Microsoft Word - 16ms321

Транскрипт

1 Zdtk 3 (4, 4, TUPŠ) Duljine strni trokut jesu.5 m, 0 m i 8.5 m. Rzlik duljin njdulje i njkrće strnie njemu sličnog trokut iznosi 4.8 m. Kolik je duljin treće strnie (strnie srednje duljine) sličnog trokut?. 8.3 m. 9 m. 0.8 m D. m Rješenje 3 Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne. =, β = β, =, = = = k. Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti. Zkon distriuije množenj prem zrjnju. ( ) ( ) + = +, + = +. Dekdske jedinie su rojevi koji se doiju množenjem roj 0 smim soom. Dekdske jedinie su rojevi: 0, 00, 000, 0000, itd. Deimlni roj množimo dekdskom jediniom tko d deimlnu točku pomknemo udesno z onoliko mjest koliko dekdski roj im nul. = 8.5 m = 0 m - = 4.8 =.5 m.inči Rzlik duljin njdulje i njkrće strnie sličnog trokut je 4.8 p vrijedi jedndž: = 4.8 = Iz sličnosti trokut doije se: = = 4.8 / = + = = =. 5 ( ).5 = = = = = 40.8 /: 4 = 0. m. Rčunmo duljinu strnie uporom sličnosti trokut.

2 = 0 m 0. = = / = = 0. m = = m = 8. 5 m Odgovor je pod D..inči udući d su trokuti slični, vrijedi: = k = k / = k uvjet k k = / = k = = k = k =.5 m k ( ) = 4.8 k (.5 8.5) = k = 4.8 = 8.5 m 4 k = 4.8 /: 4 k =.. Rčunmo duljinu strnie uporom sličnosti trokut. k =. = k = k / = k = m = m = Odgovor je pod D. Vjež 3 Duljine strni trokut jesu 5 mm, 00 mm i 85 mm. Rzlik duljin njdulje i njkrće strnie njemu sličnog trokut iznosi 48 mm. Kolik je duljin treće strnie (strnie srednje duljine) sličnog trokut?. 8.3 m. 9 m. 0.8 m D. m Rezultt: D. Zdtk 3 (zr, mediinsk škol) Ljestve duge 3 metr prislonjene su jednim krjem uz zid, tko d s njim ztvrju kut 9.5. Nći visinu n kojoj ljestve dodiruju tj zid...6 m.. m.. m D..8 m E..6 m Rješenje 3 Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze. Uočimo prvokutn trokut čij je duljin hipotenuze duljin ljestv d, duljin ktete duljin visine zid h. Pomoću funkije kosinus doije se: Odgovor je pod. h h h os = = os = os / d h = d os d d d d = 3 m h = 3 m os 9.5 h =.6 m. = 9.5

3 d h d h Vjež 3 Ljestve duge 4 m prislonjene su jednim krjem uz zid, tko d s njim ztvrju kut 9.5. Nći visinu n kojoj ljestve dodiruju tj zid...9 m. 3.4 m m D. 4.8 m E m Rezultt:. Zdtk 33 (4, 4, TUPŠ) Izrčunti ploštinu trokut ko su zdni njegovi vrhovi: (, ), (6, 7), (, 8). Rješenje 33 = Z relni roj x njegov je psolutn vrijednost (modul) roj x koji određujemo n ovj nčin: x, x 0 x = x, x < 0. ko je roj x pozitivn ili nul, td je on jednk svojoj psolutnoj vrijednosti. Z svki x, x 0, vrijedi x = x. ko je x negtivn roj, njegov psolutn vrijednost je suprotn roj x koji je pozitivn. Z svki x, x < 0, je x = x. Trokut je dio rvnine omeđen s tri dužine. ko su poznte koordinte vrhov trokut (x, y ), (x, y ) i (x 3, y 3) njegov ploštin može se izrčunti po jednoj od formul: P = x ( y y 3) + x ( y 3 y ) + x 3 ( y y ) P = y ( x x ) + y ( x x ) + y ( x x ) 3, psolutn vrijednost osigurv d ploštin ude pozitivn. Tre pziti n ikličku izmjenu indeks u formulm:,, 3, 3, 3,,..inči (, ) = (, ) (, ) ( 6, 7) (, ) = (, 8) x y x y = P = x ( y y 3) + x ( y 3 y ) + x 3 ( y y ) x 3 y 3.

