Nastavno pismo 3

Величина: px

Почињати приказ од странице:

Download "Nastavno pismo 3"

Илка Михајловић
пре 4 година
Прикази:

1 Nastavno pismo Matematika Gimnazija i strukovna škola Jurja Dobrile Pazin Obrazovanje odraslih./. Robert Gortan, pro. Derivacije.

2 Tablica sadržaja 7. DERIVACIJE PRAVILA DERIVIRANJA TABLICA OSNOVNIH DERIVIRACIJA DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE JEDNADŽBA TANGENTE I NORMALE U TOČKI KRIVULJE... 6

3 7. DERIVACIJE 7.. PRAVILA DERIVIRANJA DERIVACIJA KONSTANTE C DERIVACIJA UMNOŠKA KONSTANTE I FUNKCIJE ( C ) C DERIVACIJA ZBROJA I RAZLIKE FUNKCIJA ( ± g) ± g DERIVACIJA PRODUKTA FUNKCIJA ( g) g + g g g DERIVACIJA KVOCJENTA FUNKCIJA g g 7.. TABLICA OSNOVNIH DERIVIRACIJA a n e n n log a ln a ln a ctg e ln a tg cos sin sin cos - sin cos Primjer. Deriviraj ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) prema tablici derivacija Primjer. Deriviraj () sin + ln tg log () ( sin + ln tg log ) ( sin ) + ( ln ) ( tg) ( log ) cos + cos ln prema tablici derivacija Primjer. Deriviraj ( ) ( sin + )( cos )

4 ( ) (( sin + )( cos ) ) ( sin + ) ( cos ) + ( sin + ) ( cos ) ( cos + ) ( cos ) + ( sin + ) ( sin ) cos cos sin sin prema pravilima derivacija i tablici derivacija ( ) ( ) + Primjer. Deriviraj ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin + Primjer 5. Deriviraj ( ) cos sin + ( sin + ) ( cos ) ( sin + ) ( cos ) ( ) cos ( cos ) ( cos + ) ( cos ) ( sin + ) ( sin ) ( cos ) 6cos 6 cos i tablici derivacija cos + 6sin ( cos ) + sin ( cos ) ( cos ) i tablici derivacija + sin + sin cos 6 + sin cos ZADACI ZA VJEŽBU:. Zadane su unkcije ( ) + 5 i g ( ) 5 +. ( ) Odredi : a) ( ( ) + g( ) ) b) ( ( ) g( ) ) c) ( ( ) g( ) ) d) g( ) 7. Zadane su unkcije ( ) cos + log cos i g () log +. Odredi : ( ) a) ( ( ) + g( ) ) b) ( ( ) g( ) ) c) ( ( ) g( ) ) d) g( ). Zadane su unkcije ( ) + 5 i g( ). a) Rješi jednadžbu ( ( ) ) ( g( ) ) b) Rješi nejednadžbu ( ( ) ) +

5 7.. DERIVACIJA SLOŽENE FUNKCIJE Primjer. Zadane su unkcije unkciju h() ( g)( ) h() g( ) () i g() +. Kompozicija unkcija daje novu ( ) ( + ) +. Kako deriviramo kompoziciju unkcija? h ( ) ( g( ) ) ( g( ) ) g ( ) pravilo ulančanog deriviranja ( g( ) ) ( u) g ( ), u g() y ( u) ( + ) u u() + ( u) u ( ) ( + ) u + + Primjer. Deriviraj unkciju ( ) ( ) ( ) ( + ) () u() v(u) u + (kompozicija potencije i kvadratne unkcije) + ( + ) v(u) u() u ( + ) ( + )( + ) Primjer. Deriviraj unkciju ( ) sin (kompozicija potencije, trigonometrijske unkcije i potencije) ( ) ( sin ) sin cos sin cos sin 6 POTENCIJA TRIG.FUNKCIJA POTENCIJA DVOSTRUKI.KUT 7.. DERIVACIJA INVERZNE FUNKCIJE Ako je y () i njoj inverzna unkcija g(y), tada vrijedi ( ), y () g ( y) Primjer. Zadana je unkcija (). Inverzna unkcija je ( ) () g (y) y g (y) y. Primjer. Zadana je unkcija () log a. Inverzna unkcija je ( log a ) () y loga g (y) a ln a a ln a ln a y g (y) a. 5

6 7.5. JEDNADŽBA TANGENTE I NORMALE U TOČKI KRIVULJE Jednadžba tangente u točki (,y ) unkcije () ima jednadžbu y y ( )( ) Normala na gra unkcije () u točki (,y ) ima jednadžbu y y ( ) ( ) Primjer. Odredi jednadžbe tangente i normale na gra unkcije () + u točki s apscisom. odredimo koordinatu točke () + te je točke T(,) odredimo derivaciju unkcije (). Koeicijent smjera tangente je k () jednadžba tangente y y k( ) je y ( ) odnosno y jednadžba normale y y ( ) je y ( ) k odnosno y + 5 Kut dviju krivulja je kut između tangenata na krivulje u njihovom sjecištu tgϕ gdje su k ( ), ( ) k koeicijenti smjera tangenata u točki presjeka (,y ) k k + k k Primjer. Odredi kut pod kojim se sijeku krivulje y i y u točki (,). odredimo koeicijente smjera tangenata prve i druge krivulje u zadanoj točki o k ( ) ( ) o ( ) ( ) k računamo k k tgϕ i kut iznosi ϕ k k + 6

7 ZADACI ZA VJEŽBU:. Deriviraj sljedeće unkcije : a. ( ) ( ) RJ: ( ) ( ) 9 b. ( ) ( + )( + ) RJ: ( ) c. ( ) ( + a)( a + a ) RJ: ( ) ( ) + 8 d. ( ) RJ: ( ) e. ( ) ( ) RJ: ( ) ( + ) + ( + ). ( ) ( ) RJ: ( ) 8( ). Odredi derivacije sljedećih unkcija: a. ( ) RJ: ( ) b. ( ) tg RJ: ( ) sin + sin sin sin c. ( ) RJ: ( ) cos sin d. ( ) RJ: ( ) 5 e. ( ) sin ( cos ) cos sin ( cos ) sin sin RJ: ( ) 7 sin cos + sin.. Odredi treću derivaciju sljedeće unkcije ( ) RJ: ( ) 8sin. Odredi jednadžbu tangente i normale na parabolu + y u točki T (, y) 6. RJ: t... + y, n... y 9 7

Слични документи

Microsoft Word - predavanje8

Microsoft Word - predavanje8 DERIVACIJA KOMPOZICIJE FUNKCIJA Ponekad je potrebno derivirati funkcije koje nisu jednostavne (složene su). Na primjer, funkcija sin2 je kompozicija funkcija sin (vanjska funkcija) i 2 (unutarnja funkcija).