(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

Величина: px
Почињати приказ од странице:

Download "(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)"

Транскрипт

1 I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. D. Skup svih realnih brojeva koji su jednaki ili manji od je interval, ]. Skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od je interval, +. Traženi skup tvore svi realni brojevi koji pripadaju jednom ili drugom od tih dvaju skupova, pa ga dobijemo kao uniju navedenih dvaju skupova, tj. kao, ], +.. B. Iz zadane jednakosti množenjem s dobijemo: s = a t, a odatle dijeljenjem lijeve i desne strane jednakosti s t slijedi s a =. t. B. Prosjek Lucijinih bodova iz prvih triju zadaća jednak je aritmetičkoj sredini brojeva 64, 76 i 9, tj s = = 77 bodova. Prema uvjetu zadatka, prosjek bodova iz svih četiriju zadaća je za boda veći od prosjeka bodova iz prvih triju zadaća, pa zaključujemo da je prosjek bodova iz svih četiriju zadaća jednak s = s + = 77 + = 80 bodova. Označimo li s x broj bodova postignutih na četvrtoj zadaći, zaključujemo da je 80 aritmetička sredina brojeva 64, 76, 9 i x. To znači da mora vrijediti jednakost x = 80, 4, nakon množenja s 4, Odatle je + x = 0. x = 0 = 89 bodova. 4. C. Imamo redom: z 6 = ( i) 6 = ( i) = [( i) ] = ( i + i ) = [ i + ( )] = ( i) = ( ) i = ( 8) i i = ( 8) ( ) i = 8 i. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

2 Imaginarni dio toga kompleksnoga broja jednak je koeficijentu uz imaginarnu jedinicu i. Dakle, Im(z 6 ) = 8.. A ili C. Napomena: U zadatku nije precizirano na koju se visinu (na osnovicu ili na krak) misli, pa računamo duljinu obiju visina! Izračunajmo najprije duljinu visine na osnovicu zadanoga trokuta. Njezino je nožište u polovištu osnovice, pa uočimo pravokutan trokut kojemu su duljine kateta jednake duljini visine na osnovicu i polovici duljine osnovice, a duljina hipotenuze jednaka duljini kraka. Prema Pitagorinu poučku za a = 0 cm i b = 4 cm dobivamo: v a a 0 = b = 4 = 96 = 7.08 cm,, zaokruženo na najbliži prirodan broj, v a = cm. Duljinu visine na krak računamo koristeći dvije formule za površinu trokuta: Iz tih formula proizlazi, zaokruženo na najbliži prirodan broj, v b a va b vb P = =. a v a = b v b, a va 0 7 = = = cm, b 4 7 v b = 9 cm. Stoga su rješenja zadatka v a = cm i v b = 9 cm. 6. B. Koristit ćemo složeno pravilo trojno. Prema podatcima iz zadatka možemo postaviti sljedeću shemu: masa konca [kg] duljina platna [m] širina platna [cm] x 40 0 mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

3 Masa konca i duljina platna, te masa konca i širina platna su upravno razmjerne veličine (što je veća masa konca, satkat ćemo dulje, šire platno), pa u sva tri stupca postavljamo strjelice od drugoga retka prema prvome: masa konca [kg] duljina platna [m] širina platna [cm] x 40 0 Postavljamo sljedeći produljeni razmjer: Odavde je Dakle, potrebno je 4 kg konca. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač x : 8.8 = 40 : 6 = 60 : 0, x : 8.8 = (40 60) : (6 0) x = = = = A. Prirodno područje definicije funkcije f (kao i bilo koje eksponencijalne funkcije) je skup R. Funkcija f je strogo rastuća funkcija (jer je baza potencije a = strogo veća od ), strogo pozitivna funkcija (jer za svaki x R vrijedi nejednakost f (x) > 0) i siječe os x u točki T(0, ) (jer je f (0) = 0 = ). Jedini od četiriju prikazanih grafova koji ima sva navedena svojstva je graf A. 8. B. Koeficijent sličnosti zadanih trokutova možemo izračunati i kao količnik duljine najveće stranice zadanoga trokuta i duljine najveće stranice zadanom trokutu sličnoga trokuta. Taj je koeficijent jednak. k = = = Traženi omjer jednak je kvadratu koeficijenta sličnosti, tj. k = = = 0.906, 8 64 Zaokružimo li taj rezultat na tri decimale, dobit ćemo da je traženi omjer (približno) jednak A. Uočimo da vrijede identiteti:

4 i Uz pretpostavku t ±, imamo redom: t + t + t t t t + t = (t ) (t + ), t + t + = (t + ). t t t 4 t t t 4 + : : = t t t t t + = t t ( t ) ( t ) ( t + ) t ( t + ) t ( t ) t ( t + ) = + = ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t ( t + ) + t ( t ) t ( t + ) = ( t ) ( t ) + 4 ( ) = ( t ) ( t ) + 4 t t ( t + ) = = ( t ) ( t ) + 4 t ( t ) ( t + ) = = ( t ) ( t + ) 4 t ( t + ) = 0. C. Neka je V vrh piramide, ABCD njezina osnovka, a N ortogonalna projekcija vrha V na osnovku ABCD. (N je ujedno nožište visine piramide povučene iz vrha V na osnovku ABCD). Neka je S polovište brida piramide AB (ili bilo kojega drugoga brida osnovke) Trokut VNS je pravokutan trokut s pravim kutom u vrhu N. Odredimo duljine dviju stranica toga trokuta. Duljina katete NS trokuta VNS jednaka je polovici duljine osnovnoga brida piramide, tj. NS = a. Duljina hipotenuze VS trokuta VNS jednaka je visini povučenoj iz vrha V na stranicu AB trokuta VAB. Budući da svi bridovi piramide VABCD imaju jednaku duljinu, trokut VAB je jednakostraničan trokut čija je duljina stranice AB = a. Stoga je duljina dužine VS jednaka duljini visine jednakostraničnoga trokuta, tj. VS = a. Traženi kut jednak je kutu VSN. Iz pravokutnoga trokuta VNS slijedi mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 4

5 Odatle je VSN = '8''. NS a cos( VSN ) = = = = VS a. D. Uvedemo li zamjenu t = x +, dobivamo kubnu jednadžbu koju možemo dalje transformirati ovako: t 7 t + 7 t = 0 ( t ) (7 t 7 t) = 0 (t ) 7 t (t ) = 0 (t ) (t + t + ) 7 t (t ) = 0 (t ) [ (t + t + ) 7 t] = 0 (t ) ( t + t + 7 t) = 0 (t ) ( t t + ) = 0. Jedno rješenje ove jednadžbe je očito t =. Prema Vietèovim formulama, zbroj preostalih dviju rješenja koja se dobiju rješavanjem kvadratne jednadžbe t t + = 0 jednak je: t + t =. Stoga je zbroj svih rješenja kubne jednadžbe t 7 t + 7 t = 0 jednak t + t + t = t + (t + t ) = + + = = 7. (Napomena: Taj rezultat mogao se izravno dobiti i primjenom odgovarajućih Vietèovih formula za opću kubnu jednadžbu a t + b t + c t + d = 0. ) Sada iz t = x + slijedi. tj. sva rješenja polazne jednadžbe su redom: Njihov je zbroj jednak x i = t i, za svaki i =,,, x = t, x = t, x = t. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