4 P = ( 7 ( 8) ) + 6 ( 8 ) + ( ( 7) ) P = ( 7 + 8) + 6 ( 0) + ( + 7) P = + 6 ( 0) P = P = 43 P = 43 P =..inči (, ) = (, ) (, ) ( 6, 7) (, ) = (, 8) x y x y = P = y ( x x 3) + y ( x 3 x ) + y 3 ( x x ) x 3 y 3 P = ( 6 ) 7 ( ( )) 8 ( 6 ) P = 4 7 ( + ) 8 ( 7) P = P = P = 43 P = 43 P =. Vjež 33 Izrčunti ploštinu trokut ko su zdni njegovi vrhovi: (, ), (7, 6), (8, ). Rezultt: P = 43. Zdtk 34 (4, 4, TUPŠ) U trokutu s slike omjer kutov je : β : = 3 : : 3. Z duljine strni vrijedi = 3 m. Kolik je duljin njkrće strnie tog trokut?..9 m. 4.3 m m D. 8.9 m Rješenje 34 n d n =, =, =. d d Zkon distriuije množenj prem zrjnju. ( ) ( ) + = +, + = +. Zroj svih kutov u trokutu je 80º. β 4

5 + β + = 80 Nsuprot većoj strnii u trokutu leži veći kut. Nsuprot mnjoj strnii u trokutu leži mnji kut. Podsjetimo se poučk o sinusim. U trokutu vrijedi = = = R, sin sin β sin pri čemu je R polumjer opisne kružnie tog trokut. Omjer je količnik dviju istovrsnih veličin : = k ili = k, gdje je: prvi čln omjer, drugi čln omjer, k vrijednost (količnik) omjer. ko postoji n jednkih omjer produženi rzmjer je : = k : = k 3 : 3 = k... n : n = k, 5 0. : : 3 :... : n = : : 3 :... : n. Zroj kutov u trokutu je 80 p iz produženog rzmjer njprije izrčunmo mjere svih triju kutov trokut. = 3 k k : β : = 3 : : 3 β = k koefiijent + β + = 80 = 3 k proporionlnosti + β + = 80 3 k + k + 3 k = 80 8 k = 80 8 k = 80 /: 8 k= 0. Mjere kutov su: = 3 k = 3 0 = 30 β = k k = 0 β = 0 β = 0. = 3 k = 3 0 = 30 Kut β je njmnji. udući d se nsuprot njmnjeg kut u svkom trokutu nlzi njkrć strni, strni je njkrć strni trokut. Uporom sinusovog poučk i uvjet iz zdtk doijemo: sin = = / sin = metod sin sin β sin sin β sin β zmjene = 3 = 3 = 3 sin sin sin sin sin β = 3 = 3 = 3 = 3 sin β sin β sin β sin β

6 Odgovor je pod. sin sin β sin β sin β = 3 / = 3 sin β sin sin β sin sin β sin 0 = 3 = 6.49 m. sin 30 sin 0 Vjež 34 U trokutu s slike omjer kutov je : β : = 6 : 4 : 6. Z duljine strni vrijedi = 3 m. Kolik je duljin njkrće strnie tog trokut?..9 m. 4.3 m m D. 8.9 m Rezultt:. Zdtk 35 (Josip, gimnzij) Zdn je trokut ploštine 35 m. Točk Q dijeli strniu u omjeru : 5. Kroz točku Q povučene su prlele s ostlim dvjem strnim trokut čime je trokut podijeljen n dv trokut i prlelogrm. Koliko iznosi ploštin mnjeg od tko doivenih trokut. Rješenje 35, d = =, =. d d d Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n Zkon distriuije množenj prem zrjnju. ( ) ( ) + = +, + = +. Ploštin trokut izrčunv se po formuli v v, v P = P =, P =. Ploštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii. Omjer je količnik dviju istovrsnih veličin : = k ili = k, 6 β

