Numeričke metode u fizici 1, Projektni zadataci 2018./ Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrs

Транскрипт

1 Numeričke metode u fizici, Projektni zadataci 8./9.. Za sustav običnih diferencijalnih jednadžbi, koje opisuju kretanje populacije dviju vrsta životinja koje se nadmeću za istu hranu, dx ( dt = x x ) xy =: f (x, y) dy ( dt = y y ) xy =: f (x, y) () izračunajte ravnotežna rješenja (traže se točke (x, y ) koje zadovoljavaju f (x, y ) = i f (x, y ) = ), a zatim promatrajte kako će se ponašati rješenja koja za inicijalne uvjete imaju točke bliske tim ravnotežnim rješenjima. To ćete učiniti tako da svaku stranicu kvadrata [, 4] [, 4] podijelite na podintervala, i za svaku točku tako dobivene mreže, (x, y ), izračunajte rješenje sustava () sa početnim uvjetima (x, y ). Odredite kojoj ravnotežnoj točki će rješenje (u faznom prostoru) težiti, i prema tome spremite je u odgovarajuću datoteku (za svako ravnotežno stanje drugu). Nacrtajte svaku datoteku u drugoj boji. Sustav običnih diferencijalnih jednadžbi rješavajte prediktor korektor metodom 4. reda: u k+ = (u k + u k ) + 7 h(9f k 7f k + 9f k 5f k ), u k+ = (u k + u k ) + 7 h(5f k+ + 9f k + 4f k + 9f k ).. Izvedite Adams-Bashforth i AdamsMoulton metodu reda, te njihove lokalne greške diskretizacije. Na osnovu njih, implementirajte Richardsonovu ekstrapolaciju za te dvije metode. Početne vrijednosti potrebne za start metode izračunajte pomoću Taylor-ove metode. Tom metodom riješite inicijalni problem: y (t) = + t y (t), y() = na intervalu [, ]. Izračunajte numerički red konvergencije dane metode ako je točno rješenje inicijalnog problema y(t) = t + t.

2 . Pretpostavimo slijedeću iterativnu metodu za rješavanje implicitnih Runge Kutta metoda sa s-stadija: m i = f(t n + α i h, u n + h β ij m j ), i =,..., s Postavimo da je u n+ = u n + h ω j m j. j= m () i = f(t n, u n ) m (k+) i = f(t n + α i h, u n + h j= j= β ij m (k) j ), i =,..., s, za k =,,,.... Pokažite da ako funkcija desne strane diferencijalne jednadžbe f zadovoljava Lipschitz-ov uvjet u drugoj varijabli sa konstantom L, tada je dana metoda kontrakcija uz uvjet hl max i s β i,j <. () j= Primjenite danu metodu za Radau metodu reda 5 zadanu Butcher-ovom tablicom (4 6)/ (88 7 6)/6 ( )/8 ( + 6)/5 (4 + 6)/ ( )/8 ( )/6 ( 6)/5 (6 6)/6 (6 + 6)/6 /9 (6 6)/6 (6 + 6)/6 /9 te odredite pogodan kriterij zaustavljanja iteracija. Danom metodom riješite problem y (t) = (cos (y(t))), y() = na intervalu [, ], tako da korak h odredite iz (). 4. Napišite algoritam za rješavanje dijagonalno implicitne Runge-Kutta metode zadane Butcherovom tablicom γ γ γ γ γ γ 4γ γ 4( ( γ) γ) 4( γ)

3 gdje je γ = + cos ( π 8). Danom metodom riješite problem y (t) = + t y (t), y() = na intervalu [, ]. Izračunajte numerički red konvergencije dane metode ako je točno rješenje inicijalnog problema 5. Promotrite problem y(t) = t + t. y (t) = t + + c tan (y(t)), y() =, gdje je c zadana konstanta. Pošto je y () =, rješenje y početno raste kada t raste, bez obzira na vrijednost parametra c. Numerički pokažite da postoji vrijednost c, za koju kada je c > c, rješenje y neograničeno raste, a kada je c < c, tada y na početku raste i zatim pada. Koristite Adams Bashfort Moulton metodu reda 5, odredite c do na točnost ε = 5 5, i izračunajte pripadno (aproksimativno) rješenje y na intervalu t [, 5]. 6. Temperatura zgrade (uz odgovarajuću cirkulaciju zraka) ponaša se po Newtonovom zakonu hladenja T (t) = k[a(t) T (t)], T () = T. A(t) je vanjska (ambijentalna) temperatura. Unutrašnje grijanje ili hladenje mogu utjecati na temperaturu; modelna jednadžba je gdje je npr. T (t) = k[a(t) T (t)] + R(T (t)) R(T ) = { U T T krit. T < T krit. Klima je ugašena kad je temperatura zgrade manja od T krit. na termostatu, a hladi s U stupnjeva po jedinici vremena kad temperatura zgrade prijede T krit.. Nadite graf temperature za k =.5 sat, A(t) = o, T krit. = 5 o, T () = o. Tipični U je oko stupnja po satu. Nadite pogodnu funkciju A(t) koja bi realistično opisivala kretanje vanjske temperature u nekom vremenskom periodu (barem nekoliko dana). Problem riješite Runge Kutta Fehlberg-ovom metodom reda (4,5) zadanu Butcherovom tablicom:

4 , gdje predzadnji red daje koeficijente za metodu reda 5, dok zadnji za metodu reda Implementirajte BDF-formulu reda 4: u n u n u n+ 6 5 u n+ + 5 u n = 5 hf(t n+4, u n+4 ) za sisteme diferencijalnih jednadžbi. Odredite u n+4 iterativno, koristeći Newton-ovu metodu. Za start odaberite po volji Taylor-ovu ili RK metodu istog reda kao BDF formula, a za test primjer uzmite krutu diferencijalnu jednadžbu s predavanja: y + (b + )y + by =, y() =, y () =. Varirajte ulazni parametar b i korak h kod testiranja, nacrtajte grafove numeričkog i egzaktnog rješenja. 8. Kretanje prigušenog sistema sa oprugom i masom (kao na slici) opisano je diferencijalnom jednadžbom m y (t) + c y (t) + k y(t) =, () 4

5 gdje je y(t) pomak mase m od ravnotežnog stanja u trenutku t, masa m = kg, konstanta opruge k = N/m, a c koeficijent prigušenja. Za c [5, ] pronadite kritični koeficijent prigušenja do na točnost ε =. 4, na način da ćete tražiti najmanji c za koji rješenje jednadžbe () uz početnu brzinu nula i početni položaj na intervalu [, ] strogo pada prema ravnotežnom stanju. Koristite trapeznu metodu uz dovoljno mali korak h (zbog točnosti). 9. Modelirajte problem skakanja lopte po ravnoj površini (u jednoj dimenziji) koja pri svakom udaru o tlo gubi nešto energije. Odredite što točnije trenutak udara lopte o pod, tako što ćete dozvoliti da zadnji interval aproksimacije može biti i kraći od ostalih. Za rješavanje diferencijalnih jednadžbi korisitite neku jednokoračnu metodu višeg reda. Dodatna literatura: Lopta.pdf i of restitution. Implementirajte Gauss Legendre-ovu metodu zadanu Butcherovom tablicom:

6 U svakom koraku stadije m i m odredite iterativno, koristeći višedimenzionalnu Newton-ovu metodu. Metodu primijenite na inicijalnom problemu y (t) = (y(t) cos t) sin t, y() =, uz t [, ] i korak h =. Dano rješenje usporedite sa rješenjem dobivenim Adams Bashforth metodom reda 4 uz isti korak. 6