6 x + x + x = (t ) + (t ) + (t ) = (t + t + t ) = = = =.. C. Poznato je da za a > 0 kvadratna funkcija f (x) = a x + b x + c postiže najmanju 4 a c b b vrijednost fmin = za xmin =. U našsem slučaju znamo da je a =, f min = 9 i 4 a a x min = 4, pa dobivamo sljedeći sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice: Iz druge jednadžbe sustava slijedi mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 6 4 c b 9 = 4 b 4 =. b = 8, b = 8. Uvrštavanjem te vrijednosti u prvu jednadžbu sustava dobijemo: 4 c ( 8) 9 = 4 4 c 64 9 = = c 6 c = c = 7 c = 7. D. Izračunajmo najprije koordinate sjecišta zadanih krivulja. U tu svrhu riješit ćemo sustav jedne linearne i jedne kvadratne jednadžbe: Iz prve jednadžbe sustava je: y + x = 0, x y =. y = x +, pa uvrštavanjem u drugu jednadžbu sustava dobijemo: x ( x + ) =, x [( x) + ( x) + ] =, x [x 0 x + ] =, x x + 0 x = 0,

7 x + 0 x 8 = 0, x + x 4 = 0, ( ) ± 4 4 ( ) ± + 6 ( ) ± 8 ( ) ± 9 x, = = = = ( ) ( ) 9 4 x = = =, x = = = 7 Pripadne vrijednosti nepoznanice y su: y = x + = + =, y = x + = ( 7) + = 7 + =. Stoga su sjecišta zadanih krivulja S (x, y ) = (, ) i S (x, y ) = ( 7, ). Tražena duljina tetive jednaka je udaljenosti točaka S i S. Primjenom formule za udaljenost dviju točaka u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini dobijemo: d = ( x x ) + ( y y ) = ( 7 ) + ( ) = ( 9) + 9 = d = = = = jedinica duljine 4. D. Rješenja prve jednadžbe su x = i x =, a niti jedan od tih brojeva nije prirodan broj. (Oba rješenja su strogo negativni cijeli brojevi.) Skup svih rješenja druge jednadžbe dobijemo kao uniju skupa svih rješenja jednadžbe x = i skupa svih rješenja jednadžbe x = =. Jedino rješenje prve od tih jednadžbi je x =, a jedino rješenje potonje jednadžbe je x =. Stoga je skup svih rješenja druge jednadžbe S =, i taj skup ne sadrži niti jedan prirodan broj (njegovi elementi su strogo pozitivni racionalni brojevi i.) Da dobijemo skup svih rješenja treće jednadžbe, zapišimo desnu stranu te jednadžbe kao potenciju s bazom. Dobivamo: x+ =. Izjednačavanjem eksponenata dobivamo linearnu jednadžbu s jednom nepoznanicom: x + =, mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 7

8 čije je jedino rješenje x =. Taj broj nije prirodan broj, nego strogo negativan racionalan broj. Da dobijemo skup svih rješenja četvrte jednadžbe, koristimo identitet log 0 = i bijektivnost logaritamske funkcije: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 8 log(x ) = log 0, x = 0, x =. x = je prirodan broj, pa zaključujemo da jedino četvrta jednadžba ima rješenje u skupu prirodnih brojeva.. A. U zakon zaboravljanja log U = log U 0 c log(t + ) uvrstimo U 0 = 8, c = 0. i t = (jer Tin ponovno piše ispit nakon jedne godine, mjeseci). Dobivamo: Odatle slijedi log U = log 8 0. log( + ) log U = log 8 0. log log U = log 8 log( 0. ) 8 logu = log U = 7, Dakle, prema zakonu zaboravljanja, nakon godinu dana Tin bi očekivano postigao približno 8 bodova. II. ZADATCI KRATKIH ODGOVORA Neka je I iznos koji je primila Ida, a P iznos koji je dobio Petar. Iz podatka I : P = 7 : slijedi da postoji strogo pozitivan realan broj k takav da je I = 7 k i P = k. Ukupan zbroj iznosa koji su dobili Ida i Petar treba biti jednak kn, tj. mora vrijediti jednakost I + P = Uvrstimo li u ovu jednakost I = 7 k i P = k, dobit ćemo linearnu jednadžbu 7 k + k = 6 076, k = Odatle je k = 4. Razlika iznosa koji je primila Ida i iznosa koji je primio Petar jednaka je

9 I P = 7 k k = k = 4 = kn. 7. a ili a +. Iz druge jednadžbe sustava izrazimo nepoznanicu y: i uvrstimo u prvu jednadžbu sustava: Odatle je x = a ili x = a +. y = x + x + 4 ( x + ) = a, x 4 x + = a, x = a. 8..) 6. Ukupan broj učenika koji su se razboljeli jednak je.6% od 70, r = = 7. Od tih 7 razboljelih učenika, 9 njih imalo je gripu. Njihov ukupan broj jednak je: g = 7 9 = 6..) 4 ili približno.. Ukupan broj učenika koji su se razboljeli, a nisu imali gripu jednak je r = r g = 7 6 =. Trećina toga broja iznosi: r = r = = 7. Nadalje, polovica broja jednakoga broju učenika koji su imali gripu jednaka je: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 9 g = g = 6 =. Prema tome, posljednjega dana polugodišta u školu nije došlo ukupno s = r + g = 7 + = 0 učenika. Preostaje izračunati koliko postotaka iznosi 0 u odnosu na 70. Taj je broj jednak: p = 00 = =, 70 70

10 tj. p = 4 % ili približno p.%. 9..) Postupak: Korak. Nacrtamo vektor jednak vektoru CD čiji je početak u točki B. Neka je X krajnja točka toga vektora. Korak. Prema pravilu trokuta, vektor AB + CD jednak je vektoru AX. Korak. Nacrtamo vektor jednak vektoru AX čiji je početak u točki E. Krajnja točka toga vektora je tražena točka F. (Vidjeti Sliku.) mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 0 Slika..). Zadani vektori bit će okomiti ako i samo ako njihov skalarni umnožak bude jednak nuli. Stoga imamo redom: a b = ( 4) ( k + ) = 0 8 k 0 = 0 ( 8) k = 0 ( 8) k = 8 k = 0..). Pomnožimo zadanu jednadžbu s najmanjim zajedničkim višekratnikom svih razlomaka koji se pojavljuju u njoj, tj. s NZV(, 4) = 0. Dobivamo: Odatle je x =. 4 (x ) = (x ), 8 x 6 = x 8 x x = + 6 x = 9.