7 gdje je: prvi čln omjer, drugi čln omjer, k vrijednost (količnik) omjer. Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne.,, = β = β, = = = = k. Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti. Nek su trokuti i slični uz koefiijent sličnosti k: = = = k. Svi elementi trokut (težišnie, simetrle kutov, visine, polumjeri opisne i upisne kružnie) rzmjerni (proporionlni) su odgovrjućim elementim trokut uz isti fktor rzmjernosti (proporionlnosti) k. Dkle, odgovrjuće visine sličnih trokut odnose se ko odgovrjuće strnie. Dijeljenje dužine u zdnom omjeru Kko dužinu podijeliti točkom u omjeru m : n, gdje su m i n prirodni rojevi? E m jediničnih dužin n jediničnih dužin p Povuimo točkom poluprv p. Izeremo jediničnu dužinu E koju nnesemo m put tko d je Nnesemo je sd još n put tko d je = m E = n E Povuimo prv i prlelu točkom s tim prvem. Nek t prlel siječe u točki, to je tržen točk p vrijedi: m =. n.. 7

8 E D E v D Q v J N Q S slik vidi se: =, =, =, Q =, EN = v, P = v udući d točk Q dijeli dužinu u omjeru : 5, vrijedi: Q =,. 7 = 7 EN = 7 P = 7 Ploštine trokut su: ploštin trokut QE Q EN v P = P = ploštin trokut P v P = P =. Sd lko izrčunmo ploštinu P. Vjež 35 v v v P = podijelimo P P P v v jedndže = = = P v P v P v P = = 7 P v 7 7 P v 7 7 P P 4 = = = = P v P v P 7 7 P 49 v = v 7 P = 4 / P P = P 49 P = m P = m P P = 35 m P = 5 m P = m Zdn je trokut ploštine m. Točk Q dijeli strniu u omjeru : 5. Kroz točku Q povučene su prlele s ostlim dvjem strnim trokut čime je trokut podijeljen n dv trokut i prlelogrm. Koliko iznosi ploštin mnjeg od tko doivenih trokut. J' ' N P Q' Rezultt:. 7 m 8

9 Zdtk 36 (nte, srednj škol) Duljine strni trokut jednke su n + n +, n + i n, gdje je n reln roj veći od. Koliki je kut nsuprot strnii duljine n + n +? Rješenje 36 m n m + = + + = +, =. ( ) ( ) n, ( ) n m n + m =, =, + + = ( ) n n n ( ) =, os0 =. Nsuprot većoj strnii u trokutu leži veći kut. Nsuprot mnjoj strnii u trokutu leži mnji kut. Poučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti: + = + os os =, + = + os β os β =, + = + os os =. Zkon distriuije množenj prem zrjnju. Množenje zgrd Nek je: ( ) ( ) + = +, + = +. ( + ) ( + d ) = + d + + d. = n + n +, = n +, = n. Uočimo d je strni njveć strni u trokutu. Njveći kut trokut nlzi se nsuprot njvećoj strnii, to je duljin = n + n +. I sd rčunmo: ( n + ) + ( n ) ( n + n + + ) os = os = n + n ( ) ( ) ( ) 3 ( n n n ) n + 4 n + + n n + n + n + + n + n + n os = n + 4 n + + n n + n n n n n os = + 3 ( n n n ) n + 4 n + + n n + n n n n n os = + 3 ( n n n ) 9

10 3 3 4 n + n n n n n + n + os = = os 3 3 ( n + n n ) ( n + n n ) ( ) ( ) 3 3 n n n n + n n os 3 3 ( n + n n ) ( n + n n ) + os = = os = = os = 0. Vjež 36 Duljine strni trokut jednke su n (n + ) +, n + i n, gdje je n reln roj veći od. Koliki je kut nsuprot strnii duljine n + n +? Rezultt: 0. Zdtk 37 (Drio, tehničk škol) rod npušt luku i plovi prem jugoistoku pod kutom 65 u odnosu n istok. Nkon prijeđenih.8 km kpetn zustvlj rod. Poslije krtkog zstoj rod nstvlj plovidu i prijeđe. km ploveći prem sjeveroistoku pod kutom 5 u odnosu n istok. Koristeći se rzlgnjem vektor n komponente nđite ukupni pomk rod. Rješenje 37 Pomk je njkrć udljenost između dvije točke stze tijel. To je vektorsk veličin. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Z šiljste kutove i β prvokutnog trokut vrijedi: 0 + β = 90. Dv su kut komplementn ko im je zroj jednk 90. Sinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine hipotenuze. Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze. Pitgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm. Poučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti: = + os, = + os β, = + os. 0

