18 1 DERIVACIJA 1.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funkcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadatak 1.22 Nadite f

Транскрипт

1 8 DERIVACIJA.3 Derivacije višeg reda n-tu derivaciju funcije f označavamo s f (n) ili u Leibnizovoj notaciji s dn y d x n. Zadata. Nadite f (x) ao je (a) f(x) = ( + x ) arctg x (b) f(x) = e x cos x (a) f (x) = arctg x + (b) f (x) = e x sin x x. +x Zadata.3 Nea je f(x) = x(x ) 00 (x + 3) 003. Izračunajte f (006) (x) i f (007) (x). Općenito, za polinom stupnja n vrijedi g(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 g (x) = na n x n + (n )a n x n +... a x + a g (x) = n(n )a n x n + (n )(n )a n x n a x... g (n ) (x) = n(n ) a n = na n g () (x) = 0 za n +. U ovom slučaju f je polinom 006. stupnja i oeficijent uz x 006 je = 00 pa je f (006) (x) = f (007) (x) = 0.

2 DERIVACIJA 9 Zadata.4 Nea je g : R R dva puta derivabilna funcija tava da je g() = g () = g () =. Ao je f(x) = x 3 g(x), izračunajte f (). f (x) = 3x g(x) + x 3 g (x) f (x) = 6xg(x) + 6x g (x) + x 3 g (x) f () = 6 g() + 6 g () + 3 g () = 7 Zadata.5 Nea je f(x) = ax + b, za a b R. Odredite f (n) za n. Doazat ćemo matematičom inducijom da je f (n) (x) = ( )n na n (ax + b) n+. baza f (x) = a = ( ) a. (ax+b) (ax+b) + ora Pretpostavimo da za nei n vrijedi f (n) (x) = ( )n na n (ax + b) n+. Tada je po pretpostavci inducije ( ) f (n+) (x) = (f (n) (x)) n na n = = ( )n+ (n + )a n+. (ax + b) n+ (ax + b) n+ Matematičom inducijom se mogu poazati i sljedeće formule: (a x ) (n) = a x ln n a za a > 0 (sin x) (n) = sin(x + nπ ) (cos x) (n) = cos(x + nπ ) sh x n paran (sh x) (n) = ch x n neparan ch x n paran (ch x) (n) = sh x n neparan (x m ) (n) = m(m ) (m n + )x m n za m Z

3 0 DERIVACIJA Zadata.6 Odredite f (n) (x) ao je (a) f(x) = ln (3x + ) (b) f(x) = + x x (c) f(x) = x (d) f(x) = x3 + x x x (a) f (x) = 3, f (x) = 3... f (n) (x) = ( )n (n )3 n 3x+ (3x+) (3x+) n (b) f(x) = pa je x f (x) = ( x) f (x) = ( x) 3 f (x) = 3 ( x) 4... f (n) (x) = (c) Rastavimo x na parcijalne razlome : x = A x + B / (x ) x + = A(x + ) + B(x ) 0 x + = (A + B)x + (A B) n. ( x) n+ odale dobijemo A + B = 0 A B = pa je A = i B =. Sada je (n) f (n) (x) = = x = ( ) n n (x ) n+ (n) x x + ( ) n n (x + ) = ( )n n n+ (n) (x ) n+ (x + ) n+ (d) Dijelenjem polinoma x 3 +x polinomom x x dobijemo vocijent x+ i ostata 4x + pa je f(x) = x3 + x x x = (x + )(x x ) + 4x + x x = x + + 4x + x x.