11 .),. Nultočke kvadratne funkcije f (x) = x + x dobijemo rješavajući kvadratnu jednadžbu x + x = 0. Njezina su rješenja x = i x =. Budući da je vodeći koeficijent (koeficijent uz x ) jednak, tj. strogo pozitivan, funkcija f poprima strogo negativne vrijednosti isključivo na otvorenom intervalu određenom njezinim nultočkama, tj. za x,. Stoga je skup svih rješenja polazne jednadžbe interval,...) (x ) + (y + ) =. Iz slike očitamo koordinate središta kružnice: S(, ). Budući da kružnica prolazi točkom A(, ), njezin je polumjer jednak udaljenosti točaka A i S, tj. r =. Stoga traženu jednadžbu kružnice dobijemo tako da u opći oblik jednadžbe kružnice uvrstimo p =, q = i r =. Dobijemo: (x p) + (y q) = r k (x ) + [y ( )] =, k (x ) + (y + ) =. 4.) y = x. Iz podatka da je tražena tangenta usporedna s pravcem y = x zaključujemo da je koeficijent smjera te tangente k =. Stoga jednadžbu tangente možemo zapisati u obliku: y = x + l. Odredimo sjecište tangente i zadane kružnice. Primijetimo: Prema uvjetu zadatka, to sjecište mora pripadati III. kvadrantu pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini. To znači da su vrijednosti obiju koordinata sjecišta tangente i zadane kružnice strogo negativni realni brojevi. Iz gornje jednadžbe tangente slijedi l = y + x, pa iz činjenice da tangenta prolazi točkom T = (x T, y T ) čije su obje koordinate strogo negativni realni brojevi zaključujemo da vrijedi nejednakost Naime, tada vrijedi: mr.sc. Bojan Kovačić, predavač l < 0. l = y T + x T.

12 Po pretpostavci vrijede nejednakosti x T < 0 i y T < 0, pa je svaki pribrojnik na desnoj strani gornje jednakosti strogo negativan. Stoga je i njihov zbroj strogo negativan, a otuda izravno slijedi l < 0. Rješavamo sustav jedne linearne jednadžbe i jedne kvadratne jednadžbe: y = x + l, x + (y ) = 0. Taj je sustav najlakše riješiti tako da prvu jednadžbu sustava uvrstimo u drugu. Dobivamo: + + = 0 x x l x + x + x ( l ) + ( l ) = 0 ( ) ( ) x + x l x + l 0 = 0 / x 6 ( l ) x + 9 ( l ) 90 = 0 Dobivena kvadratna jednadžba (po nepoznanici x) mora imati točno jedno realno rješenje jer svaka tangenta kružnice siječe tu kružnicu u točno jednoj točki. To znači da diskriminanta dobivene kvadratne jednadžbe treba biti jednaka nuli. Budući da je: D = [( 6) (l )] 4 0 [9 (l ) 90] = 6 (l ) 60 (l ) + 600, dobivamo kvadratnu jednadžbu Odatle je D = ( 4) (l ) + 600, ( 4) (l ) = 0, (l ) = l = ±. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

13 Zbog ranije dobivene nejednakosti l < 0, ne može biti 0 l =, pa preostaje 0 l =,..) l = + = =. 4 Stoga je tražena jednadžba tangente (u eksplicitnom obliku) t y = x. Najprije riješimo jednadžbu Množenjem te jednadžbe s x dobijemo: x = 4 x x = 4 x, x 4 x =, ( ) x =. Odatle je x =. Tako uvrštavanjem x = u jednakost x f = x dobijemo: x mr.sc. Bojan Kovačić, predavač f ( 4) =..) [, 7. Vrijednost drugoga korijena (kao realne funkcije inverzne funkciji x ) je uvijek nenegativan realan broj, pa iz podataka u zadatku slijedi da mora vrijediti nejednakost 0 x <. Kvadriranjem te nejednakosti (koje smijemo provesti jer su svi članovi nejednakosti nenegativni realni brojevi i koje neće izmijeniti niti jedan od znakova nejednakosti) dobijemo:

14 0 x < 4. Dodamo li svakom članu ove nejednakosti, znakovi nejednakosti neće se promijeniti. Stoga je: Prema tome, traženi skup je interval [, 7. x < 7...) 6. Navedene točke pripadat će istom pravcu ako i samo ako je površina trokuta određenoga tim točkama jednaka nuli. Tu površinu računamo iz izraza: Dobivamo: P = ( y ) + ( y 4) + ( ) [ 4 ( ) ]. P = y + y 8 + ( ) P = y 6 Iz uvjeta P = 0 i svojstva a = 0 a = 0 slijedi: Odavde je y = 6. y 6 = 0, y = 6..) y = x + 4. Odredimo najprije točki čija je ordinata y =, a pripada zadanom pravcu. U tu svrhu u jednadžbu zadanoga pravca uvrstimo y =. Dobivamo: x 7 = 0, x = 7 +, x =. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 4

15 Odavde je x = 6. Prema tome, točka S(6, ) pripada zadanom pravcu, ali i traženom pravcu jer traženi pravac siječe zadani pravac upravo u točki S. Nadalje, odredimo koeficijent smjera zadanoga pravca. U tu svrhu iz zadane jednadžbe pravca izrazimo varijablu y: ( ) y = ( ) x + 7, 7 y = x. Koeficijent smjera zadanoga pravca je k =. Koeficijent smjera traženoga pravca koji je okomit na zadani je suprotan i recipročan u odnosu na koeficijent smjera zadanoga pravca: k = k = =. Preostaje napisati jednadžbu pravca koji prolazi točkom S(6, ) i ima koeficijent smjera k =. Ta jednadžba glasi: y = ( x 6) y = x y = x ) 4. Zadani niz je aritmetički niz čiji je prvi član a = 97, a razlika d = 4. Stoga je petnaesti član toga niza jednak a = a + ( ) d = ( 4) = 97 6 = 4..). Odredimo najprije ukupan broj svih strogo pozitivnih članova zadanoga niza. Zadani niz je strogo padajući (jer je d = 4 < 0), pa tražimo prvi n N takav da je a n < 0. Budući da je a n = = a + (n ) d, uvrštavanjem a = 97 i d = dobivamo nejednadžbu: 97 + (n ) ( 4) < 0, 97 4 n + 4 < 0, mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

16 ( 4) n < 97 4, ( 4) n < 0. Dijeljenjem ove nejednadžbe s ( 4) znak nejednakosti će se promijeniti, pa dobivamo: 0 n > =. 4 4 Odatle zaključujemo da su prvih članova niza strogo pozitivni cijeli brojevi, a da su svi članovi niza, počevši od 6. člana, strogo negativni cijeli brojevi. Stoga je traženi zbroj jednak zbroju prvih članova zadanoga niza. Uvrstimo li n =, a = 97 i d = 4 u formulu dobit ćemo: n Sn = [ a + ( n ) d ], S = [ 97 + ( ) ( 4) ] = (94 96) = 98 = 49 =...) 4. U zadanu jednadžbu uvrstimo t = 7. Dobivamo: 7 π π 8 T (7) = 6 cos + = 6 cos π + = 6 cos π +. Funkcija f (x) = cos x je parna funkcija, tj. za svaki x R vrijedi jednakost Stoga je: f ( x) = f (x). T (7) = 6 cos π + = 6 + = 8 + = 4..) 8 sati 4 minute sekundi. U zadanu formulu uvrstimo T(t) = 4 i riješimo dobivenu jednadžbu po nepoznanici t uvažavajući nejednakost 0 t 4. Dobivamo: t π π 4 = 6 cos + t π π 4 = 6 cos mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 6

17 Izračunom pomoću kalkulatora (pri čemu t π π 9 = 6 cos t π π 9 cos = 6 t π π 9 = arccos 6 9 t π π = arccos 6 9 t π = arccos + π 6 9 t = arccos + π 6 9 arccos 6 treba iskazati u radijanima) dobivamo: t 8.7 h = 8 sati 4 minute sekundi..) 48. Najviša temperatura postiže se kad je vrijednost funkcije cos jednaka (jer je najveća vrijednost funkcije cos jednaka.) Ispitajmo postoji li t [0, 4] takav da je t π π cos =. Imamo redom: Iz zahtjeva t [0, 4] slijedi t π π cos = t π π = k π t π π = 4 k π / : π t = 4 k t = 4 k +, k Z 0 t 4, 0 4 k + 4. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 7