11 S Z O D I δ β E J S slike vidi se: O = = 65, O =.8 km, =. km, E = β = 5 = DE, D = E O = = 90 = = 5, = δ = 90 β = 90 5 = 75.inči S Z O D I E J Uočimo prvokutn trokut O i odredimo duljine komponent O i vektor O. δ O O os = os = / O O O O = O os = O sin sin = sin = / O O O O =.8 km os 65 O = 0.76 km. =.8 km sin 65 =.63 km β

12 S Z O D I E J Uočimo prvokutn trokut E i odredimo duljine komponent E i E vektor. Sd je: δ E E os β = os β = / E = os β E E E = sin β sin β = sin β = / E =. km os5 E =.06 km. E =. km sin5 E = 0.8 km OD = O + D D = E OD = O + E D = DE E DE = D = E OD = 0.76 km +.06 km OD =.8 km. D =.63 km 0.8 km D =.35 km Uočimo prvokutn trokut OD i pomoću Pitgorin poučk izrčunmo pomk rod O. β

13 S Z O D I δ β J E O = OD + D O = OD + D / O = OD + D O =.8 km +.35 km O =.7 km..inči S ( ) ( ) Z O D I J U trokutu O duljin strnie O je pomk rod. Iz poučk o kosinusu immo δ O = O + O os( + δ ) O = O + O os + δ / β ( ) O = O + O os( + δ ) (.8 ) (. ).8. os( 5 75 ) O = km + km km km + O =.8 km +. km.8 km. km os00 O =.7 km. ( ) ( ) E 3

14 Vjež 37 rod npušt luku i plovi prem sjeveroistoku pod kutom 65 u odnosu n istok. Nkon prijeđenih.8 km kpetn zustvlj rod. Poslije krtkog zstoj rod nstvlj plovidu i prijeđe. km ploveći prem jugoistoku pod kutom 5 u odnosu n istok. Koristeći se rzlgnjem vektor n komponente nđite ukupni pomk rod. Rezultt:.7 km. Zdtk 38 (Ivn, gimnzij) Dn je trokut s strnim 3 m, 4 m i 5 m. Kružni im središte n strnii duljine 4 m i dir ostle dvije strnie. Koliki je polumjer te kružnie? Rješenje 38 n m n m =, =, 0, =, = +. n n m = m. Ploštin trokut izrčunv se po formuli v v, v P = P =, P =. Ploštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii. Opseg trokut duljin strni, i izrčunv se po formuli: Poluopseg trokut je: O = s = s = O. Ploštin trokut kojemu su zdne duljine strni,, rčun se pomoću Heronove formule + + P = s s s s s = roj je višekrtnik prirodnog roj ko postoji tkv prirodn roj k d vrijedi ( ) ( ) ( ), poluopseg trokut = k. Z prirodni roj kžemo d je djeljiv s prirodnim rojem ko je = k, k N, tj. ko je roj višekrtnik roj. Prirodni rojevi koji su djeljivi smo s i s smim soom zovu se prosti ili prim rojevi. rojevi koji imju više od dv djelitelj su složeni rojevi. Svki se složeni roj može rstviti n proste fktore. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n. 4

15 N M r r S S slike vidi se: = = 4 m, = = 5 m, = = 3 m, SN = SM = r Uočimo d je ploštin trokut jednk zroju ploštin trokut S i S. P = P S + P S. N M r r S Ploštinu trokut izrčunmo pomoću Heronove formule. = 5, = 3, = 4 = 5, = 3, = 4 = 5, = 3, = s = s = s = 5

