = (, ). Ucrtamo te točke u zadani pravokutni koordinatni sustav u ravnini, pa ih spojimo pravcem. Dobivena krivulja prikazana je na Slici. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 3

14 Slika..) Vidjeti Sliku 3. Graf funkcije f je parabola. Bilo koja parabola jednoznačno je odreñena zadavanjem bilo kojih triju njezinih različitih točaka. Obično odreñujemo tjeme parabole i njezina sjecišta s osi apscisa. Stoga najprije očitamo koeficijente pripadne kvadratne funkcije: Računamo koordinate tjemena parabole: a =, b =, c = 3. T b 4 a c b 4 ( 3) ( ) 4 6 =, =, =, =, = (, 4) a 4 a Sjecišta parabole s osi apscisa odreñujemo rješavajući jednadžbu f (x) = 0: f ( x) = 0 x x 3 = 0 ± ( ) 4 ( 3) ± 4 ( ) ± 4+ ± 6 ± 4 x, = = = = = x = = = 3, x = = =. Dakle, sjecišta parabole s osi apscisa su točke S = (, 0) i S = (3, 0). mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 4

15 Ucrtamo točke T, S i S u pravokutni koordinatni sustav u ravnini, pa kroz njih provučemo parabolu. Dobivena krivulja prikazana je na Slici. Slika. 3.) y = 6 x 9. Vrijednost funkcije f za x = 4 jednaka je f (4) = = =. Dakle, na parabolu sa Slike. treba povući tangentu u točki D = (4, ). Koeficijent smjera te tangente jednak je vrijednosti prve derivacije funkcije f za x = 4. Stoga najprije odredimo f '(x) koristeći pravila za deriviranje zbroja funkcija i tablicu derivacija: f '( x) = ( x )' ( x)' (3)' = x 0 = x. Tako je koeficijent smjera tangente (označimo ga s k t ) jednak kt = f '(4) = 4 = 8 = 6. Preostaje napisati jednadžbu pravca koji prolazi točkom D i ima koeficijent smjera k t : y y = k ( x x ), D t D y = 6 ( x 4), y = 6 x 4 +, y = 6 x 9. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač

16 9..) 6. Odmah imamo: = + = 0 + = 6..) 33; 3 4. Neka su a i d redom prvi član, odnosno razlika zadanoga aritmetičkoga niza. Iz zadanih podataka dobivamo sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice: a + (00 ) d = 99 a + 99 d = 99 a + (68 ) d = 67 a + 67 d = 67 Oduzimanjem prve jednadžbe sustava od druge jednadžbe sustava dobivamo 68 d = 68. Odatle je d =. Uvrštavanjem d = u bilo koju jednadžbu sustava lako nalazimo a = 00. Stoga je 34. član zadanoga niza jednak a 34 = a + (34 ) d = = = 33. Nadalje, niz brojeva a 3, a 36,, a 3 je konačan aritmetički niz s (istom) razlikom d = i prvim članom a 3 = a 34 + d = 33 + = 34. U tom konačnom aritmetičkom nizu ima ukupno n = = 78 članova. Njihov je zbroj jednak n 78 S = [ a3 + ( n ) d ] = [ 34 + (78 ) ] = 39 ( ) = = ) a = p b v. Imamo redom: b + v p = a b + ( a + b) v, p = a b + a v + b v, p b v = a b + a v, p b v = a ( b + v) / : ( b + v) p b v a =. b + v a + 4.). Iz prva dva člana u brojniku razlomka izlučimo a, a nazivnik razlomka a + b rastavimo koristeći formulu za razliku kvadrata. Dobivamo: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 6

17 a a b + a b a ( a b) + ( a b) ( a b) ( a + ) a + = = = 4 ( ) ( ) ( + ) + a b a b a b a b a b.) a > 8 ili a 8, +. Riješimo zadanu jednadžbu po nepoznanici x. Imamo redom: x ( a + 3) + a ( x ) = 3 a x 6 a x + 6 x + a x a = 3 a x 6 a x + 6 x + a x 3 a x = a 6 6 x = a 6 / : 6 a 6 x = 6 Zahtjev x > iskazujemo u obliku nejednadžbe a 6 >. 6 Tu nejednadžbu riješimo uobičajenim postupkom: a 6 > / 6 6 a 6 > a > + 6 a > 8 / : a > 8 Dakle, zadana jednadžba ima rješenje strogo veće od ako i samo ako je ekvivalentno, 8 a, +. 8 a > ili, 30. P = = 0. kv. jed. Kod radijvektora, tj. vektora čija je početna točka ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini, koeficijent uz i jednak je prvoj koordinati krajnje točke toga radijvektora, a koeficijent uz j drugoj koordinati krajnje točke toga mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 7