18 t π π Postojanje broja t [0, 4] takvoga da je cos = ekvivalentno je postojanju cijeloga broja k takvoga da je 0 4 k + 4. Oduzmemo li od svakoga člana ove nejednakosti, dobit ćemo: nakon dijeljenja s 4, 4 k 9, k. 8 8 Jedini cijeli broj za kojega vrijedi ta nejednakost je k = 0. Za k = 0 pripadna vrijednost varijable t iznosi t = =. Stoga možemo zaključiti da je najviša temperatura u promatranom danu postignuta u sati i da je iznosila T() = 6 + = 6 + = 48 C. 6. BD. cm, AC.67 cm. Izračunajmo najprije kut BDA. Koristeći sinusov poučak dobivamo: Odatle je pa je sin( BDA ) = sin sin( BDA) = sin = ,. Stoga je kut DAB jednak BDA = '7''. Primijenimo kosinusov poučak na trokut ABD: DAB = 80 ( + 49 '7'') = 8 4'''. BD = AD + AB AD AB cos DAB = cos(8 4''') BD = cm mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 8

19 Dakle, BD. cm. Budući da je D polovište dužine BC (jer je AD težišnica na stranicu BC), duljina dužine BC je dvostruko veća od duljine dužine BD. Dakle, BC = cm. Preostaje primijeniti kosinusov poučak na trokut ABC: AC = AB + BC AB AC cos ABC AC AC = cos = cm Zaključimo: BD. cm, AC.67 cm. 7. ( x, y) =,. Koristeći identitet log a a =, za svaki a > 0, a, prvu jednadžbu sustava transformiramo na sljedeći način: Otuda je mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 9 log (8 x) = log + log 4 log (8 x) = log ( 4) log (8 x) = log (0) 8 x = 0 0 x = =. Uvrstimo li dobiveni rezultat u drugu jednadžbu sustava, dobijemo: 8 y = y = y = Dakle, rješenje polaznoga sustava je x =, y =, uređeni par ( x, y) =,. 8..) 08. Pčelar je napunio 4 posude s ukupno 4 0 = 00 litara meda. U petu posudu stavio je ukupno 40 0 = 0 litara meda. Stoga je ukupni obujam meda 00

20 a njegova ukupna masa V = = 0 litara = 0 dm, m = ρ V =.4 kg/dm 0 dm = 08 kg..) Traženi iznos jednak je 08 kg kn/kg = kn..) Obujam kg meda jednak je V m kg 0 = = = = 0.74 dm ρ.4 kg/dm 4 7 III. ZADATCI PRODUŽENIH ODGOVORA 9..) x = 0, x =, T(, ). Nultočke zadane funkcije su sva realna rješenja jednadžbe f (x) = 0. Imamo redom: f (x) = 0 x x = 0 x (x ) = 0. Umnožak dvaju realnih brojeva jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan od tih brojeva jednak nuli. Iz x = 0 slijedi x = 0, a iz x = 0 slijedi x =. Stoga su sve nultočke zadane funkcije x = 0 i x =. Ordinatu točke čija je apscisa jednaka odredit ćemo tako da izračunamo f (): Dakle, tražena je točka T(, ). f () = = =..) f '(x) = x 6 x. Prva derivacija zadane funkcije jednaka je: f '(x) = (x )' ( x )' = x (x )' = x ( x ) = x 6 x = x 6 x..) f ima lokalni maksimum 0 u točki x = 0, a lokalni minimum 4 u točki x =. Kandidate za lokalne ekstreme (tzv. stacionarne točke) dobijemo rješavajući jednadžbu f '(x) = 0. Imamo redom: x 6 x = 0 /:, x x = 0, x (x ) = 0. Analogno kao i u.) zaključujemo da su sva rješenja posljednje jednadžbe x = 0 i x 4 =. Odredimo drugu derivaciju funkcije f: f ''(x) = [f '(x)]' = ( x 6 x)' = ( x )' (6 x)' = (x )' 6 (x)' f ''(x) = ( x ) 6 ( x ) = 6 x 6 x 0 = 6 x 6. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač 0

21 Dakle, f ''(x) = 6 x 6. Izračunamo f ''(x ) i f ''(x 4 ): f ''(x ) = f ''(0) = = 0 6 = 6, f ''(x 4 ) = f ''() = 6 6 = 6 = 6. Prema f '' testu, funkcija f ima strogi lokalni maksimum f (0) = 0 0 = 0 0 = 0 u točki x = 0 jer je vrijednost druge derivacije te funkcije u navedenoj točki strogo manja od nule. Analogno, f ima strogi lokalni minimum f () = = 8 4 = 8 = 4 u točki x = = jer je vrijednost druge derivacije te funkcije u navedenoj točki strogo veća od nule. 4.) t y = 9 x +. Koeficijent smjera tražene tangente jednak je vrijednosti prve derivacije funkcije f za x =. Stoga računamo: k = f '( ) = ( ) 6 ( ) = + 6 = 9. Nadalje, vrijednost zadane funkcije za x = jednaka je y T = f ( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) = 4. Dakle, tangenta dodiruje graf funkcije f u točki T(, 4). (Napomena: Koordinate te točke mogli smo očitati i iz Slike.) Preostaje napisati jednadžbu pravca koji prolazi točkom T(, 4) i ima koeficijent smjera k = 9: t y ( 4) = 9 [x ( )], y + 4 = 9 (x + ), y = 9 x + 9 4, y = 9 x +..) Graf zadane funkcije prikazan je na Slici. Korisno je uočiti da vrijede jednakosti: lim f ( x) = i lim f ( x) = + x x + Prirodno područje definicije funkcije f, kao i svakoga polinoma, je skup R. Iz grafa se može vidjeti da f doista ima lokalne, ali ne i globalne ekstreme. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač Slika.

22 0. 6 '''. Iz pravokutnoga trokuta OA B slijedi a otuda je cos OA OA α = =, OB r mr.sc. Bojan Kovačić, predavač OA = r cos α. Analogno, iz pravokutnoga trokuta OA B slijedi a odavde je cosα OA OA OA = = =, OB OA r cosα OA = r cos α. Nastavljajući induktivno dalje zaključujemo da za svaki n N vrijedi jednakost cosα da za svaki n N vrijedi jednakost: OA n+ =, OA OA n = r cos n α. Uvedemo li oznaku A 0 = A i B 0 = B, onda je zbroj duljina svih kružnih lukova jednak: n + OAn π α r cos α π α r π α n l = An Bn = = = cos α = n= 0 n= 0 n= 0 n= r π α n r π α (cos α) r π α = (cos α) = = cosα 80 cosα n= 0 Ovdje smo primijenili identitet (cos α) 0 + (cos α) + (cos α) + = (zbroj beskonačnoga konvergentnoga geometrijskoga reda kojemu je prvi član a = (cos α) 0 =, a količnik q = cos α) =. cosα Iz zadanih podataka dobivamo jednadžbu 0 π α π α =. 80 cosα 8 n

23 Tu jednadžbu dalje transformiramo ovako: = 80 cosα 8 = 90 cosα 8 90 ( cos α) = 8 8 cosα = 90 cosα = cosα = cosα = 4 cosα = 4 Odatle slijedi α = arccos 6, '''. mr.sc. Bojan Kovačić, predavač

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz ni\236a razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Imamo redom: 0.3 0. 8 7 8 19 ( 3) 4 : = 9 4 = 9 4 = 9 = =. 0. 0.3 3 3 3 3 0 1 3 + 1 + 4 8 5 5 = = = = = = 0 1 3 0 1 3 0 1+ 3 ( : ) ( : ) 5 5 4 0 3.