16 = 5, = 3, = 4 = 5, = 3, = 4 4 s = s = ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 3) ( 4) P = s s s s P = 3 4 P = P = P = P = 3 7 P = 3 7 P = 4 P = 84 m. Ploštine trokut S i S iznose: P S = SM r 3 r P P S = S = P S = SN r 5 r P P. S = S = Sd je: P S + P S = P 3 r 5 r 3 r 5 r + = 84 + = 84 / 3 r + 5 r = 68 8 r = 68 8 r = 68 /: 8 r = 6 m. Vjež 38 Dn je trokut s strnim 6 m, 8 m i 30 m. Kružni im središte n strnii duljine 8 m i dir ostle dvije strnie. Koliki je polumjer te kružnie? Rezultt: m. Zdtk 39 (Domgoj, gimnzij) Kolik je duljin strnie trokut ko je = 7, = 4, t je geometrijsk sredin i? Rješenje 39 n n n ( ) ( ) ( ) =, =, + + = +, =, 0. =. Težišni trokut je dužin koj spj vrh s polovištem nsuprotne strnie trokut. ko su, i duljine strni trokut, t, t i t duljine težišni trokut, td vrijedi: t =, + t, t = + = +. Nek su i dv pozitivn reln roj. Td je geometrijsk sredin G rojev i definirn izrzom Zkon distriuije množenj prem zrjnju..inči udući d je t geometrijsk sredin i, slijedi: G =. ( ) ( ) + = +, + = +. 6

17 t = metod t = + komprije = + = + / = + = + / ( ) = + ( ) = + 4 = + = + 4 = = = = 8 = 8 / = 8 = 9 = 9 = 3..inči udući d je t geometrijsk sredin i, slijedi: t = metod t = + komprije = + = + / = + = + / ( ) = + ( ) = + 4 = + = + 4 ( ) ( ) ( ) = + = + = = = = > Vjež 39 ( ) / ( ) ( ) [ > 0 ] ( ) ( ) = = 7 4 = 3 = 3. Kolik je duljin strnie trokut ko je = 4, = 8, t je geometrijsk sredin i? Rezultt: 6. 7

18 Zdtk 330 (Nikol, gimnzij) Kolik je mjer kut β prikznog n skii? β 08. β = 54. β = 63. β = 75 D. β = 8 Rješenje 330 Kutovi koji imju jedn krk zjednički, unij drugih dvju krkov je prv zovu se sukuti. β V + β = 80. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Z šiljste kutove i β prvokutnog trokut vrijedi: 0 + β = 90. Poučk o vnjskom kutu u trokutu β β = β +, β = +, = + β. Vnjski kut u trokutu jednk je zroju unutrnjih kutov uz preostl dv vrh trokut..inči 8

19 β Prvi kork: + 08 = 80 = = 7. Drugi kork: + = 90 = 90 = 90 7 = 8. Treći kork: 8 + β = 90 β = 90 β = 90 β = 90 9 β = 8. Odgovor je pod D..inči β Uporit ćemo poučk o vnjskom kutu u trokutu. Prvi kork: + 90 = 08 = = 8. Drugi kork: 8 β + = 90 β = 90 β = 90 β = 90 9 β = 8. Odgovor je pod D Vjež 330 Kolik je mjer kut β prikznog n skii? 9

20 3 β 08 Rezultt:.. β = 68. β = 8. β = 84 D. β = 88 Zdtk 33 (Mrij, gimnzij) U trokutu zdn je kut = 0, z duljine strni i vrijedi jednkost = +. Kolik je duljin simetrle kut? Rješenje 33 Simetrl kut je prv koji rspolvlj kut. Ploštin trokut kojemu su zdne duljine dviju strni i mjer kut između njih rčun se po formulm: P = sin, P = sin β, P = sin. Zkon distriuije množenj prem zrjnju. ( ) ( ) + = +, + = +. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n sin ( ) = sin os, os 60 =. 0

21 s D udući d simetrl s kut dijeli trokut n dv trokut D i D, ploštin trokut jednk je zroju ploštin trokut D i D. P = P D + P D sin = s sin + s sin sin sin sin s s = + / sin = s sin + s sin s sin + s sin = sin s sin ( + ) = sin s sin ( + ) = sin / + ( ) ( + ) sin uvjet + sin sin s = s s = = = + sin ( + ) sin ( + ) sin ( + ) sin os sin os s sin s s s = = = = os sin sin sin 0 s = os s = os 60 s = s = s =. Vjež 33 U trokutu zdn je kut = 90, z duljine strni i vrijedi jednkost = +. Kolik je duljin simetrle kut? Rezultt: s =.