18 vektora. Stoga iz podatka OA = i + j slijedi A = (, ). Nadalje, neka je B = (xb, y B ). Tada je AB = ( x + ) i + ( y ) j. B Prema uvjetu zadatka je AB = i 3 j, pa izjednačavanjem koeficijenata uz i i j dobivamo dvije linearne jednadžbe od kojih svaka ima točno jednu nepoznanicu: xb + = xb = xb = 3 B = (3, ). yb = 3 yb = 3 + yb = Preostaje odrediti koordinate točke C. Neka je C = (x C, y C ). Iz podatka da je vektor AC usporedan s vektorom i zaključujemo da je koeficijent uz vektor j u izrazu za vektor AC jednak 0. No, AC = ( x + ) i + ( y ) j, C pa iz zahtjeva da koeficijent uz vektor j bude jednak 0 slijedi y C = 0. Odatle je y C =. Dakle, C = (x C, ). Prvu koordinatu točke C odredit ćemo iz posljednjega zahtjeva AB BC = 0. Najprije je BC = ( x 3) i + ( ) j = ( x 3) i + ( + ) j = ( x 3) i + 3 j, [ ] C C C B C pa te iz AB BC = 0 AB BC = ( x 3) 3 3 = x 9 = x 4, C C C dobivamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom Odatle dijeljenjem s slijedi x C = 4 x C 4 = 0, x C = 4.. Tako smo dobili: mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 8

19 4 A = (,), B = (3, ), C =,. Preostaje izračunati traženu površinu. Ona je jednaka polovici umnoška duljine stranice AC i duljine visine povučene na tu stranicu iz vrha B. Lako se vidi da je AC = ( ) = + = + = = =. Pokažimo da je udaljenost točke T = (x T, y T ) od pravca y = a jednaka d = a y T. Iz točke T povucimo okomicu na pravac y = a. Pravac y = a je usporedan s osi apscisa, pa okomica na taj pravac nužno mora biti usporedna s osi ordinata. Stoga njezina jednadžba ima oblik x = b. Budući da ona mora prolaziti točkom T, koordinate te točke moraju zadovoljavati jednadžbu te okomice. Stoga odmah dobivamo b = x T. Dakle, jednadžba okomice iz točke T na pravac y = a glasi x = x T. Ta okomica siječe pravac y = a u točki T = (x T, a). Prema definiciji udaljenosti točke od pravca, udaljenost točke T od pravca y = a jednaka je udaljenosti točaka T i T. Ta je udaljenost jednaka d = TT = ( x x ) + ( a y ) = 0 + ( a y ) = ( a y ) = a y, što smo i željeli pokazati. T T T T T T Duljina visine h iz vrha B na stranicu AC jednaka je udaljenosti točke B od pravca na kojem leži stranica AC. Točke A i C imaju meñusobno jednake druge koordinate, pa je jednadžba pravca kroz te dvije točke y =. Dakle, duljina visine h jednaka je udaljenosti točke B od pravca y =. Prema netom dokazanoj tvrdnji, ta je udaljenost jednaka Stoga je tražena površina jednaka h = d = ( ) = + = 3 = P = AC h = 3 = 3 = = 0. kv. jed. mr.sc. Bojan Kovačić, viši predavač 9

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 9. siječnja

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a) z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

Microsoft Word - 12ms101

Microsoft Word - 12ms101 Zadatak 0 (Sanela, Anamarija, maturantice gimnazije) Riješi jednadžbu: = Rješenje 0 α = α α / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k t = + k Vraćamo se supstituciji: t = + k = +

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3

Matematka 1 Zadaci za vežbe Oktobar Uvod 1.1. Izračunati vrednost izraza (bez upotrebe pomoćnih sredstava): ( ) [ a) : b) 3 3 Matematka Zadaci za vežbe Oktobar 5 Uvod.. Izračunati vrednost izraza bez upotrebe pomoćnih sredstava): ) [ a) 98.8.6 : b) : 7 5.5 : 8 : ) : :.. Uprostiti izraze: a) b) ) a b a+b + 6b a 9b + y+z c) a +b

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2015./2016. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo zamatematiku : 1. Ana Večerak, prof. matematike (KŠ