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. A. Svih pet zadanih razlomaka svedemo na najmanji zajednički nazivnik. Taj nazivnik je najmanji zajednički višekratnik brojeva i 3, tj. NZV(, 3) = 6. Dobijemo: 15 1, 6

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - studeni osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Imamo redom: I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 9 + 7 6 9 + 4 51 = = = 5.1 18 4 18 8 10. B. Pomoću kalkulatora nalazimo 10 1.5 = 63.45553. Četvrta decimala je očito jednaka 5, pa se zaokruživanje vrši

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Interval, tvore svi realni brojevi strogo manji od. Interval, 9] tvore svi realni brojevi strogo veći od i jednaki ili manji od 9. Interval [1, 8] tvore svi realni brojevi jednaki ili veći od 1,

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz osnovna razina - rje\232enja zadataka) . B. Zapišimo zadane brojeve u obliku beskonačno periodičnih decimalnih brojeva: 3 4 = 0.7, = 0.36. Prvi od navedenih četiriju brojeva je manji od 3 4, dok su treći i četvrti veći od. Jedini broj koji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) b. C. Neka je a prost prirodan broj. Tada je a prirodan broj ako i samo ako je b nenegativan cijeli broj (tj. prirodan broj ili nula). Stoga ćemo svaki od zadanih brojeva zapisati kao potenciju čija je

Више

Microsoft Word - Rjesenja zadataka

Microsoft Word - Rjesenja zadataka 1. C. Svi elementi zadanoga intervala su realni brojevi strogo veći od 4 i strogo manji od. Brojevi i 5 nisu strogo veći od 4, a 1 nije strogo manji od. Jedino je broj 3 strogo veći od 4 i strogo manji

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) 1. D. Svedimo sve razlomke na jedinstveni zajednički nazivnik. Lako provjeravamo da vrijede rastavi: 85 = 17 5, 187 = 17 11, 170 = 17 10, pa je zajednički nazivnik svih razlomaka jednak Tako sada imamo:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Podijelimo zadanu jednakost s R T, pa dobijemo. D. Pomnožimo zadanu nejednakost sa 6. Dobivamo: p V n =. R T < x < 5. Ovu nejednakost zadovoljavaju cijeli brojevi, 0,,, i 4. i su suprotni brojevi

Више

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - MATB - kolovoz vi\232a razina - rje\232enja zadataka) . D. Izračunajmo vrijednosti svih četiriju izraza pazeći da u izrazima pod A. i B. koristimo radijane, a u izrazima pod C. i D. stupnjeve. Dobivamo: Dakle, najveći je broj sin 9. cos 7 0.9957, sin 9 0.779660696,

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Zadani broj očito nije niti prirodan broj niti cijeli broj. Budući da je 3 78 3. = =, 00 5 zadani broj možemo zapisati u obliku razlomka kojemu je brojnik cijeli broj

Више

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka)

(Microsoft Word - Rje\232enja zadataka) p. D. Tražimo p R takav da je 568 = 6. Riješimo tu jednadžbu na uobičajen 00 način: Dakle, 75% od 568 iznosi 6. p 568 = 6, / 00 00 p 568 = 6 00, / : 568 6 00 600 p = = = 75. 568 568. B. Označimo traženi

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Prirodni brojevi su svi cijeli brojevi strogo veći od nule. je strogo negativan cijeli broj, pa nije prirodan broj. 14 je racionalan broj koji nije cijeli broj. Podijelimo li 14 s 5, dobit ćemo.8,

Више

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja)

(Microsoft Word - MATA - ljeto rje\232enja) . A. Izračunajmo najprije prvi faktor. Dobivamo:! 0 9 8! 0 9 0 9 0 9 = = = = = 9 = 49. 4! 8! 4! 8! 4! 4 3 Stoga je zadani brojevni izraz jednak 4 8 49 0.7 0.3 = 49 0.40 0.000066 = 0.007797769 0.0078. Znamenka

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . D. Zadatak najbrže možemo riješiti tako da odredimo decimalne zapise svih šest racionalnih brojeva (zaokružene na dvije decimale ako je decimalan zapis beskonačan periodičan decimalan broj). Dobivamo:

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) C Vrijedi jednakost: = 075, pa zaključujemo da vrijedi nejednakost 4 To znači da zadani broj pripada intervalu, 05 < < 05 4 D Riješimo zadanu jednadžbu na uobičajen način: x 7 x + = 0, x, 7 ± ( 7) 4 7

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj osnovna razina - rje\232enja) 1. D. Aproksimirajmo svaki od navedenih razlomaka s točnošću od : 5 = 0.71485 0.71, 7 4. = 0.4 0.44, 9 = 0.90 0.91. 11 Odatle odmah zaključujemo da prve tri nejednakosti nisu točne, kao i da je točna jedino

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Prema definiciji, interval a, b] je skup svih realnih brojeva koji su strogo veći od a, a jednaki ili manji od b. Stoga je interval 3, ] skup svih realnih brojeva koji

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan osnovna razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. B. Broj je cijeli broj, tj. pripada skupu cijelih brojeva Z. Skup cijelih brojeva Z je pravi podskup skupa racionalnih brojeva Q, pa je i racionalan broj. 9 4 je očito broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - kolovoz osnovna razina - rje\232enja) 5 5: 5 5. B. Broj.5 možemo zapisati u obliku = =, a taj broj nije cijeli broj. 0 0 : 5 Broj 5 je iracionalan broj, pa taj broj nije cijeli broj. Broj 5 je racionalan broj koji nije cijeli broj jer broj

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. C. Broj.5 je racionalan broj (zapisan u decimalnom obliku), ali ne i cijeli broj, pa ne pripada skupu cijelih brojeva Z. Broj je iracionalan broj (ne može se zapisati u

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) . C. Zaokružimo li zadani broj na najbliži cijeli broj, dobit ćemo 5 (jer je prva znamenka iza decimalne točke 5). Zaokružimo li zadani broj na jednu decimalu, dobit ćemo 4.6 jer je druga znamenka iza

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - lipanj vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA 1. D. Zadatak rješavamo koristeći kalkulator. Izračunajmo zasebno vrijednost svakoga izraza: log 9 0.95509987590055806510 log 9 = =.16995 (ovdje smo primijenili log 0.0109995669811951788979

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - rujan vi\232a razina - rje\232enja) . B. Primijetimo da vrijedi jednakost I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA, =, 4 4. Stoga zadanom skupu pripadaju svi cijeli brojevi jednaki ili veći od, a strogo manji od. 4 Budući da nije cijeli broj, zadanom

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - prosinac vi\232a razina - rje\232enja) I. ZADATCI VIŠESTRUKOGA IZBORA. A. Pomnožimo zadanu jednadžbu s. Dobivamo: Dijeljenjem s 5 dobivamo x 3 (4 3 x) = ( x), x 3 6 + x = 4 x, x + x + x = 4 + 3 + 6, 5 x = 3. 3 x =. 5. C. Odredimo najprije koordinate

Више

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja)

(Microsoft Word - Dr\236avna matura - svibanj osnovna razina - rje\232enja) . B. Podsjetimo da oznaka uz točku na brojevnom pravcu pridruženu realnom broju a znači da broj a ne pripada istaknutom podskupu skupa realnih brojeva, a da oznaka [ uz istu točku znači da broj a pripada

Више

Natjecanje 2016.