22 Zdtk 33 (4, 4, TUPŠ) ko je n slii = 5 m i = 9 m, td je D jednko: Rješenje 33 D 5 7. m. m. 6 m D. 9 m 9 5 d = =, =. d Zroj kutov u trokutu je β + = 80. Sličnost trokut Kžemo d su dv trokut sličn ko postoji pridruživnje vrhov jednog vrhovim drugog tko d su odgovrjući kutovi jednki, odgovrjuće strnie proporionlne. =, β = β, =, = = = k. Omjer strni sličnih trokut k zovemo koefiijent sličnosti. Prvi poučk sličnosti (K K) Dv su trokut sličn ko se podudrju u dv kut. Drugi poučk sličnosti (S K S) Dv su trokut sličn ko se podudrju u jednom kutu, strnie koje određuju tj kut su proporionlne. Treći poučk sličnosti (S S S) Dv su trokut sličn ko su im sve odgovrjuće strnie proporionlne. Četvrti poučk sličnosti (S S K) Dv su trokut sličn ko su im dvije strnie proporionlne, podudrju se u kutu nsuprot većoj strnii. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n

23 S slik vidi se: D β = 5 m, = 9 m, = D, = D = β = D = Prem uvjetu zdtk trokuti i D imju jednke kutove = D. Kut β (kut u vrhu ) zjednički je z o trokut i D = D = β. Iz nvedenog slijedi d su im i kutovi uz treći vrh tkođer jednki. = D =. udući d trokuti i D imju jednke kutove, trokuti su slični p vrijedi rzmjer: D D 9 = = = = D D 9 5 D = / 9 D = D = D = m Odgovor je pod. Vjež 33 ko je n slii = 5 m i = 9 m, td je D jednko: D β Rezultt:. D 5 9. m. m. 3 m D. 5 m 3 5 3

24 Zdtk 333 (4, 4, TUPŠ) ko je os = 0.6, td je duljin n slii jednk: S 5 m Rješenje m. 4 m. 6 m D. 8 m Visine su trokut dužine kojim je jedn krj vrh trokut, drugi sjeište okomie (koj prolzi promtrnim vrhom) s prvem n kojem leži suprotn strni trokut. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Kosinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete uz tj kut i duljine hipotenuze. Trokut koji im dvije sukldne strnie zove se jednkokrčni trokut. Sukldne strnie su kri, treć strni zove se osnovi trokut. Z jednkokrčni trokut vrijedi v 4

25 5 m S P 5 m S slike vidi se: S = S = 5 m, P = P = Uočimo prvokutn trokut SP i pomoću funkije kosinus izrčunmo. P P P P os = 0.6 = = 0.6 = 0.6 / 5 P = 3 S = 3 = 3 / = 6 m. Odgovor je pod Vjež 333 ko je os = 0.8, td je duljin n slii jednk: S 5 m Rezultt: D.. 3 m. 4 m. 6 m D. 8 m 5

26 Zdtk 334 (Ln, gimnzij) Širin gol u nogometu iznosi 7.3 m, u rukometu 3 m. Koji igrč im ''n rspolgnju'' veći kut z pogodk: nogometš koji izvodi jednester ili rukometš koji izvodi sedmer? Rješenje 334 n, d n = =. d Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut. d d d S slike vidi se: d širin gol udljenost s koje se izvodi kzneni udr kut pod kojim izvođč kznenog udr vidi gol. Uočimo prvokutn trokut čij je jedn ktet polovi širine gol d, drug udljenost s koje se izvodi kzneni udr. Pomoću funkije tngens može se izrčunti kut. Rčunmo kut z: d d d d tg = tg = tg = = tg d d = tg / = tg. 6