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2015./2016. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo zamatematiku : 1. Ana Večerak, prof. matematike (KŠ ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2015./2016. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo zamatematiku : 1. Ana Večerak, prof. matematike (KŠC Sarajevo); 2. Jasmina Imamović, nas. matematike (KŠC

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Више

ss08drz-A-zad.dvi

ss08drz-A-zad.dvi DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija, 7. travnja 008. Rješenja Zadatak 1. Neka su a, b, c proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva (a + b + c) 9ab,

Више

My_P_Trigo_Zbir_Free

My_P_Trigo_Zbir_Free Штa треба знати пре почетка решавања задатака? ТРИГОНОМЕТРИЈА Ниво - Основне формуле које произилазе из дефиниција тригонометријских функција Тригонометријске функције се дефинишу у правоуглом троуглу

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil

Више

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s

MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), DOI: /МК S ISSN (o) ISSN (o) Klasa s MAT-KOL (Banja Luka) XXIV (2)(2018), 141-146 http://www.imvibl.org/dmbl/dmbl.htm DOI: 10.7251/МК1803141S ISSN 0354-6969 (o) ISSN 1986-5828 (o) Klasa subtangentnih funkcija i klasa subnormalnih krivulja

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT45.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

4.1 The Concepts of Force and Mass

4.1 The Concepts of Force and Mass UVOD I MATEMATIČKI KONCEPTI FIZIKA PSS-GRAD 4. listopada 2017. 1.1 Priroda fizike FIZIKA je nastala iz ljudske težnje da objasni fizički svijet oko nas FIZIKA obuhvaća mnoštvo različitih pojava: planetarne

Више

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1 Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka

Више

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o

Sveučilište J.J. Strossmayera Fizika 2 FERIT Predložak za laboratorijske vježbe Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske o Lom i refleksija svjetlosti Cilj vježbe Primjena zakona geometrijske optike (lom i refleksija svjetlosti). Određivanje žarišne daljine tanke leće Besselovom metodom. Teorijski dio Zrcala i leće su objekti

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema

Више

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi

23. siječnja od 13:00 do 14:00 Školsko natjecanje / Osnove informatike Srednje škole RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovi 3. siječnja 0. od 3:00 do 4:00 RJEŠENJA ZADATAKA S OBJAŠNJENJIMA Sponzori Medijski pokrovitelji Sadržaj Zadaci. 4.... Zadaci 5. 0.... 3 od 8 Zadaci. 4. U sljedećim pitanjima na pitanja odgovaraš upisivanjem

Више

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija

Више

Analiticka geometrija

Analiticka geometrija Analitička geometrija Predavanje 4 Ekscentricitet konusnih preseka i klasifikacija kvadratnih krivih Novi Sad, 2018. Milica Žigić (PMF, UNS 2018) Analitička geometrija predavanje 4 1 / 15 Ekscentricitet

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више

Slide 1

Slide 1 0(a) 0(b) 0(c) 0(d) 0(e) :: :: Neke fizikalne veličine poput indeksa loma u anizotropnim sredstvima ovise o iznosu i smjeru, a nisu vektori. Stoga se namede potreba poopdavanja. Međutim, fizikalne veličine,

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K.

1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. 1 Polinomi jedne promenljive Neka je K polje. Izraz P (x) = a 0 + a 1 x + + a n x n = n a k x k, x K, naziva se algebarski polinom po x nad poljem K. Elementi a k K su koeficijenti polinoma P (x). Ako

Више

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д)

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = 2х; б) у = 4х; в) у = 2х 7; г) у = 2 5 x; д) ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА у = kх + n А утврди 1. Које од наведених функција су линеарне: а) у = х; б) у = 4х; в) у = х 7; г) у = 5 x; д) у = 5x ; ђ) у = х + х; е) у = x + 5; ж) у = 5 x ; з) у

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1712 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 8. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI

Matematika horvát nyelven középszint Javítási-értékelési útmutató 1712 ÉRETTSÉGI VIZSGA május 8. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI Matematika horvát nyelven középszint 171 ÉRETTSÉGI VIZSGA 018. május 8. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Važne informacije

Више

Microsoft Word - vodic B - konacna

Microsoft Word - vodic B - konacna VODIČ B za škole za srednje stručno obrazovanje i obuku školska 2015./2016. godina MATEMATIKA Predmetna komisija: Dina Kamber Maja Hrbat Vernesa Mujačić Mirsad Dumanjić Sadržaj Uvod... 1 Obrazovni ishodi

Више