Natjecanje 2016. I RAZRED Zadatak 1 Grafiĉki predstavi funkciju RJEŠENJE 2, { Za, imamo Za, ), imamo, Za imamo I RAZRED Zadatak 2 Neka su realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi Dokaži da je RJEŠENJE Neka

Више

Microsoft Word - 24ms221

Microsoft Word - 24ms221 Zadatak (Katarina, maturantica) Kružnica dira os apscisa u točki (3, 0) i siječe os ordinata u točki (0, 0). Koliki je polumjer te kružnice? A. 5 B. 5.45 C. 6.5. 7.38 Rješenje Kružnica je skup svih točaka

Више

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29

MATEMATIKA viša razina MATA.29.HR.R.K1.24 MAT A D-S MAT A D-S029.indd :30:29 MATEMATIKA viša razina MAT9.HR.R.K.4.indd 9.9.5. ::9 Prazna stranica 99.indd 9.9.5. ::9 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri

Више

Microsoft Word - 6ms001

Microsoft Word - 6ms001 Zadatak 001 (Anela, ekonomska škola) Riješi sustav jednadžbi: 5 z = 0 + + z = 14 4 + + z = 16 Rješenje 001 Sustav rješavamo Gaussovom metodom eliminacije (isključivanja). Gaussova metoda provodi se pomoću

Више

(Microsoft Word doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word doma\346a zada\346a) 1. Napišite (u sva tri oblika: eksplicitnom, implicitnom i segmentnom) jednadžbu tangente i jednadžbu normale povučene na graf funkcije f u točki T, te izračunajte njihove duljine (s točnošću od 10 5 )

Више

Microsoft Word - 15ms261

Microsoft Word - 15ms261 Zadatak 6 (Mirko, elektrotehnička škola) Rješenje 6 Odredite sup S, inf S, ma S i min S u skupu R ako je S = { R } a b = a a b + b a b, c < 0 a c b c. ( ), : 5. Skratiti razlomak znači brojnik i nazivnik

Више

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine

Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine Zadaci s rješenjima, a ujedno i s postupkom rada biti će nadopunjavani tokom čitave školske godine. Tako da će u slijedećem vremenskom periodu nastati mala zbirka koja će biti popraćena s teorijom. Pošto

Више

Microsoft Word - 24ms241

Microsoft Word - 24ms241 Zadatak (Branko, srednja škola) Parabola zadana jednadžbom = p x prolazi točkom tangente na tu parabolu u točki A? A,. A. x + = 0 B. x 8 = 0 C. x = 0 D. x + + = 0 Rješenje b a b a b a =, =. c c b a Kako

Више

Microsoft Word - z4Ž2018a

Microsoft Word - z4Ž2018a 4. razred - osnovna škola 1. Izračunaj: 52328 28 : 2 + (8 5320 + 5320 2) + 4827 5 (145 145) 2. Pomoću 5 kružića prikazano je tijelo gusjenice. Gusjenicu treba obojiti tako da dva kružića budu crvene boje,

Више

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).

Више

Microsoft Word - 12ms121

Microsoft Word - 12ms121 Zadatak (Goran, gimnazija) Odredi skup rješenja jednadžbe = Rješenje α = α c osα, a < b < c a + < b + < c +. na segmentu [ ], 6. / = = = supstitucija t = + k, k Z = t = = t t = + k, k Z t = + k. t = +

Више

8. razred kriteriji pravi

8. razred kriteriji pravi KRITERIJI OCJENJIVANJA MATEMATIKA 8. RAZRED Učenik će iz nastavnog predmeta matematike biti ocjenjivan usmeno i pismeno. Pismeno ocjenjivanje: U osmom razredu piše se šest ispita znanja i bodovni prag

Више

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred)

PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) PLAN I PROGRAM ZA DOPUNSKU (PRODUŽNU) NASTAVU IZ MATEMATIKE (za 1. razred) Učenik prvog razreda treba ostvarit sljedeće minimalne standarde 1. SKUP REALNIH BROJEVA -razlikovati brojevne skupove i njihove

Више

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O

1 MATEMATIKA 1 (prva zadaća) Vektori i primjene 1. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. O http://www.fsb.hr/matematika/ (prva zadać Vektori i primjene. U trokutu ABC točke M i N dijele stranicu AB na tri jednaka dijela. Označite CA= a, CB= b i izrazite vektore CM i CN pomoću vektora a i b..

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA,

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 28. siječnja AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B varijanta 8. siječnja 019. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 28. veljače razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI ŽUANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 8. veljače 09. 8. razred - rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI OSTUAK RJEŠAVANJA, ČLAN OVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ OSTUAK

Више

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature

Microsoft Word - Pripremni zadatci za demonstrature poglavlje: KOMPLEKSNI BROJEVI Napomena: U svim zadacima koristi se skraćena oznaka: cis ϕ := cos ϕ + i sin ϕ. 1 3 z1 = x y i, z = 3 3 i 1 i z 3 = z Odredite x, y R tako da vrijedi jednakost z 1 = z. 1.

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.38.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT38.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.)

SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) SKUPOVI TOČAKA U RAVNINI 1.) Što je ravnina? 2.) Kako nazivamo neomeđenu ravnu plohu? 3.) Što je najmanji dio ravnine? 4.) Kako označavamo točke? 5.) U kakvom međusobnom položaju mogu biti ravnina i točka?

Више

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka

NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka NAČINI, POSTUPCI I ELEMENTI VREDNOVANJA UČENIČKIH KOMPETENCIJA IZ NASTAVNOG PREDMETA: MATEMATIKA Na osnovu članka 3., stavka II, te članka 12., stavka II i III, Pravilnika o načinima, postupcima i elementima

Више

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА

ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА ЗАДАЦИ ИЗ МАТЕМАТИКЕ ЗА ПРИПРЕМАЊЕ ЗАВРШНОГ ИСПИТА p m m m Дат је полином ) Oдредити параметар m тако да полином p буде дељив са б) Одредити параметар m тако да остатак при дељењу p са буде једнак 7 а)

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE Primošten, 4.travnja-6.travnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK RŽVNO NTJENJE IZ MTEMTIKE Primošten, 4travnja-6travnja 016 7 razred-rješenja OVJE SU NI NEKI NČINI RJEŠVNJ ZTK UKOLIKO UČENIK IM RUGČIJI POSTUPK RJEŠVNJ, ČLN POVJERENSTV UŽN JE I TJ POSTUPK OOVTI I OIJENITI

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija 9. siječnja

Више

s2.dvi

s2.dvi 1. Skup kompleksnih brojeva 1. Skupovibrojeva.... Skup kompleksnih brojeva................................. 6. Zbrajanje i množenje kompleksnih brojeva..................... 9 4. Kompleksno konjugirani