27 nogometš d = 7.3 m d 7.3 = tg = tg = 36 48'. = m rukometš d = 3 m d 3 tg tg = = = 4 '. = 7 m 7 Nogometš vidi gol pod većim kutom. Vjež 334 Širin gol u nogometu iznosi 73. dm, u rukometu 30 dm. Koji igrč im ''n rspolgnju'' veći kut z pogodk: nogometš koji izvodi jednester ili rukometš koji izvodi sedmer? Rezultt: Nogometš. Zdtk 335 (Tomislv, gimnzij) U 4:00 sti vrhovi velike i mle kzljke n stu udljeni su 3 m, u 9:00 sti udljeni su 7 m. Kolik je duljin velike, kolik mle kzljke? Rješenje 335 n n n m n m os 60 =, os 90 = 0, = n, ( ) =. Poučk o kosinusu (kosinusov poučk) U trokutu vrijede ove jednkosti: = + os, = + os β, = + os. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n ikvdrtn jedndž Opći olik ikvdrtne jedndže je 4 x + x + = 0. T se jedndž rješv uvođenjem pomoćne nepoznnie x = t. Tko se dolzi do jedndže t + t + = 0, Koju zovemo rezolvent ikvdrtne jedndže. ikvdrtn jedndž im četiri rješenj od kojih su dv i dv suprotn. Kd ml (stn) kzljk jednom opiše puni kut (360 ) prošlo je sti što znči d jednom stu odgovr kut od 30. 7

28 360 : = Nek je: v duljin velike (minutne) kzljke m duljin mle (stne) kzljke. U 4:00 sti vrhovi velike i mle kzljke n stu udljeni su = 3 m i međusono ztvrju kut od 30 = 60. v 60 m Vrijedi kosinusov poučk. = v + m v m os 60 3 = v + m v m 69 = v + m v m 69 = v + m v m v + m v m = 69. U 9:00 sti vrhovi velike i mle kzljke n stu udljeni su = 7 m i međusono ztvrju kut od 3 30 = 90. m 90 v 8

29 Vrijedi kosinusov poučk. = v + m v m os 90 7 = v + m v m 0 89 = v + m 0 89 = v + m v + m = 89. Iz sustv jedndž izrčunmo tržene veličine. v + m v m = 69 metod 89 v m 69 v m = = v + m = 89 zmjene ( ) v m = 0 v m = 0 / v m = 0. Dlje promtrmo sustv jedndž iz kojeg doijemo ikvdrtnu jedndžu. 0 v m = 0 v m = 0 /: m v = metod m v + m = 89 v + m = 89 zmjene v + m = m = 89 + m = 89 + m = 89 / m m m m m = 89 m m 89 m = 0 m 89 m = 0 ( m ) zmjen 89 m = 0 t 89 t = 0 m = t =, = 89, = t 89 t = 0 ± 4 =, = 89, = t, = ( ) ( ) 89 ± ± t, = t, = t = ± ± t, = t, = 89 6 t = t = t = t = t = 64 t = t = Vrćmo s n zmjenu. m = t m = 8 m = 64 m = 64 / m, = ± 64 t = 64 m = 8 nem smisl Rčunmo duljinu v velike kzljke. m = 8 m duljin mle kzljke. 9

30 0 v = m m = v = v = v = 5 m. 8 8 Vjež 335 U 4:00 sti vrhovi velike i mle kzljke n stu udljeni su.3 dm, u 9:00 sti udljeni su.7 dm. Kolik je duljin velike, kolik mle kzljke? Rezultt: 5 m, 8 m. Zdtk 336 (4 dm, TUPŠ) Kolik je površin trokut prikznog n skii ko je D = 0 m, D =3 m i = 5 m?. m. 6 m. 30 m D. 75 m Rješenje 336 Ploštin trokut izrčunv se po formuli v v, v P = P =, P =. Ploštin trokut jednk je polovii produkt duljine jedne njegove strnie i duljine visine koj odgovr toj strnii. Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Pitgorin poučk Trokut je prvokutn ko i smo ko je kvdrt nd hipotenuzom jednk zroju kvdrt nd ktetm. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n D D Uočimo prvokutn trokut D i pomoću Pitgorin poučk izrčunmo duljinu D. 30