4 DERIVACIJA Rastavom na parcijalne razlome dobijemo 4x + x x = A x + + B / (x x ) x 4x + = A(x + ) + B(x ) 0 x + = (A + B)x + (B A) iz čega slijedi A + B = 4 B A = pa je A = 3 i B = 0 3. Dale, za n je f (n) (x) = x x Zadata.7 Odredite f (009) ao je (a) f(x) = cos 4 x + sin 4 x (b) f(x) = sin x sin x sin 3x (n) = ( )n n x 3 (a) f(x) = (cos x + sin x) sin x cos x = sin x = f (009) (x) = cos 4x + 009π = sin 4x. (x + ) n+ + 5 (x ) n+. cos 4x = 3 + cos 4x (b) f(x) = (sin x sin x) sin 3x = (cos (x x) cos (x + x)) sin 3x = (cos x sin 3x cos 3x sin 3x) = (sin (x + 3x) sin (x 3x)) sin 6x = (sin 4x + sin x sin 6x) pa je f (009) (x) = 4 sin 4x + 009π sin x + 009π 009 sin 6x + 009π = 4 (4009 cos 4x cos x cos 6x). Za računanje viših derivacija se ponead oristi Leibnizova formula: n n (u v) (n) = u () v (n ). =0

5 DERIVACIJA Zadata.8 Odredite f (n) (x) za (a) f(x) = x e x (b) f(x) = x e x sh x (a) f (n) (x) = (x e x ) (n) = Leibnizova formula = = {(x ) () preživi za = 0 } n n = (x ) (0) (e x ) (n 0) + 0 n =0 (x ) () (e x ) (n ) + = x e x ( ) n + n xe x ( ) n + = ( ) n e x (4x + 4x + n(n )) n (x ) () (e x ) (n ) n(n ) n (x ) () (e x ) (n ) + 0 e x ( ) n (b) f(x) = x e x ex e x = x e x x pa je za n 3: f (n) (x) = (x e x ) (n) = Leibnizova formula = n =0 = {(x ) () preživi za = 0 } = x e x n + n xe x n n(n ) + = n 3 e x (8x + 4nx + n(n )). n (x ) () (e x ) (n ) e x n Zadata.9 Odredite f (00) (0) za (a) f(x) = x 3 sin x cos x (b) f(x) = + x x

6 DERIVACIJA 3 (a) f(x) = x3 sin x f (n) (x) = (x3 sin x) (n) = Leibnizova formula = n =0 n (x 3 ) () (sin x) (n ) = {(x 3 ) () preživi za = 0 3} = x 3 sin x + nπ n + n 3x (n )π sin x + n n(n ) (n )π + 6x sin x + n n(n )(n ) (n 3)π + 6 sin x + n 3 3 Za n = 00 i x = 0 dobijemo f (00) (0) = 00(00 )(00 ) 6 sin (00 3)π 00 3 = (b) f (00) (x) = = (n) ( + x) = Leibnizova formula x 00 =0 00 ( + x) () (( x) ) (00 ) = {( + x) () preživi za = 0 } = ( + x)(( x) ) (00) + 00(( x) ) (99) = ( ) Izračunajmo (( x) ) () : (( x) ) () = ( ) ( ) ( x) = 3 5 ( ) ( x) = ( ) ( x). Dale, ( ) = ( + x) 99 ( x) ( x) 99 = x (x ) 0

7 4 DERIVACIJA Računanje derivacija višeg reda pomoću diferencijalnih jednaosti Ponead nije tešo pronaći neu jednostavnu diferencijalnu jednaost oju funcija zadovoljava. Zatim se na tu jednaost primijeni Leibnizov formula. Ovaav način računanja se oristi od računanja derivacija višeg reda u neoj unaprijed odredenoj toči, npr. f (n) (0). Zadata.30 Nea je f(x) = e x. Odredite f (n) (0). Pronadimo diferencijalnu jednaost oju zadovoljava y(x) = f(x): y = e x y = xe x = xy pa je tražena diferencijalna jednaost: y + xy = 0. Primijenimo Leibnizovu formulu na dobivenu diferencijalnu jednaost y + xy = 0 / (n ) za n n n y (n) + (x) () y (n ) = 0 =0 y (n) + xy (n ) + (n )y (n ) = 0 Uvrštavanjem x = 0 u zadnju jednaost dobijemo reurzivnu relaciju za y (n) (0): odale je Imamo dva slučaja n = y (n) (0) (n )y (n ) (0) = 0 y (n) (0) = (n )y (n ) (0) za n. y ( ) = ( )y ( 3) (0) = ( ( ))( ( 4))y ( 6) (0) =... = = ( ( ))( ( 4)) ( ) y () (0) = 0 =y (0)=0 n = y () = ( )y ( ) (0) = ( ( ))( ( 3))y ( 4) (0) =... = = ( ( ))( ( 3)) ( ) y (0) (0) = ( ) ( ). =y(0)=