Више

Matematika 1 - izborna

Matematika 1 - izborna 3.3. NELINEARNE DIOFANTSKE JEDNADŽBE Navest ćemo sada neke metode rješavanja diofantskih jednadžbi koje su drugog i viših stupnjeva. Sve su te metode zapravo posebni oblici jedne opće metode, koja se naziva

Више

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija

Microsoft Word - Mat-1---inicijalni testovi--gimnazija Inicijalni test BR. 11 za PRVI RAZRED za sve gimnazije i jače tehničke škole 1... Dva radnika okopat će polje za šest dana. Koliko će trebati radnika da se polje okopa za dva dana?? Izračunaj ( ) a) x

Више

os07zup-rjes.dvi

os07zup-rjes.dvi RJEŠENJA ZA 4. RAZRED OVDJE JE DAN JEDAN NAČIN RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA- ČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE I TAJ POSTUPAK OCI- JENITI I BODOVATI NA ODGOVARAJUĆI

Више

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat

Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_1013_horvat Matematika horvát nyelven középszint 1013 ÉRETTSÉGI VIZSGA 013. május 7. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERŐFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA Formalni

Више

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1

1. Vrednost izraza jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se = 4 9, ili kra e S = 1 ( 1 1 1. Vrednost izraza 1 1 + 1 5 + 1 5 7 + 1 7 9 jednaka je: Rexenje Direktnim raqunom dobija se 1 + 1 15 + 1 5 + 1 6 = 4 9, ili kra e S = 1 1 1 2 + 1 1 5 + 1 5 1 7 + 1 7 1 ) = 1 7 2 8 9 = 4 9. 2. Ako je fx)

Више

Jednadžbe - ponavljanje

Jednadžbe - ponavljanje PRIMJENE NA PRAVOKUTNI TROKUT sin = sin β = cos = cos β = tg kuta tg = tg β = ctg kuta ctg = ctg β = c = p + q Ako su kutovi u trokutu 30 i 60 onda je hipotenuza dva puta veća od kraće katete (c = 2a ili

Више

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT

Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMAT Ministarstvo prosvjete i športa Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo OPĆINSKO/ŠKOLSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE. razred srednja škola A kategorija 9. siječnja

Више

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER

ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 28. veljače AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJER ŽUPANIJSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta 8. veljače 011. AKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA ZADATKA, POVJERENSTVO JE DUŽNO I TAJ POSTUPAK BODOVATI I OCIJENITI NA

Више

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc

Microsoft Word - Matematika_kozep_irasbeli_javitasi_0611_horvatH.doc Matematika horvát nyelven középszint 0611 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA HORVÁT NYELVEN MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA PISMENI ISPIT SREDNJEG STUPNJA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Више

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S

MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K1.28 MAT A D-S MAT A MATEMATIKA viša razina MATA.45.HR.R.K.8 Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN Odrediti PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET U NIŠU DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU ZADACI SA REŠENJIMA SA PRIJEMNOG ISPITA IZ MATEMATIKE, JUN 0. Odrediti moduo kompleksnog broja Rešenje: Uočimo da važi z = + i00

Више

My_P_Red_Bin_Zbir_Free

My_P_Red_Bin_Zbir_Free БИНОМНА ФОРМУЛА Шт треба знати пре почетка решавања задатака? I Треба знати биному формулу која даје одговор на питање чему је једнак развој једног бинома када га степенујемо са бројем 0 ( ) или ( ) 0!,

Више

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA

ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 21. siječnja razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGA ŠKOLSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. siječnja 016. 6. razred-rješenja OVDJE SU DANI NEKI NAČINI RJEŠAVANJA ZADATAKA. UKOLIKO UČENIK IMA DRUGAČIJI POSTUPAK RJEŠAVANJA, ČLAN POVJERENSTVA DUŽAN JE

Више

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln

Zadaci s pismenih ispita iz matematike 2 s rješenjima MATEMATIKA II x 4y xy 2 x y 1. Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln Zadaci s pismenih ispita iz matematike s rješenjima 0004 4 Odredite i skicirajte prirodnu domenu funkcije cos ln f, Arc Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z e, 9 i z 0 Izračunajte ln e d,, ln

Више

My_ST_FTNIspiti_Free

My_ST_FTNIspiti_Free ИСПИТНИ ЗАДАЦИ СУ ГРУПИСАНИ ПО ТЕМАМА: ЛИМЕСИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈЕ ЈЕДНЕ ПРОМЕНЉИВЕ ИСПИТИВАЊЕ ТОКА ФУНКЦИЈЕ ЕКСТРЕМИ ФУНКЦИЈЕ СА ВИШЕ ПРОМЕНЉИВИХ 5 ИНТЕГРАЛИ ДОДАТАК ФТН Испити С т р а н а Лимеси Одредити

Више

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D

Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. D Hej hej bojiš se matematike? Ma nema potrebe! Dobra priprema je pola obavljenog posla, a da bi bio izvrsno pripremljen tu uskačemo mi iz Štreberaja. Donosimo ti primjere ispita iz matematike, s rješenjima.

Више

Microsoft Word - 09_Frenetove formule

Microsoft Word - 09_Frenetove formule 6 Frenet- Serret-ove formule x : 0,L Neka je regularna parametrizaija krivulje C u prostoru parametru s ) zadana vektorskom jednadžbom: x s x s i y s j z s k x s, y s, z s C za svaki 0, L Pritom je zbog

Више

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ }

Математика 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) средњи ниво А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } 1. Посматрај слику и одреди елементе скуупова: а) б) в) А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } А={ } B={ } А B={ } А B={ } А B={ } B А={ } 2. Упиши знак

Више

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla

PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA u saradnji s UDRUŽENJEM MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog kantona iz MATEMATIKE Tuzla, 3. mart/ožujak 019. godine Prirodno-matematički fakultet

Више

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2

Dvostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 vostruki integrali Matematika 2 Erna Begović Kovač, 2019. Literatura: I. Gusić, Lekcije iz Matematike 2 http://matematika.fkit.hr Uvod vostruki integral je integral funkcije dvije varijable. Oznaka: f

Више

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR

Ekipno natjecanje Ekipa za 5+ - kategorija MIKRO Pula, Mikro-list 1 BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVOR Mikro-list BODOVANJE: TOČAN ODGOVOR: 6 BODOVA NETOČAN ODGOVOR: -2 BODA BEZ ODGOVORA: 0 BODOVA. Ako je 5 i 20 onda je? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 2. Koji broj nedostaje? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 3. Zbrojite najveći

Више

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b

C2 MATEMATIKA 1 ( , 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. (15 b C2 MATEMATIKA 1 (20.12.2011., 3. kolokvij) 1. Odredite a) lim x arctg(x2 ), b) y ( 1 2 ) ako je y = arctg(4x 2 ). c) y ako je y = (sin x) cos x. 2. Izračunajte osjenčanu površinu sa slike. 3. Automobil

Више

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a)

(Microsoft Word - 1. doma\346a zada\346a) z1 1 Izračunajte z 1 + z, z 1 z, z z 1, z 1 z, z, z z, z z1 1, z, z 1 + z, z 1 z, z 1 z, z z z 1 ako je zadano: 1 i a) z 1 = 1 + i, z = i b) z 1 = 1 i, z = i c) z 1 = i, z = 1 + i d) z 1 = i, z = 1 i e)

Више

Nastavno pismo 3

Nastavno pismo 3 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije. Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE... 7.. PRAVILA DERIVIRANJA... 7.. TABLICA