31 Sd je: D = D D = 5 3 D = 5 9 D = 6 Površin trokut iznosi: D = 6 / D = 6 D = 4 m. = D + D = 0 m + 4 m = 4 m. D 4 m 3 m 4 m 3 m P = P = P = P = 7 3 m P = m. Odgovor je pod. Vjež 336 Kolik je površin trokut prikznog n skii ko je D = dm, D =3 m i = 5 m?. m. 6 m. 30 m D. 75 m Rezultt:. D Zdtk 337 (Gorn, srednj škol) Postoji li trokut kojem su zrojevi svkih dvju kutov mnji od 0? Rješenje 337 < + < + d, <, > 0 <. < d Zroj svih kutov u trokutu je 80º. 0 + β + = 80. Zkon distriuije množenj prem zrjnju. ( ) ( ) + = +, + = +. ko tkv trokut postoji ond morju vrijediti ove tri nejednkosti: + β < 0 zrojimo β + < 0 + β + β < nejednkosti + < 0 + β + < β + < β + < 360 /: ( ) ( ) + β + < 80. 3

32 Tkv trokut ne postoji jer mor iti 0 + β + = 80. Vjež 337 Postoji li trokut kojem su zrojevi svkih dvju kutov mnji od 8? Rezultt: Ne, dokz nlogn. Zdtk 338 (, TUPŠ) Koliko visoko leti zmj koji je vezn uziom od 00 m koj s tlom ztvr kut od 70? Rješenje 338 Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Sinus šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine hipotenuze. 00 m h 70 h h h sin 70 = = sin 70 = sin 70 / 00 h = 00 sin 70 h = m Vjež 338 Koliko visoko leti zmj koji je vezn uziom od 0. km koj s tlom ztvr kut od 70? Rezultt: m. Zdtk 339 (, TUPŠ) Tunel duljine 500 m spušt se pod kutom od 6. Z koliko je metr izlz tunel niži od ulz? Rješenje 339 Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, 3

33 njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut. 500 m 6 h h h h tg 6 = = tg 6 = tg 6 / 500 h = 500 tg 6 h = 6.76 m Vjež 339 Tunel duljine.5 km spušt se pod kutom od 6. Z koliko je metr izlz tunel niži od ulz? Rezultt: 6.76 m. Zdtk 340 (, TUPŠ) Tornj visok 30 m vidi se pod kutom od 5 iz točke koj leži u rvnini podnožj tornj. Pod kojim i se kutom iz iste točke vidio dvostruko viši tornj? Rješenje 340 = d d, = =. = d d Prvokutni trokuti imju jedn prvi kut (kut od 90º). Strnie koje ztvrju prvi kut zovu se ktete, njdulj strni je hipotenuz prvokutnog trokut. Tngens šiljstog kut prvokutnog trokut jednk je omjeru duljine ktete nsuprot tog kut i duljine ktete uz tj kut. Skrtiti rzlomk znči rojnik i nzivnik tog rzlomk podijeliti istim rojem rzličitim od nule i jedinie n =, n 0, n. n 60 m 30 m 5.inči d d 33

34 tg 5 = d podijelimo tg d tg d tg 60 jedndže = tg 5 30 = = tg 5 30 tg 5 tg = d d d tg tg = = / tg 5 tg = tg 5 tg 5 tg 5.inči ( tg ) = tg 5 = 43 0 ' '' d 30 tg 5 = tg 5 = / d = d d tg 5 tg 5 metod d 60 komprije tg = tg = / d = d d tg tg tg tg 5 = = / tg = tg 5 tg 5 tg tg 5 tg 30 ( tg ) = tg 5 = 43 0 ' ''. Vjež 340 Tornj visok 300 dm vidi se pod kutom od 5 iz točke koj leži u rvnini podnožj tornj. Pod kojim i se kutom iz iste točke vidio dvostruko viši tornj? Rezultt: = 43 0 ' ''. 34