8 DERIVACIJA 5 Zadata.3 Nea je f(x) = arcsin x x. Odredite f (99) (0) i f (00) (0). Pronadimo diferencijalnu jednaost oju zadovoljava y(x) = f(x): pa je tražena diferencijalna jednaost: y = arcsin x x y = + yx x ( x )y = + xy. Primijenimo Leibnizovu formulu na dobivenu diferencijalnu jednaost, a zatim uvrstimo x = 0: ( x )y = + xy / (n ) za n (n ) n ( x ) () (y ) (n ) = =0 =y (n ) (n ) =0 n (x) () y (n ) ( x )y (n) + (n )( x)y (n ) (n )(n ) + ( )y (n ) = xy (n ) + (n )y (n ) / x=0 y (n) (0) (n )(n )y (n ) (0) = (n )y (n ) (0). Dale, vrijedi reurzivna relacija: y (n) (0) = (n ) y (n ) (0) za n. Računamo: n = 99 y (99) = (99 ) y (97) (0) = (99 ) (97 ) y (95) (0) =... = = (99 ) (97 ) (3 ) y () (0) = (98) =y (0)= n = 00 y (00) = (00 ) y (98) (0) = (00 ) (98 ) y (96) (0) =... = = (00 ) (98 ) ( ) y (0) (0) = 0. =y(0)=0

9 6 DERIVACIJA Zadaci za vježbu.3 Doažite da funcija y(x) = e5x + e x zadovoljava jednaost:.33 (a) Odredite f (8) za f(x) = x x. (b) Odredite f (5) za f(x) = x ln x. (c) Odredite f (5) za f(x) = x ln x. (b) Odredite f x za f(x) =. x 4 y 3y y = 0. (b) Odredite f za f(x) = x(sin (ln x) + cos (ln x))..34 (a) Poažite da funcija y = C cos x + C sin x, gdje su C i C realne onstante zadovoljava diferencijalnu jednadžbu: y + y = 0. (b) Poažite da funcija y = C ch x + C sh x, gdje su C i C realne onstante zadovoljava diferencijalnu jednadžbu: y y = Doažite Leibnizovu formulu. (Uputa: matematičom inducijom po n.).36 Nea je f(x) = x 3 sh x. Odredite f (n) (x)..37 Nea je f(x) = x 3 + x. Odredite f (n) (x)..38 Nea je y(x) = arcsin x. Odredite y (n) (0). (Uputa: ( x )y = xy.).39 Nea je y(x) = cos (3 arcsin x). Odredite y (n) (0). (Uputa: ( x )y xy +9y = 0.).40 Izračunajte f (00) (0) i f (0) (0) ao je funcija f zadana formulom: (a) f(x) = (x sin x) 3 (b) f(x) = Arsh x (c) f(x) = 3x x x 3 (d) f(x) = x e arctg x (e) f(x) = 3 ( x)

10 DERIVACIJA 7.4 Nea je f(x) = x n. Doažite: f() + f () + f ().4 Funcija P : R R zadana je formulom + + f (n) () n = n. P (x) = e x (e x ) (006) Doažite da je P polinom, odredite mu stupanj i vodeći oeficijent..43 Doažite da za svai n i svau n puta derivabilnu funciju f vrijedi jednaost x n f x (n) = ( )n x f (n). n+ x (Uputa: matematičom inducijom po n.)