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc)

(Microsoft Word vje\236ba - LIMES FUNKCIJE.doc) Zadatak Pokažite, koristeći svojstva esa, da je ( 6 ) 5 Svojstva esa funkcije u točki: Ako je k konstanta, k k c c c f ( ) L i g( ) M, tada vrijedi: c c [ f ( ) ± g( ) ] c c f ( ) ± g( ) L ± M c [ f (

Више

UDŽBENIK 2. dio

UDŽBENIK 2. dio UDŽBENIK 2. dio Pročitaj pažljivo Primjer 1. i Primjer 2. Ova dva primjera bi te trebala uvjeriti u potrebu za uvo - denjem još jedne vrste brojeva. Primjer 1. Živa u termometru pokazivala je temperaturu

Више

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје

Математика основни ниво 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Броје 1. Одреди елементе скупова A, B, C: a) б) A = B = C = 2. Запиши елементе скупова A, B, C на основу слике: A = B = C = 3. Бројеве записане римским цифрама запиши арапским: VIII LI XXVI CDXLIX MDCLXVI XXXIX

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16

7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga / 16 7. predavanje Vladimir Dananić 14. studenoga 2011. Vladimir Dananić () 7. predavanje 14. studenoga 2011. 1 / 16 Sadržaj 1 Operator kutne količine gibanja 2 3 Zadatci Vladimir Dananić () 7. predavanje 14.

Више

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro

CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup priro CIJELI BROJEVI 1.) Kako još nazivamo pozitivne cijele brojeve? 1.) Za što je oznaka? 2.) Ispiši skup prirodnih brojeva! 3.) Kako označavamo skup prirodnih brojeva? 4.) Pripada li 0 skupu prirodnih brojeva?

Више

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx

Microsoft Word - DIOFANTSKE JEDNADŽBE ZADACI docx DIOFANTSKE JEDNADŽBE Jednadžba s dvjema ili više nepoznanica čiji su koeficijenti i rješenja cijeli brojevi naziva se DIOFANTSKA JEDNADŽBA. Linearne diofantske jednadžbe 3" + 7% 8 = 0 nehomogena (s dvjema

Више

0255_Uvod.p65

0255_Uvod.p65 1Skupovi brojeva Skup prirodnih brojeva Zbrajanje prirodnih brojeva Množenje prirodnih brojeva U košari ima 12 jaja. U drugoj košari nedostaju tri jabuke da bi bila puna, a treća je prazna. Pozitivni,

Више

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1

Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1 Ministarstvo znanosti i obrazovanja Republike Hrvatske Agencija za odgoj i obrazovanje Hrvatsko matematičko društvo DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka

Више

ss08drz-A-zad.dvi

ss08drz-A-zad.dvi DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola B kategorija, 7. travnja 008. Rješenja Zadatak 1. Neka su a, b, c proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva (a + b + c) 9ab,

Више

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler

Uvod u obične diferencijalne jednadžbe Metoda separacije varijabli Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Obične diferencijalne jednadžbe Franka Miriam Brückler Primjer Deriviranje po x je linearan operator d dx kojemu recimo kao domenu i kodomenu uzmemo (beskonačnodimenzionalni) vektorski prostor funkcija

Више

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i

MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i MATEMATIKA EKSTERNA PROVJERA ZNANJA UČENIKA NA KRAJU III CIKLUSA OSNOVNE ŠKOLE UPUTSTVO VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA: 70 MINUTA Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba

Више

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : (

Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) : ; б) : ( Алгебарски изрази 1. Запиши пет произвољних бројевних израза. 2. Израчунај вредност израза: а) 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 2 3 4 ; б) 5 3 4 : ( 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; в) ( 5 3 4 : 2 1 2 + 1 1 6 ) 2 3 4 ; г)

Више

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l

PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(l PITANJA I ZADACI ZA II KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE I Pitanja o nizovima Nizovi Realni niz i njegov podniz. Tačka nagomilavanja niza i granična vrednost(limes) niza. Svojstva konvergentnih nizova, posebno

Више

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler

Skalarne funkcije više varijabli Parcijalne derivacije Skalarne funkcije više varijabli i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler i parcijalne derivacije Franka Miriam Brückler Jednadžba stanja idealnog plina uz p = nrt V f (x, y, z) = xy z x = n mol, y = T K, z = V L, f == p Pa. Pritom je kodomena od f skup R, a domena je Jednadžba

Више

Matematički leksikon

Matematički leksikon OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON Radoboj, 2012. OŠ SIDE KOŠUTIĆ RADOBOJ MATEMATIČKI LEKSIKON PROJEKT Predmet : Matematika Mentor: Ivica Švaljek Radoboj, 2012. godina Matematički leksikon OŠ

Више

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje

MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje MathFest 2016 Krapinsko zagorske županije 29. travnja 2016. Terme Tuhelj Ekipno natjecanje učenika osnovnih škola Kategorija math 43 Natjecanje traje 90 minuta. Zadatci (njih 32) podijeljeni su u dvije

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori n 1. (ukupno 6 bodova) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 4. svibnja 2018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) (a) (2 boda) Definirajte (općenitu) vanjsku mjeru. (b) (2 boda) Definirajte

Више

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I

Matrice. Algebarske operacije s matricama. - Predavanje I Matrice.. Predavanje I Ines Radošević inesr@math.uniri.hr Odjel za matematiku Sveučilišta u Rijeci Matrice... Matrice... Podsjeti se... skup, element skupa,..., matematička logika skupovi brojeva N,...,

Више

Algebarski izrazi (4. dio)

Algebarski izrazi (4. dio) Dodatna nastava iz matematike 8. razred Algebarski izrazi (4. dio) Aleksandra-Maria Vuković OŠ Gornji Mihaljevec amvukovic@gmail.com 12/21/2010 SADRŽAJ 7. KVADRATNI TRINOM... 3 [ Primjer 18. Faktorizacija

Више

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (

JMBAG IME I PREZIME BROJ BODOVA MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 29. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. ( MJERA I INTEGRAL. kolokvij 9. lipnja 018. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni! 1. (ukupno 6 bodova Neka je (, F, µ prostor s mjerom, neka je (f n n1 niz F-izmjerivih funkcija

Више

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S

MAT B MATEMATIKA osnovna razina MATB.45.HR.R.K1.20 MAT B D-S MAT B MATEMATIKA osnovna razina MAT45.HR.R.K. Prazna stranica 99 OPĆE UPUTE Pozorno pročitajte sve upute i slijedite ih. Ne okrećite stranicu i ne rješavajte zadatke dok to ne odobri dežurni nastavnik.

Више

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema

ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matema ISPITNI KATALOG ZA EKSTERNU MATURU U ŠKOLSKOJ 2018./2019. GODINI MATEMATIKA Predmetno povjerenstvo za matematiku : 1. Jasmina Čajlaković, prof. matematike (KŠC Travnik); 2. Ivana Baban, prof. matematike

Више

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke

DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 29. ožujka Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke DRŽAVNO NATJECANJE IZ MATEMATIKE 1. razred srednja škola A varijanta Poreč, 9. ožujka 019. Zadatak A-1.1. Ana i Vanja stoje zajedno kraj željezničke pruge i čekaju da prođe vlak koji vozi stalnom brzinom.

Више